Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Мы видели также, что в некоторых течениях при наличии твердых границ та область, внутри которой вязкость оказывает какое-либо влияние на течение, ограничена при т -«-0 тонким слоем, лежащим на границе. К чистку таких течений относятся, например, течение, вызванное колебанием плоской стенки ($4.3), течение в окрестности критической точки на плоской стенке (э 5.5) и сходящееся течение в канале (э 5.6). Эти и многие другие частные случаи течений подтверждают важную гипотезу, впервые выдвинутую Прандтлем (1905) и состоящую в следующем: для довольно широкого диапазона условий эффекты вязкости (такие, как напряжения и силы, вызванные вязкостью, диффузия аавихренности и др.) являются значительными и сравнимыми по величине с конвекцией и другими проявлениями сил инерции в некоторых слоях, прилегающих к твердым границам, или в некоторых других слоях, толщина которых стремится к нулю по мере стремления числа Рейпольдса к бесконечности, а вне этих слоев указанные эффекты вязкости малы.
После того как была выдвинута эта гипотеза, она была применена к весьма рааличным классам течений. Общего математического доказательства существования пограничного слоя нет, однако гипотеза подтверждается многочисленными экспериментальными наблюдениями конкретных течений, а также несколькими известными частными решениями полных уравнений движения жидкости.
Рассмотренный в э 5.6 случай расходящегося течения в канале служит полезным предостережением о неприменимости гипотезы пограничного слоя ко всем течениям. В оставшейся части этой главы мы выясним ряд простых положений о тех течениях, к которым указанная гипотеза не может быть применена, а также обсудим некоторые приемы, полезные при ее использовании в конкретных задачах.
Гипотеза пограничного слоя помогает примирять, с одной стороны, интуитивные представления о том, что малая вязкость т не оказывает какого-либо влияния на большую часть поля течения, и, с другой стороны, тот факт, что, сколь бы малой ни была величина т, на твердой границе должно выполняться условие прилипания; и действительно, такое согласование было основной целью исследования Прандтля и явилось важным рубежом в развитии механики жидкости. Пограничный слой — это по существу слой, в котором происходит переход от нулевого значения скорости жидкости на границе к конечному значению, которое соответствует в определенном смысле (о чем будет сказано позже) течению невязкой жидкости. Тот факт, что пограничный слой тонок по сравнению с размерами тела, позволяет ввести некоторые аппроксимации в уравнениях движения, что также было сделано Прандтлем; тем самым появляет- 381 Гл.
5. Теченне прн большом числе Резнольдса; эффекты няэяостн ся возможность в некоторых случаях определить течение внутри пограничного слоя. С целью выяснения этих аппроксимаций рассмотрим в качестве границы плоскую стенку (р = 0), а течение будем считать двумерным.
Толщина пограничного слоя (определяемая некоторым подходящим способом) всюду предполагается малой по сравнению с расстоянием вдоль границы, на котором происходит заметное изменение скорости жидкости. Поперек пограничного слоя скорость изменяется от нулевого значения на границе до некоторого конечного значения, характерного для невязкой жидкости; кроме того, производные по координате у любой из рассматриваемых величин в потоке в общем случае много больше производных тех же величин по координате х. Таким образом, для точек внутри пограничного слоя мы можем использовать следующие оценки: ! —:" .!«! — '", ! !В!«!Ф!' следовательно, уравнение движения в проекции на ось х принимает вид дм дм дм т др дтм — +и — +р —.= — — — +т —.
дс дл ду р дл дут ' (5.7Л) Поскольку нормальная компонента скорости р также должна быть мала, то из уравнения сохранения массы, а именно из уравнения — "+ — '= О, дл ду (5.7.2) заключаем, что компонента р и толщина пограничного слоя имеют одинаковый порядок малости'); отсюда следует, что ни одним членом в левой части уравнения (5.7.1) нельзя пренебречь. Различие между уравнением пограничного слоя (5.7.1) и соответствующим уравнением движения для невязкого течения впе пограничного слоя состоит в том, что в уравнении (5.7.1) оставлен член тдэи/дуэ, который выражает вязкую диффузию поперек пограничного слоя. По определению пограничного слоя в нем происходит значительная вязкая диффузия завихренности, так что для точен внутри пограничного слоя член т дти/ду' в (5.7.1) должен быть сравним по величине с инерционными членами в левой части этого уравнения.
Если величина и ди/дл является характерной для инерционных членов в левой части уравнения (5.7.1), то мы можем считать, что при больших числах Рейнольдса основного потока область пограничного слоя определяется по порядку величин оценкой О (и — /т — ) =1. ° ) Эта овеяна не совсем ясна ванну раэлвчяоя раэмерност» унаэаннмх величая, оявако вскоре яля нее будет лава более точная вормуляровна. 382 5.7. Пограничные слоя Далее, если б/е — характерное значение для скорости и рассматриваемого течения, а Ь вЂ” характерный линейный размер в направлении оси л, на котором происходит заметное изменение скорости и, то порядок величины и ди/дх будет равен ЩА.
Если через бо обозначить малую длину, характеризующую толщину пограничного слоя '), то порядок величины и дви/дув будет равен т(/о/б,'. Выписанная выше оценка принимает теперь внд О (ЯВе) =1, где Ке= бв ил (5.7.3) Число Рейнольдса в данном случае соответствует основному течению, а поскольку оценки, лежащие в основе теории пограничного слоя, улучшаются при Ке -ь оо, то, очевидно, (5.7.3) можно переписать как бс/Ь Ке Ууз при Ве -ь ао. (5.7.4) Тот факт, что толщина пограничного слоя изменяется как чмз при малых р, уже известен из рассмотренных ранее частных случаев течений. Эта зависимость основана исключительно на соображениях о размерностях величин, которые приводят к весьма общему результату; как мы уже видели раньше, при некоторых условиях зту зависимость можно представить иначе: расстояние, на которое проникает диффузия завихренности или скорости, имеет порядок (чг)угв, что справедливо для слоя, развивающегося к моменту времени г (в нашем случае время зквивалентно отношению Л/б/о).
С учетом атой оценки порядка величины бо и, следовательно, порядка величины производных по у из (5.7.2) заключаем, что порядок компоненты р равен б/с Ве УУа. Теперь мы располагаем всем необходимым для вывода уравнения движения в проекции на ось у. В атом уравнении все члены, кроме одного, очевидно, малы, и мы получаем приближенное соотношение др/ду = О; (5.7.5) ') толщина логранвчного слоя в общем случае намекается с расстоянием вдоль гра- аамы.
и велачану б, следует считать некоторым среаним ваачеаием. 383 точнее говоря, др/ду имеет тот же порядок малости, что и бо. Таким образом, давление поперек пограничного слоя приближенно можно считать постоянным; в том случае, когда известно изменение давления р по х вне пограничного слоя (полученное либо путем решенкя уравнений невяакого течения вне пограничного слоя, либо экспериментально), член с давлением в (5.7.1) можно считать заданным.
Уравнения (5.7 1) и (5.7.2) позволяют тогда определить компоненты скорости и и и во всем пограничном слое. Гл. З. Течеяле лря болылок числе Рейяольдее; эффекты эяэкоетл Граничные условия состоят, во-первых, из условий на стенке и=и=О при у=О (5.7.6) и, во-вторых, из требования, чтобы пограничный слой гладко сопрягался с областью внешнего невязкого течения. Если через с/ обозначить компоненту скорости вдоль х на внешней границе слоя и учесть, что величина и медленно изменяется по р (так что невозможность точно указать внешнюю границу пограничного слоя пе имеет существенного значения), то второе условие можно записать в виде и(х, у, с)-ь У(х, с) при р/62-ь оо. (5.77) При рассмотрении пограничного слоя отдельно от внешнего течения величина с/, подобно давлению р, должна быть задана; эти две величины удовлетворяют приближенному уравнению — + с/ — = — —— дг/ дс/ 1 др дс д* р д.
' (5.7.8) р~ Вес/2 ~ 1, (5.7.9) Р Ре Р = ссе Р е и к пе Р' = Вессз —, с/е где ре — значение давления р в некоторой условно выбранной точке течения. В этих новых переменных полная система уравнений движения в проекциях на оси х и у, а также уравнение описывающему невязкое течение в проекции на ось х в области сразу вне пограничного слоя (где и мало, а членом и дс//ду можно пренебречь); для установившегося течения уравнение (5.7.8) эквивалентно теореме Бернулли, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
