Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В некоторых случаях конвекция не препятствует распространению завихренности по всей жидкости за счет вязкой диффузии. Относительно других этого нельзя сказать; так, в случае течения, вызванного движением тела в жидкости, ясно, что относительная скорость жидкости перед телом направлена к телу, и поскольку перенос за счет диффузии ослабляется с уменьшением расстояния от источника завихренности, то она будет распространяться только на конечное расстояние перед телом. В тех случаях, когда конвекция сильна (скорость тела всюду велика) или диффузия слаба (вязкость жидкости всюду мала), существуют большие области жидкости (впереди тела и по бокам от него), в которых окончательное установившееся течение является приближенно безвихревым.
Большинство из этих общих положений относительно развития установившегося течения с распределенной завихренностью применимо в аналогичной форме к изучению развития стационарного распределения температуры в жидкости, обтекающей нагретое тело; некоторым читателям эта более знакомая ситуация может показаться нагляднее. Отмеченная аналогия особенно заметна в случае двумерных полей, когда уравнение для одной ненулевой компоненты завихренности е совпадает (см.
(5.2.4)) с уравнением для распределения температуры в движущейся среде, имеющей коэффициент термодиффузии ж С целью сравнения этих двух случаев рассмотрим следующую задачу. Твердая плоская пластина пренебрежимо малой толщины, бесконечной ширины и длины с в начальный момент 8 = О внезапно приобретает скорость У в своей плоскости и одновременно внезапно нагревается до температуры, превышающей температуру окружающей жидкости. 353 23 — 0272 Гл. 5. Течение ври большом числе Рейиольдса; аффенты вяаиости ) ) / l П1УР»1 Р и с. ь.ал. днйауаип и нонвенпия вавнвреяности я теплоты от пластины, поиешеияоа в однородныа нотон.
1 — уроняла области аавитренностя и яовышепмя температуры; стреави справа — енорость однородного потапа. Начальное безвнхревое движение жидкости относительно пластины имеет постоянную скорость — У (ато первый этап развития движения). На втором этапе как взвихренность, так и температура диффунднруют от поверхности пластины и по истечении малого интервала времени й распространяются в жидкости на расстояние порядка (тс)11а. В данном случае аналогия неполная, поскольку, во-первых, распределения скорости и завихренности связаны соотношением ш = 17 х н, в то время как температура является независимой величиной, и, во-вторых, граничное условие для завихренности связано с условием прилипания, чего нельзя сказать о граничном условии для температуры.
Однако качественная аналогия остается справедливой, если граничное условие для температуры таково, что обеспечивается непрерывный поток тепла от поверхности тела; это может быть, скажем, в том случае, когда температура тела стационарно поддерживается на некотором уровне, превышающем температуру жидкости на бесконечности. На третьем этапе аавихренность и избыточная температура переносятся путем конвекции в точки, расположенные вдали от тела вниа по потоку; что касается распространения завихренности и повышения температуры в области впереди тела и по бокам от него. то они будут зависеть от относительной значимости процессов конвенции и диффузии, как покааано на рис. 5.4.1.
Скорость жидкости при установившемся течении всюду имеет порядок У и направлена почти параллельно пластине; поэтому время, в течение которого элемент жидкости находится у пластины, имеет величину порядка ИУ. За этот промежуток времени завих- 5.4. Возникновение занихренности при днижениях жидкости ренность и избыточная температура за счет диффузии распространяются в боковых направлениях (перпендикулярно линиям тока) на расстояние порядка (о(/У)ыз. Таким образом, если отношение Ю/и имеет порядок единицы, то завихренность и иабыточная температура распространятся в боковом направлении на расстояние порядка длины пластины. Если И/» >) 1, то завихренность и избыточная температура будут уноситься от пластины прежде, чем они смогут далеко распространиться в боковых направлениях; это приведет к образованию узкого «следа» завихренности и теплоты непосредственно вниа по потоку от тела (величины завихренности и избыточной температуры будут тем больше, чем уже след); если же Шlи ((1, то влияние конвекции пренебрежимо мало, а аавихренность и избыточная телшература будут распространяться от тела более или менее одинаково во всех направлениях.
Для распределения рассматриваемых величии вверх по потоку от тела из условия баланса конвектизных и диффуаионных членов получается, что завихренность и избыточная температура в общем случае распространяются на расстояние порядка и/с/ от кромки тела; приведенные выше качественные рассуждения о выборе различных величин для параметра Ю/ч применимы и здесь, однако количественные оценки будут отличаться. Теперь мы можем вернуться к многочисленным частным примерам течений из гл. 4, для того чтобы показать, насколько упрощаются рассмотренные в данном параграфе общие положения, если их применить к конкретным задачаы. В $4.3 обсуждались некоторые случаи развития из состояния покоя течения при постоянном направлении скорости, а в $4.5 рассматривались течения с круговыми линиями тока.
Во всех этих случаях не происходит изменения аавихренности вдоль линий тока и не происходит поворота или растяжения вихревых линий, так что иаменение завихренности здесь обусловлено исключительно действием диффузии. Однако, как ясно из проведенного анализа, твердая граница тела является источником завихренности, которая постепенно диффундирует от границ тела в первоначально безвихревое течение жидкости. В болыпинстве этих случаев течений окончательное установившееся состояние таково, что всюду в жидкости имеется ненулевая завихренность; стационарный поток завихренности от одних твердых границ уравновешивается стационарным потоком, проходящим через другие границы. Интересныл| исключениел» является возникающее из состояния покоя течение во внешней области кругового стационарно вращающегося цилиндра. В атом случае завихренность, диффундирующая от поверхности цилиндра в первой стадии движения, полностью уносится на бесконечность; в реаультате этого во все возрастающей области, охватывающей цилиндр, течение становится установившимся и безвихревым (см.
(4.5.10)). Так уж посчастли- 355 23е Гл. 5. Течение при большом числе Рсйнольдса; эффоктм вязкости вилось, что в атом течении твердая граница перестает быть источником эавнхренности. Проведенные в $4.9, 4ЛО и 4.12 исследования установившихся движений сферы и кругового цилиндра в жидкости, покоящейся на бесконечности, дают более поучительные примеры того, каким образом величина числа Рейнольдса может оказывать влияние на общую картину распределения эавихренностн в установившемся течении. Согласно этим исследованиям, по мере увеличения числа Рейнольдса от некоторого малого по сравнению с единицей значения распределение эавихренности становится более несимметричным и стремится локалнэоваться внутри параболы.
ветви которой направлены вниз по потоку, а фокус совпадает с центром тела; эта картина находится в соответствии с общими положениями данного параграфа о развитии такого установившегося течения иэ состояния покоя. Наша основная цель, к достижению которой мы постепенно приближаемся, состоит в научении тех течений, в которых существенны конвекция и диффузия; при этом влияние увеличения числа Рейнольдса до значений, намного превосходящих единицу, приводит к локализации воаникшей у стенок тела эавихренноств в слое относительно малой толщины 1по крайней ыере на передней стороне и отчасти на боковых поверхностях движущихся тел); величина этой эавихренности будет тем больше, чем тоньше становится указанный слой при увеличении числа Рейнольдса.
5.5. Установившиеся течения, в которых диффузия взвихренности, возникаккцей ва твердой границе, огранвчивается эа счет конвенция Существует немного решений основных уравнений гидродинамики, позволяющих аналитическим путем показать, каким образом эавихрекность в установившемся течении может локализоваться в некоторой области течения вблизи твердой границы. Эта локализация области распространения эавихренности достигается эа счет конвекции эавихренности к границе, т. е. в направлении, противоположном вязкой диффуэии, которая переносит эавихренность, возникающую на стенке.
Для существования таких решений поле скоростей в некоторой области рассматриваемого течения должно иметь направленную к границе компоненту скорости. В силу уравнения сохранения массы это возможно только в том случае, когда накапливаемая вблизи границы жидкость удаляется либо путем отсоса через границу, либо путем непрерывного увеличения тангенциальной компоненты скорости с увеличением расстояния вдоль границы. Ниже рассматриваются один пример первого иа указанных типов течений и два примера второго типа.
356 5.5. Ограккчеыке двффузвв эаввхревностк эа счет коввекпкв (а) Обтекание лластинки и цилиндра при отсосе жидкости через стенку Некоторые материалы, такие, как пористая бронза или металлический лист с многочисленными отверстиями малого размера, обладают свойствами твердого тела и способностью принимать ту нли иную заданную форму. Если слой такого материала использовать в качестве границы области течения жидкости и если обеспечить пониженное давление на внутренней стороне тела, то жидкость будет просачиваться через него.
Тогда подходящее граничное условие для указанной области течения состоит в том, что нормальная компонента относительной скорости жидкости и твердого тела на границе должна быть равна некоторой величине, определяемой пористостью материала и приложенным перепадом давления; для простоты мы возьмем в качестве заданной нормальной относительной скорости постоянную для всех точек границы величину — Г (положительное значение Г будет соответствовать отсосу жидкости на границе). Что касается граничного условия для тангенциальной компоненты относительной скорости на поверхности тела, то, согласно экспериментальным данным, условие прилипания все еще остается приемлемым и при наличии отсоса; а поскольку обычно используемые на практике значения скорости отсоса У очень малы по сравнению со скоростью основного течения (из-за большого сопротивления течению жидкости через поры), то кажется вполне разумным сохранить условие прилипания жидкости на границе, во всяком случае, как очень хорошее приближение.
Сначала мы рассмотрям решение для установившегося двумерного течения над плоской твердой границей, через которую жидкость отсасывается с постоянной скоростью К Не будем пока учитывать картину течения вверх по потоку. предполагая, что переменные задачи не зависят от координат в плоскости, параллельной границе (при этом мы действуем по обычному в гидромеханике правилу: делаем какое-либо предположение и потом его проверяем). Таким образом, если (х, у, з) — прямоугольная система координат (ось у нормальна к границе), то скорость жидкости есть (и, — У, 0), а эавихренность есть (О, О, в), где ы = — диЯу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
