Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Это распределение относительной скорости жидкости (относительно границы) в точке х совпадает с распределением скорости, возникающим в жидкости, ограниченной твердой плоской стенкой, скорость которой в ее собственной плоскости внезапно возрастает от нулевой и поддерживается постоянной, равной — а/ (х); в атом последнем случае эффекты конвекции и градиента давления одновременно равны нулю (з 4.3). Теперь мы можем использовать это первое приближение для оценки конвективных членов в (5.9.13). Итак, второе приближение для компоненты скорости, параллельной границе, локально равно и = иг + иа, причем диг даиа Нбг диг диг — е — = г/ — — иг — — ра — ', да дуа дл дл ду (5.9 15) нормальная скорость иг в первом приближении получается из (5,9.14) с использованием уравнения сохранения массы (5.9.1).
Граничные условия, которым должна удовлетворять величина ию таковы: из(х,у,О) = О, из(х,О,а) = О, иа(х,у,г)-ьО при у -и оо. Правую часть уравнения (5.9.15) можно представить в виде произведения с/(Л//гах) на произвольную функцию от ц, так что частный интеграл уравнения (5.9.15) можно записать как га/(Ис//г(х)/(д). Определение функции / (ц), удовлетворяющей уравнению (5.9.15) и приведенным выше граничным условиям, можно выполнить непосредственно г), поэтому в качестве второго приближения для скорости и имеем и =- г/ ег1 г1 + гг/ — „~ / (г1).
д// Указанная процедура может быть продолжена для улучшения приближения; после л приближений дополнительный член в выражении для скорости и имеет внд гп ' х (Функция от х) х (Функция от г)). Приближения (5.9.16) вполне достаточно для достижения поставленной нами цели, т.е. для обсуждения обратного течения в пограничном слое на участке замедления внешнего течения. Две функции ег( Ч и / (Ч) всюду пеотрицательны, и отношение / (ц) к ег1 Ч имеет наибольшее значение при г) = — О.
Следовательно, обратное течение может возникать только для г(г//ггх ( О, и это достигается в первую очередь при 9 = О, т. е, прн у = Π— вывод, который мы получили также и при изучении установившихся пограничных слоев. Время наступления обратного течения в луобой точке х П сп., напрамгр, Каагпьеал Ь. (аол, Ьапапаг Воппеагу Ьауега, $ Чых, 404 З.Э. Эффекты ускореякя и оамедкекия эяешяего поток» есть значение Д при котором величина (ди/ду) о обращается в нуль, и в соответствии с (5.9.16) н иавестным решением для / (ц) оно равно (Ы(егЕЧ)/ИЧ) о,т0 'юг//ас ( а/(ч)/ггч ) ч=о й<7lй Точные значения времени и координаты, при которых начинается обратное течение, зависят от производной И//Нх, определяемой формой тела.
В качестве простого примера рассмотрим круговой цилиндр радиуса а, движущийся в безвихревом потоке, причем циркуляция вокруг цилиндра равна нулю; в этом случае скорость жидкости относительно поверхности цилиндра (см. (2.10.12)) г/(х) = 2(/о з(п (х/а), где х измеряется вдоль поверхности от передней критической точки, а с/о — скорость движения цилиндра относительно жидкости на бесконечности. Максимальное значение величины — Ы(//дх достигается при этом в кормовой критической точке х = яа, и обратное течение начинается в момент времени, равный 0,35а/(/„ т. е.
когда цилиндр переместится на расстояние 0,35а. (Третье приближение для скорости дает значение 0,32 вместо 0,35.) В последующие моменты времени обратное течение охватывает конечную область поверхности кормовой части цилиндра; так, например, в момент времени 0,50а/с/о обратное течение охватывает интервал о/,яа ( х ( яа„а при г- со эта область продвигается вперед вплоть до значения х = '/,яа. Однако маловероятно, чтобы первые несколько членов в разложении по степеням г дали точную оценку скорости и при значениях д превышающих ж0,50а/с/о. Смысл расчета заключается в установлении того, что обратное течение возникает в пограничном слое на кормовой части тела по прошествии периода времени, обратно пропорционального максимальному значению величины — аг//ах и ве зависящего от вяакости.
Установившиеся пограничные слои, в которых имелось бы обратное течение (и в которых и/(/ ( 1 для всех у), не были обнаружены ни теоретически, ни экспериментально; таким образом, это указывает на то, что установившееся течение на плохообтекаемом теле при наличии тонкого пограничного слоя на всей поверхности тела невозможно. Мы можем также оценить время, требуемое для переноса завихренности вдаль от цилиндра.
Вблизи кормовой критической точки безвихревого течения компонента скорости, нормальная к поверхности и направленная в сторону от нее, равна /гу, где й = 20о/а для кругового цилиндра; когда слой ненулевой завихренности настолько толст, что перенос завихренности осуществляется в основном за счет конвекции, его толщина увели- 405 Гп. 5. Течение ири большом числе Рпаиольдса; аффекты вяакпсти где г1 = г/аУ/(т1)гуа. Это РаспРеделение относительной скоРости жидкости (относительно границы) в точке х совпадает с распределением скорости, возникающим в жидкости, ограниченной твердой плоской стенкой, скорость которой в ее собственной плоскости внезапно возрастает от нулевой и поддерживается постоянной, равной — Г1(х); в этом последнем случае эффекты конвекции и градиента давления одновременно равны нулю (т 4.3). Теперь мы можем использовать это первое приближение для оценки конвективных членов в (5.9 13).
Итак, второе приближение для компоненты скорости, параллельной границе, локально равно и = и, + ию причем див двив „, Нгу дп» дп~ — — т — = и' — — иг — — иг — ', дг дуа Нп да ду нормальная скорость и, в первом приближении получается из (5.9 14) с использованием уравнения сохранения массы (5.9.1). Граничные условия, которым должна удовлетворять величина пю таковы: из(х,у,О) = О, из(х,0,1) = О, из(х,у,1) 0 при у-»- оо. Правую часть уравнения (5.9.15) можно представить в виде произведения ег(Н7Ых) на произвольную функцию от г1, так что частный интеграл уравнения (5.9 15) можно записать как 1гг(г)агй)х)1(г1).
Определение функции 1 (г1), удовлетворяющей уравнению (5.9.15) и приведенным выше граничным условиям, можно выполнить непосредственно '), поэтому в качестве второго приближения для скорости и имеем и = (У ег1 г) + Ы вЂ” 1 (г)). дГг Уггазанная процедура может быть продолжена для улучшения приближения; после а приближений дополнительный член в выражении для скорости и имеет вид уп ' х (Функция от х) х (Функция от г)). Приближения (5.9.16) вполне достаточно для достижения поставленной нами цели, т.е. для обсуждения обратного течения в пограничном слое на участке замедления внешнего течения. Две функции ег( г1 и 1 (г1) всюду неотрицательны, и отношение 1 (Ч) к ег1 г1 имеет наибольшее значение при г1 = О.
Следовательно, обратное течение может возникать только для г1(И(х ( О, и это достигается в первую очередь при г1 = О, т. е, при у .= 0 — вывод, который мы получили также н при изучении установившихся пограничных слоев. Время наступления обратного течения в любой точке х ') См., например, Ковепьеаа 1., <еа.и Ьапг!паг Воппдагу Ьауегв, 1 ЧПЛ. 404 5.9. Эффекты уекореннн к еекедкеннн энешнеге потека есть значение Г, при котором величина (ди/ду)„е обращается в нуль, и в соответствии с (5.9.16) и известным решением для /(Ч) оно равно 1 ~И(ег1 Ч)/«Ч) (, то "/"е 1 е/(Ч)/нЧ 1 к=е лг / Точные значения времени и координаты, при которых начинается обратное течение, зависят от производной И//дх, определяемой формой тела. В качестве простого примера рассмотрим круговой цилиндр радиуса а, движущийся в безвихревом потоке, причем циркуляция вокруг цилиндра равна нулю; в этом случае скорость жидкости относительно поверхности цилиндра (см.
(2.10.12)) е/(х) = 21/е з!и (х/а), где х измеряется вдоль поверхности от передней критической точки, а 1/е — скорость движения цилиндра относительно жидкости на бесконечности. Максимальное значение величины — И/Й(х достигается при этом в кормовой критической точке х = па, и обратное течение начинается в момент времени, равный 0,35а/(/„ т. е. когда цилиндр переместится на расстояние 0,35а. (Третье приближение для скорости дает значение 0,32 вместо 0,35.) В последующие моменты времени обратное течение охватывает конечную область поверхности кормовой части цилиндра; так, например, в момент времени 0,50а/(/е обратное течение охватывает интервал е/еяа ( х ~ ~па, а при 1-е.
со эта область продвигается вперед вплоть до значения х = г/еяа. Однако маловероятно, чтобы первые несколько членов в разложении по степеням 1 дали точную оценку скорости и при значениях д превышающих ж0,50а/(/е. Смысл расчета заключается в установлении того, что обратное течение возникает в пограничном слое на кормовой части тела по прошествии периода времени, обратно пропорционального максимальному значению величины — Н//нх и ве зависящего от вязкости. Установившиеся пограничные слои. в которых имелось бы обратное течение (и в которых и/(/ 1 для всех у), не были обнаружены ни теоретически, ни экспериментально; таким образом, это указывает на то, что установившееся течение на плохообтекаемом теле при наличии тонкого пограничного слоя на всей поверхности тела невозможно.
Мы можем также оценить время, требуемое для переноса завихренности вдаль от цилиндра. Вблизи кормовой критической точки безвихревого течения компонента скорости, нормальная к поверхности и направленная в сторону от нее, равна /еу, где й = 2(/е/а для кругового цилиндра; когда слой ненулевой завихренности настолько толст, что перенос завихренности осуществляется в основном за счет конвекции, его толщина увели- 405 Гл. б. Течевие при большом числе Ревиольаса; аффекты вяакости чивается как ехр (И).
Однако в начальной стадии перенос завихренности от поверхности цилиндра обеспечивается действием сил вязкости; как показывает анализ размерностей, полное выражение для толщины слоя завихренности вблизи кормовой критической точки (где внешний поток определяется лишь величиной /с) должно иметь вид сопзФ (т//с)т/т е" ~. Отсюда следует, что толщина слоя может быть сравнима с радиусом кругового цилиндра по истечении времени порядка й 1п — или — 1и —; ата а аио т //о т в реальных условиях зто значение времени не очень сильно отличается от а/Уо.
Расчеты развития обтекания кругового цилиндра из первоначального безвихревого движения проводились также с использованием конечно-разностной аппроксимации производных по координатам и времени в полных уравнениях движения; последовательное интегрирование по времени уравнений движения во всей области течения осуществлялось с использованием быстродействующей ЭВМ. Этим методом Пейн (1958) численно проинтегрировал уравнение для завихренности (оно удобно по той причине, что вычисления выполнялись для ограниченной области вблизи цилиндра, в которой завихренность отлична от нуля); в качестве шага по времени он использовал величину 0,1 а/с/о; на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
