Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Мы можем также, исходя из (5.3.2), показать, что аавихренкость некоторого жидкого элемента остается равной нулю, если она была нулевой в начальный момент времени (и таким образом снова получить, что любой объем жидкости, совершающий беавихревое движеяие, будет все время совершать такое движение). Для этого совсем недостаточно утверждать, что если ю =- = О в начальный момент, то иа равенства Рю!Р1 = О в силу (5.3.2) г) Это результат был получен Лаграпшеп, *атя строгое допвввтельство его впервые было дано Коша в 1а1б г. 349 Гл.
б. Течеиие при большом числе Рейиольдсе; эффекты зизкости в начальный момент следует равенство нулю завихренности в; как отметил Стокс (1845, Рарегз, 1, р. 106), здесь требуется более полное доказательство, подобное, например, следующему. Из (5.3.2) имеем — =2 вд — =2 лл Пве до~ до~ ВФ длд ' длд ' (5.3.10) где в = ~ в ), а в = сол. Тогда, если К вЂ” наибольшее положительное значение выражения Л,лг ди,/для при движении рассматриваемого жидкого элемента в интервале времени от 1е до д то решение уравнения (5.3.10) будет удовлетворять неравенству в'(с) ' в (се) сзлр ' >.
При условии в (8е) = 0 отсюда следует со (г) = О, когда К (С вЂ” ге) конечно. Подобное ограничение на величину градиента скорости, как отмечалось в $3.1 при обсуждении скорости изменения интегралов по переменному объему, имеется и в доказательстве сохраняемости безвихревого движения с использованием (5.3.1). Соотношения (5.3.4), (5.3.7) илн (5.3.9) покааывают также, что коэффвциент усиления эавихренности жидкого элемента за определенный интервал времени конечен и, следовательно, завихрекность остается равной нулю, если она равна нулю в начальный момент и если растяжение элемента жидкости остается конечныьь 5.4, Возникновение завихрениости при движениях япщкости из состояния покоя В 4 5.2 было установлено, что изменения потока завихренности через элемент жидкой поверхности возникают исключительно вследствие местной диффузии завихренности под действием вязкости.
В случае, когда удельная массовая сила представляется в виде однозначного потенциала, изменения циркуляции по жидкому замкнутому контуру происходят только аа счет вязкой диффузии завихренностн через контур, независимо от вцда контура, ограничивающего незамкнутую поверхность, целиком лежащую в жидкости. Внутри жидкости поток завихренности или циркуляция не могут возникать, а могут только распространяться под действием вязкости.
В связи с этим возникает важный вопрос о первичном источнике завихревности при движениях однородной жидкости из состояния покоя. В начальиый момент завихренность всюду равна нулю, и движение должно оставаться безвихревым, если завнхренность не диффундирует через поверхность, ограничивающую жидкость. Известно, что движения реальных жидкостей, которые мы можем наблюдать, обладают завихренностью по крайней мере в некоторой части поля течения (так, например, можно отчетливо видеть вра- 5.4.
Воаннкновеняе вавнхренногтн прн двнженнях жидкости щающиеся участки жидкости ва поверхности воды в сосуде, если опущенное в воду лезвие ножа начать двигать из состояния покоя); поэтому мы можем ожидать, что существует некоторый мехаиизм возникновения завихреякости иа границе жидкости. Если жидкость целиком или частично ограничена твердымв поверхностями, а для удаленных иа бесконечность участков границы считается покоящейся, то механизм возникновения эавихрениости связан с условием прилипапия жидкости иа стенках. Существуют и другие типы границ, приводящих к возиикиовеивю завихреяпости, такие, как есвободкыеа поверхности жидкости, иа которых дзвлеиие постояиио, а касательное напряжение равно нулю (2 5.14); однако случай твердых границ встречается намного чаще, и здесь мы подробно рассмотрим только его.
Условие кепротекакия через каждый элемент твердой границы полиостью определяет безвихревое движение жидкости '), и это единственное безвихревое двюкеиие почти неизбежно имеет яеиулевую касательную компоиекту относительной скорости жидкоств иа твердой гравице (у иас иет причин рассматривать какие-либо случайные обстоятельства, в силу которых это было бы пе так). Таким образом, если движение жидкости воаиикает из состояния покоя при отсутствии диффузии эавихрекяости через границы жидкости, то оио должно сопровождаться ненулевой касательиой скоростью ка границе жидкости.
Поскольку условие прилипавия требует обращения в нуль касательной компоненты относительной скорости в каждой точке твердой границы, сколь бы малой яи была вязкость в таком течеиии, ка граиице возиикает завихреииость бесконечной величины.
Эта пелена завихреииости па твердоя границе и является тем источником, из которого завихреяяость— как только начинает действовать вязкость — распространяется внутрь жидкости. Формирование течения с обрааовапием завихреикости внутри жидкости можно наглядно представить путем рассмотреиия следующего частного вида движения; пусть покоящаяся в начальный момент времеии жидкость приводится в движение твердым телом, которое при г .= О мгновенно приобретает конечную скорость и в дальиейшем движется с этой скоростью в жидкости.
Можно считать, что окоичателькая картина установившегося движения жидкости относительно твердого тела формируется в три этапа. На первом этапе происходит мгновенное возникновение движеиия жидкости, которое удовлетворяет условию пепротекаиия через каждый элемент поверхности тела. Твердое тело приобретает скорость внезапно, или импульсивно, и окружающая тело ') прв условна, что еавятая жвдксстью область одвосеяаяа (см. $2.7, 2.9). вслв область даусвяапа, как в случае обтекания цвлввцра бесконечной рлввы, то сделанное утеержденпе справедливо тогла, когда садака цнркуляцня по нестягвваемым ааккнутым крввын а жвдкоств ($2.8, 2.!0); в действительно, послевмее условие аылолняетсп для беаев:гревого дввжепня, воапвкаюжего ва ссогояпня покоя.
35$ Гл. Э. Течение при большом числе Рейпольдса; аффекты вязкости жидкость также должна начать двигаться внеаапно '). Движение при г = О обязательно будет безвихревым внутри жидкости, поскольку при б ( О аавихренность всюду в жидкости была равна нулю. Как уже отмечалось, начальное безвихревое течение полностью определяется известныаг движением твердой границы, и единственное безвихревое течение, возникающее при В = О, практически всегда должно иметь скорость на границе, касательная компонента которой отличается от той же компоненты скорости гран)щы тела.
Таким образом, при 8 = О на границе тела имеется разрыв касательной составляющей скорости, что равносильно наличию вихревой пелены на поверхности тела. Величина интеграла от эавихренности е) по нормали к границе тела в любой ее точке равна скачку касательной компоненты скорости и, следовательно, конечна. На втором этапе формирования течения под действием вязкости начинается диффузия завихренности от границы тела, где она была сосредоточена в момент б = О. Если изменения завихренности в каждой фиксированной точке обусловлены только вязкой диффузной, то каждая компонента завихренности е в прямоугольной системе координат будет удовлетворять уравнению теплопроводности; как было показано в гл.
4 на примерах, в которых другие виды изменения завихренностя е) по тем или иным причинам не возникали, величина расстояния х), на которое распространяется завихренность за счет диффузии эа время д будет порядка (тг)мз. Фактически завихренность переносится также за счет конвекции (что дает вклад в дю/д~ в фиксированной точке, определяемый первым членом в правой части уравнения (5.2.1)) и изменяется за счет локального деформнровання и вращения жидкости (второй член в правой части уравнения (5.2.1)). Второй иэ указанных дополнительных эффектов не окааывает влияния на распределение по пространству завихренности, чего нельзя сказать о первом.
Однако вблизи тела скорость жидкости относительно тела имеет только малую нормальную компоненту, так что при малых значениях времени 1, когда расстояние (и)хге мало, влияние конвенции выражается в переносе эавихренности в основном параллельно поверхности тела, а не по норыали к ней. Таким образом, при ') В дейетввтелывюти мгезапное движение приобретают только частицы жидкоетя, пепоезедетвеппо ооприкаеаюжяеея е граввцей тела, а другие начинаем двмгатьея возже е результате дебетная волн сжатия, которые раейроогранаютеи ог границы тела е конечной екореетью.
Однако ееля скорости жвпкеети малы по оравненню о мявимальвой екороетью вола ежатия (т. е. енороетью раепроетраневия звука в жидкаетя), то жадность можно уеловно ечатать пеежммаемой. а екороеть раепроетравення волн вжатая — бесконечнойй. Подробнее опвеение возникновение нмпульеввиого градиемта давления в несжимаемой жидноети, а еледовательпа, в внезапного ее двивмния под действием ввезапвого деиженяя гранины, содержится в б аде. *) Это, конечно, ве есть какое-то определенное раеетояние, поекольку лрн 1 > б в жадности иет точек, е которых взвихренность м. определенная теоретячееки, тождеетвеяво равна нулю.
Раеематрвеаемае расстояние предетавлвет собой »глубину йронвкавия», емыел каторей можно выяеивть на примерах, подобных прявелеяным в б 1.3. 352 5.4. Воаниинсзение заиихрениости нри дзижениих жндиссти ыалых значениях 2 завихренность жидкости будет отлична от нуля в окружающем тело слое толщины порядка (т2)'~2.
Внутри этого слоя завихренность конечна, так как она обусловлена конечным скачком скорости в слое ненулевой толщины. Во время третьего этапа расстояние (тг)М' не остается малыы (по сравнению с каким-либо характерным линейным размером границы), н эа счет конвенции завихренность будет переноситься к границе тела или от нее. При 2-е. ао обычно формируется установившееся движение жидкости относительно тела; в этоы случае изменения завихренности ю в любой точке, фиксированной относительно тела, вызванные действием конвекции, локальным дефорыированием и вращением жидкости, а также вязкой диффузией, имеют нулевую результирующую. Тот из этих трех эффектов, который связан с локальным деформированием и вращением жидкости, обусловливает лишь локальное изменение завихренности и оказывает второстепенное влияние на общую картину распределения завихренности. Другие два аффекта — конвекция и диффузия — очевидно, определяют, по всей ли жидкости будет распространяться завихренность в установившемся течении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
