Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 79
Текст из файла (страница 79)
С учетом указанной зависимости компонент скорости от з из уравнения (установившегося) движения в проекции на ось з следует, что выражение для давления должно иметь вид — т — — — ю +г', /> еи> р ис 2 (5.5,16) где г' зависит только от г. Далее, поскольку вдали от диска жидкость не вращается и, по-видимому, там нет и радиального движения, то давление р при больших г не должно зависеть от г; следовательно, г' =- сопл(. Уравнения движения в проекциях на координатные линии г и ср (см. приложение 2) записываются следующим образом: '.) т и ~т й(и/г) ( и )е йт(и/г) 2ии й (и/г) йт(с/г) (5.5. 18) гт лг л>е Дополнительно имеем уравнение сохранения массы 2и йм — + — =О, л о.о. Ограничение диффуаии аавихренности ав счет коивекции О,О О4 О,Я О ОО О,О дО 4Ф Р н с.
Ь.Ь.З. Беараамернме Еункппн, определяющие номпонептм скорости течения, вмеванного вращающимся дискам, 2= ~ — ) — =ЯО(~), ш= — (р(7)'~ Ь(ь), (5.5 19) которые позволяют уравнения (5.5.17) и (5.5.18) записать в безраамерном виде: 2 (5.5.20) — дй +Ой — д" (5.5.21) с граничными условиями гс =- й' .= О, О=-1 при ь=О, л-мО при ь — мсо. )а'-» О, Аккуратное численное решение, удовлетворяющее этим уравнениям и граничным условиям, было получено Кокраном (1934); на рис. 5.5.3 показаны графики функций д, — Ь и функции — '/ага' (пропорциональной компоненте скорости и). Поведение этих функций показывает, что действие диска подобно вентилятору и сопровождается осевым движением жидкости к диску, которое препятствует распространению завихренности вдаль от диска.
367 быть осевое течение к диску, возникающее в результате центробежного эффекта вблизи диска; в подтверждение этого предположения заметим, что выписанные выше уравнения н граничные условия фактически полностью определяют компоненту ип В задаче имеется только два размерных множителя р и ас, которые определяют масштабы скорости и длины. Введем новые переменные Гл. 5. Твчвяяв ярк большом чявле Рвяяольдоа; эффекты еязкостя Условимся определять внешнюю границу вихревого слоя как геометрическое место точек, для которых и/1)г = 0,01; тогда толщина слоя будет постоянной и равной 5,4 (тМ)мз.
Вне вихревого слоя осевая скорость постоянна и равна — 0,89 (т())ыэ; эта скорость притока жидкости уменьшается с уменыпением т, поскольку при этом слой становится тоньше и меньшее количество жидкости требуется для замещения жидкости, перетекающей в радиальных направлениях, Полный поток жидкости через цилиндрическую поверхность радиуса г равен 0,89ягз(тьз)мз. Один из способов проверки соответствия между полученным численным решением и экспериментальными данными состоит в измерении крутящего момента, развиваемого на обеих сторонах вращающегося тонкого диска конечного радиуса а.
Строго говоря, полученное выше решение применнмо к бесконечному диску, однако при условии, что толщина слоя завихренности мала по сравнению с радиусом диска, т. е. при а(эызМ1з >) 1; в этом случае влияние края диска разумно считать малым. Касательное напряжение на поверхности диска равно и, р ( эо ') тмэ()зУзг (0) ~эзю — о и, следовательно, крутящий момент, возникающий за счет дей- ствия жидкости на обеих сторонах диска радиуса а, равен а 2 оз 2кгз Ыг = казртмэйз/зу'(О).
(5.5.22) Согласно численному решению Кокрана, л'(О) = — 0,616. Это значение находнтся в хорошем соответствии с измеренной величиной в том случае, когда аЧ)/т меньше, чем 10з (но намного больше единицы); при значениях азьзlч, превышающих 10', течение становвтся неустойчивым и установившееся движение практически не может быть реализовано. Если окружающая вращающийся диск жидкость на больших расстояниях от диска находится в состоянии квазитвердого вращения с угловой скоростью, скажем, Г относительно оси вращения диска, то, по-видимому, существует установившееся течение, представимое в автомодельной форме (5.5Л9), хотя для всего диапазона изменения отношения Г/И точное описание поля течения получить не удается. Аналитически зта задача не очень сильно отличается от описанной выше.
На больших расстояниях от диска давление теперь равно з7зрГзгз, так что мы должны положить г'='/зГгз в (5.5Л6) и добавить член — Гз в правую часть уравнения (5.5Л7). Наконец, еще одно изменение состоит в аамене гранячного условия 5' -ь 0 при ь -з- оо на д-ь ГЯ при ь-» оо. Однако 368 5.5. Отравкчекке дкфйузки взвихренности за счет коквекцви численное решение уравнений оказывается теперь более сложным, особенно если Г и 1е имеют противоположные знаки. В том случае, когда диск и жидкость на бесконечности вращаются почти с одной и той же угловой скоростью, решение уравнений можно получить в явном виде. Это явное решение нельзя использовать для показа накопления завихренности у границы под действием конвекции, однако мы дадим краткое его описание, поскольку зто решение оказывается неожиданным образом связано с предыдущим изложением.
В данном случае мы, очевидно, можем положить ~ = 1+ 4„! а, ! « 1, (5.5.23) и тогда из (5.5.21) следует, что ~ Ь ~ <( 1. В силу первого порядка малости величин ~ л, ) и ~ Ь ! уравнения (5.5.20) и (5.5.21) с учетом приведенного выше выражения для давления принимают следующий вид: 1+ 2ф~ = 1 Я ) + 2 Ь", — Ь' — — б, Легко показать, что всем граничным условиям удовлетворяет решение (5.5.24) е,(~)= (1 — е-ссовь), à — Я Ь'(~) =2 — е-~в)пь. Я (5.5.25) Покажем, что полученное решение приближенных уравнений совпадает со спиральным распределением скорости в слое Экмана вблизи твердой границы (см.
$4.4), над которой происходит течение во вращающейся жидкости. Радиальная и азимутальная компоненты скорости и и и в данном случае равны 1 йю 1 и= — 2 г ~ — — — — ™ п=гЯ(1+д,) Я 369 24-0812 и они соответствуют компонентам скорости — и и и в плоскости границы в (4.4 16) и (4.4.15). Рассмотрим вызванное диском течение жидкости, вращающейся с угловой скоростью, близкой к угловой скорости Й вращения диска, в системе координат, связанной с ним. В атом случае радиальная и азимутальная компоненты скорости малы по сравнению с Яг, а компонента завихренности, параллельная оси вращения, мала по сравнению с И. Это в точности соответствует тем условиям, когда силы Кориолиса намного превышают силы инерции (получается так называемое геострофическое течение, о котором более подробно будет сказано в 4 7.6, 7,7), и наша аппроксимация (5.5.23) равносильна предположению об отсутствии локальных изменений скорости вдоль ливий тока.
Условие постоянства скорости вдоль линии тока во вращающейся Гл, З. Течекие кри большом числе Рейиольдса; эффекты вяакости системе координат было тем предположением, на котором основывался анализ в 3 4.4, поатому становится понятной идентичность полученных двух решений. Следует отметить, что чистый перенос в слое Экмана происходил в направлении, противоположном градиенту модифицированного давления; применительно к данной аадаче это соответствует чистому переносу вдоль радиуса к центру диска при Г ) й и от центра диска при Г ( 17; величина этого переноса пропорпиональна г. В соответствии с этим подобный перенос может осуществляться и в вязкоы слое на вращающемся диске, если имеется компенсирующая постоянная осевая компонента скорости, которая обеспечивает удаление жидкости из слоя при Г ) 17 и приток ее в слой при Г ( 17; это уже было установлено ранее.
Легко можно показать, что скорость притока или оттока жидкости из вязкого слоя, т. е. предельное значение ю при х -ь оо, определяемое интегрированием выражения (5.5.25), в точности равняется величине, получаемой из уравнения сохранения массы и объемного потока жидкости (4.4.17) в направлении, противоположном градиенту давления в слое Экмана. 5.6. Установившееся двумерное течение в сужающемся или расширяющемся канале Двумерное течение в области между двумя пересекающимися плоскими стенками дает другой пример взаимодействия аффектов конвекции и диффузии чавихренности, воаникающей на твердой границе. Стенки считаются неподвижными, а установившееся течение обусловлено наличием источника или стока жидкости в точке пересечения стенок; на практике такие точечные источники или стоки в плоском течении могут быть аппроксимирозаны либо небольшими отверстиями вблизи точки пересечения, через которые жидкость вытекает или втекает, либо путем соединения узкого конца канала с отсосной трубкой постоянного сечения.
Наличие источника в точке пересечения стенок соответствует течению в расширяющемся канале, наличие стока дает течение в сужающемся канале. Для уравнений движения рассматриваемых течений иавестна система автомодельных решений в широком диапазоне значений угла между стенками и эффективных чисел Рейнольдса (впервые эти решения получили Джеффри (1915) и Гамель (1917)). Эти решения имеют сходство с решениями из 3 4.6 для стационарной струи, порожденной точечным источниколс количества движения, так как и в том и в другом случаях компоненты скорости пропорциональны и э, где г — расстояние от особой точки в этих течениях.
Как и все автомодельные решения, эти решения полезны тем, что они дают динамически возможные распределения скоростей. В реальных течениях распределение скорости будет зависеть, 370 Зя. деумерное теленке е сужеющемся нлн ресшкряющемся канале и = г тР (О). (5.6Л) Подставляя это выражение для и в два уравнения движения в полярных координатах (см. приложение 2), полагая и = О и исключая давление, находим 2РР' + тР + 4тР' = О, (5.6.2) где штрихи означают дифференцирование по О. Поскольку завихренность жидкости равна — Р'/г, то три члена в уравнении (5.6.2) представляют вклады (со знаком минус) в скорость изменения завнхренности в точке от конвекции, диффузии в окружном направлении и от радиальной диффузии соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
