Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 84
Текст из файла (страница 84)
5. Течение прн большом числе Рейкольдеа; аффекты вяакоотк й5 2 5 гр 5 б 7 =( —;.)1у Р не. 5.8Л. Раолргделевне окороотя в логравлчкок евое на лаоокой ллаетвке. многочисленные измерения распределения скорости и в пограничном слое на гладкой плоской пластине малой толщины, расположенной вдоль потока, которые показали хорошее соответствие с распределением скорости на рис. 5.8.1. Результаты измерений дали также хорошее подтверждение параболического роста толщины пограничного слоя в соответствии с (5.8.3).
Одно из полезных свойств полученного решения состоит в том, что оно позволяет оценить касательную силу, действующую со стороны жидкости на пластину. Сила треяия на единицу площади пластины на расстоянии х от ее передней кромки равна р ( — ) =рГ7~ ( — ) ~" (0) =О,ЗЗРГУ' ( — ) (5.8.7) в соответствии с численным решением; изменение этой силы по закону х-Ыз обусловлено, конечно, увеличением толщины пограничного слоя по закону х гга, поскольку форма профиля скорости не зависит от х. Таким образом, сопротивление, оказываемое жидкостью с обеих сторон пластины единичной ширины и длины 1, равно гг= 2 ~ р ( — ") ггх — "-1,33рГ7Ч ( — ) .
(5.8.8) о Эта оценка общего сопротивления трения приближенно применима к любому тонкому двумерному телу длины 1, расположенному вдоль потока Я 5.11). Можно получить также и численное значение толщины пограничного слоя. Из рис. 5.8.1 видно, что величина АУ достигает значения 0,99 при у = 4,9 (тх/У)ыа. В качестве менее произволь- 8.8. Пограничный слой на плоской пластине ной меры толщины пограничного слоя служит толщина вмтвднв- нил, определяемая как (5.8.9) о Толщину вытеснения можно представить себе как расстояние, на которое смещаются линии тока в поперечном направлении на внешней границе пограничного слоя вследствие замедления жидкости в пограничном слое.
Согласно численному решению, имеем 6,=1,72( — ) (5.8.10) ') См. монографию Всвглцеаб 1. (еб.), Ьащ!паг Воппбагу Ьауегв, Ов!щб Пп!тегв!!у Ргевв. 1992, в которой можно найти исполнительную общую инбюрмацию по матервалу ивиной главы. [См. также инягу: Лойцянский Л. Г., Ламинарный погранввный слой, Фяаматгвв, М., 1992.— Ред.) 391 (см. рис. 5.8 1). Отсюда, например, при У = 100 см/сев и х = 10 см получаем значения 61, равные 0,21 и 0,06 см для воздуха и воды соответственно при нормальнон температуре.
Следует напомнить, что приближенные уравнения пограничного слоя справедливы только при больших числах Рейяольдса, построенных по линейному размеру твердой границы, и прн условии, что величина ди/дх мала по сравнению с ди/ду. Эти условия выполняются для плоской пластины длины 1 при И/и )) 1 с возрастающей точностью при л-~- оо во всей области течения. за исключением окрестности передней кромки пластины при х =- О. В этой малой окрестности число Рейнольдса 1/и/р имеет порядок единицы, величина 6, определенная по (5.8.3), имеет порядок величины х, а изменения величин в направлении х пе меньше соответствующих изменений в направлении у.
В силу этого мы не можем ожидать, чтобы описанное выше течение имело место на расстояниях порядка и/1/ от передней кромки пластины. Лучшие приближения для течения в этой области можно найти в специальных руководствах 1). Можно также получить улучшенное приближение для описания течения при значениях х, для которых а/х)т )) 1, если учесть влияние пограничного слоя на распределение скорости вне его. При получении первого приближения для течения в пограничном слое мы пренебрегали этим влиянием и считали, что иа внешней границе пограничного слон скорость ь/ не зависит от х. В этом приближении было установлено, что на плоской пластине образуется пограничный слой с толщиной вытеснения, определяемой выражением (5.8.10). Мы, очевидно, получим лучшее приближение для течения в повязкой области, если будем искать безвихревое обтекание параболического цилиндра полуширины 1,72 (рр/У)1/в, помещенного в поток со скоростью 1/ далеко впере- Гл.
5. Течеиие при большом числе Рейиольлса; еффеитн виаиости ди цилиндра. Соответствующее распределение касательной скорости на поверхности цилиндра можно будет тогда использовать (при новом интегрировании уравнений пограничного слоя) в качестве распределения скорости, к которому стремится и при у/б -~- оо. Имеется очевидное сходство между рассмотренным выше установившимся течением вдоль плоской пластины, для которого пограничный слой растет как (тх/7/)'1а при неизменном профиле скорости, и неустановившимся течением, возникающим при внезапном приведении в движение со скоростью с/ бесконечной пластины в ранее покоящейся жидкости. В последнем течении, описанном в $4.3, «пограничный слой» растет как (от)ма, а распределение скорости остается неизменным при всех к Репей высказал предположение, что зависящее от времени течение для бесконечной пластины можно рассматривать как приближение к установившемуся обтеканию полубесконечной пластины, если з заменить на л/с/ (в обоих случаях оси координат фиксированы относительно пластины); это приближение иногда окааывается приемлемым (за неимением более точных решений) и в других задачах обтекания полубесконечных тел, для которых скорость вне пограничного слоя постоянна.
Указанная аналогия между двумя видами течений чисто качественная, как зто можно увидеть из сравнения сил трения на единицу площади плоской пластины, а именно: дли бесконечной пластины сила трения равна 0,56рс/а (с/ег/ч) ыт, а для полубесконечной пластины она равна 0,33рс/ч ((/л/т) ма. Различие между зтими двумя течениями можно установить с использованием уравнения движения для течения с почти постоянлым давлением и малыми изменениями параметров в направлении координаты л, т. е.
уравнения ди ди ди даи — +и — +р — =т —. дс дл ду дуа В случае установившегося течения для полубесконечной пластины левая часть этого уравнения становится равной и ди/дх + и ди/ду, а в случае зависящего от времени течения для бесконечной пластины она равна ди/дд или с/ ди/дт, если мы положим т = Ю. Выражение и ди/дл + о ди/ду хорошо аппроксимируется членом с/ ди/дт (при т = л) в случае течения, в котором скорость (и, и) близка к постоянной скорости (с/, О) (зто соображение было положено в основу при выводе уравнений Озеена (4.10.2), которые специально и предназначались для представления течения в области, далеко удаленной от тела, помещенного в однородный поток); однако обратное утверждение неверно. Проведенное выше вычисление распределения скорости вблизи плоской пластины и соответствующие оценки силы трения и толщины вытеснения справедливы только тогда, когда течение 392 8.8.
Погрвннчный слой пя плоской пластине ОО длг 0,000 аа 0000 а 0,004 0000 О,ООЯ и 0'И йг 0 10 ВО/р Р я с. Ь.В.В. Полная вяла трення П не еднняпу ынрнны гладкой плоской пластяны плнны Г в потоке со скоростью у. Крвввя лвння переходе имеет форму, тнпнчную для акспернментельнмх неолюдеяпй, но ее положение на грааяне аавнснт ог условлй опыта. т — полностью ламннарный погренвчнмй слой: г — полностью турбулентный погренвч- вмй слой. в пограничном слое установившееся или «ламинарное» на всей поверхности плоской пластины. В действительности при локальных числах Рейнольдса бгУ/ч, превышающих значение ж600, течение в пограничном слое становится неустойчивым.
В этом случае возмущения в пограничном слое возрастают и на некотором расстоянии вниз по потоку происходит переход к другому типу течения. Наблюдения показывают, что этот новый режим течения характеризуется постоянной и случайной неустойчивостью, хотя распределение стационарной средней скорости имеет в общем ту же самую форму, что и в пограничном слое. Сила трения на стенке в таком турбулентном пограничном слое значительно превосходит соответствующую величину в ламинарном пограничном слое при одной и той же скорости внешнего потока; зто обусловлено тем, что случайные поперечные движения в турбулентном пограничном слое переносят частицы жидкости с большой скоростью из внешних слоев в область вблизи стенки и тем самым обеспечиваются более быстрые процессы переноса в поперечном направлении по сравнению с молекулярной диффузией.
В этой книге мы ве будем обсуждать турбулентное течение, однако ввиду важной роли полной силы трения ня плоской пластине как стандартной величины прн сравнении обтекания различных двумерных тонких тел желательно дать несколько замечаний об имеющихся данных. Из приведенного выше критерия устойчивости и выражения (5.8.10) следует, что при ЫП», меньшем приблизительно 1,2.10В, в пограничном слое на плоской пластине длины 1 всюду имеет место ламинарное течение (это соответствует пластинам длиной 180 и 13 см для воздуха и воды соответственно 393 Гл. 5.
Течение при большом числе Рсйнольпсв; аффекты вязкости при нормальной температуре и скорости $00 см/сек). Когда число Рейнольдса превосходит зто значение, наблюдается переход к турбулентному течению сначала вблизи задней кромки пластины, а потом постепенно выше по потоку при соответствующем росте полной силы трения на пластине. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
