Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 99
Текст из файла (страница 99)
В окончательном итоге для случая осесямметричного течения чы приходим к следующим формулам: 'р дх' о= — рв В, д д«! Здесь са(х, «) есть решение уравнения Лапласа: дат 1 д дт = д т, -+ — — (. д) =, (37.27) (37. 28) Удовлетворяющее следующим граничным условиям: дт дт дл — '=(l соз(п, х) на Яг, — = О на 5т, д» дт дт — — рО, — — а О прн ! х !!-» — ьсо. «а т дк ' д» (37,29) 41 теоретивесаав сидроиеваиика, е, П Осеен получил в результате предельного перехода Р— р 0 уравнения для более общего случая, чем тот, который рассмотрен нами. )(ля частного случая прямолинейного равномерного движения тела е"О уРавнения совпадают с полученными только что нашим нестро"им методом уравнениями.
% 88. Реакция потока на тело. Вычислим теперь силы возле"стеня потока на тело для рассматриваемых течений, причйм о"Раннчимся только случаем плоской задачи. Если Х и у суть [гл, и движение вязком жидкости проекции на оси координат силы воздействия потока на контур С, то очевидно: Х= — ~ рсоа(л, х)дз, 1'= — ~ рсоа(л, у)~й. На основании формул дх = — дз соз 1л, у), ду = лз сов (л, х), можем написать Х= — ) рФу, Г= ~ р Ых, Х вЂ” й'=- — 1 ~ рЖ.
(38,1) р=рУ вЂ” „~ — -2 — ~® + ( — 1) ~ на Сп (38.2) р=рУ вЂ” — —.Ь' на С. дт дх 2 Введя в рассмотрение функцию будем иметь: р=р на С, р=р — — ~Уз — 1 — — ц на С, 1 2' и следовательно: Х вЂ” Г = — г / ри дт да+ — ' ~ ~(-' — ') + (-'-'-') д + + ф / ~ Уе — ® ) Й. (38.3) с, Положим теперь ,а=~ ~(дв) +®)д = 1 — — 1 —;)) 1 — — )- 1 — ) (а'х — )Фу), =-й -)( — ) ! дт , дт з 7 дз дт 1 1, дх ду ~), дх ду ) с (38.4) Применяя к точкам контура С формулы (37.22) и замечая, что на Сз имеем до1ду = О, получим: 643 РЕАКЦИЯ ПОТОКА НА ТЕЛО 4 зе1 тогда где ю=р+Ру, а у есть функция, гармонически сопряженная с р.
Ио Фю/г(е есть однозначная аналитическая функция от г вне контура С, обращающаяся в нуль на бесконечности; следовательно, вблизи бесконечно далзкой точки мы имеем разложение дж дт дт а, ав (38.5) дх дх ду х +х' Поэтому / ( — ) ах=О, с так как вместо С за контур интегрирования можно взять окружность сколь угодно большого радиуса, на которой подынтегральная функция имеет порядок 1()г('. Итак, А+ГВ=О, А= — 1В, (38.6) Далее В = 2 / ~ — — 1 — ) ' — сов(л, х)+ — соя(и, у)1гй = 1 !дт дт'*гдт дя ,l (дх ду )1дх ' ду с с что вследствие граничных условий дает: В=-2 ) ( — ~ — г'-~ ) (Г сов(л, х) дз + 2 ) — ~-д соз(л, х)гЬ= /' Г дт , дв т /'ду ду ./ (дх ду ) .) дхдх с, с, = 2 ') ( д' — Р' и ду+ 2 / ® ду.
с, с. Ио формулы (38.3), (38.4) и (38.6) показывают, что ,l г дх( У)+2 + 2,1~ Ы) ) 41» 644 движение Вязкой жидкОсти 1гл и — =0 на С, дв~ дл 1 — — ь — У, дт, ду =О С, дт, ду (39.2) — — ьО дт, ду при )/ ха+уз — ь са, Положим, наконец, дге, дт, . дт1 — — = — — ( — =е де ду ду Ясно, что ы(г) есть аналитическая функция от г; легко выяснить механическое значение вещественной и мнимой частей этой функции.
А именно, обозначим через Ъ' абсолютную величину скорости вспомо- Подставляя сюда аначение В и отделяя вещественную и мнимую части, легко найдаьг после простых вычислений: з ~'(дт (39. 7) с, ~(й" ~'")- ~ Й '-(Й)'1"= с с, =" — -Р— ~ — )1" с, где Р = — 2л!щ а, есть циркуляция для течения с потенциалом те = ~у + 1уЦ Заметим, что значение Х всегда получится отрицатель- ным, так как при положительном обходе контура С значения Фу на С, отрицательны. 9 39. Обтекание цилиндра. Как первый пример применения предыдущих уравнений разберам задачу об обтекании цилиндра радиуса а. Нам нужно прежде всего определить гармоническую функцию у по условиям дт дт да — ~= Усов(и, х) на С,, — ~=0 на Сю ду — — ь О, — — ь 0 прн 'Р"ха+у'-» сс, дт дт дх ' ду функция е= (/х удовлетворяет первым двум условиям, но не удовле- творяет условиям на бесконечностл.
Положим р=Ух+р,; (39. 1) обозначим через ф, функцию, гармонически сопряженную с ун и введем ешли комплексную функцию те~ = ~1+% заметим, что ы, очень удобно рассматривать как комплексный потен- циал некоторого вспомогательного течения. Для функции о, мы будем иметь такие граничные условия: ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА 645 4 99! га ательного течения, а через Ь вЂ” угол, составляемый этой скоростью с осью Ох.
Тогда мы будем иметги 1/созе. — )гюп О, дх ~у (39.3) ,9, следовательно, ~~' = Ъ'(соя 0 — гз(п О) = — 1, е-га еы Р— 99 откуда видно, что 99 = 0 + 1п Ь'. (39.4) Рис. !87. Но вследствие граничных условий (39.2) векторы скорости во вспомогзтельном течении имеют направления, указанные на рис. 187. Таким образом мы имеем следующие граничные условия для функции 0: — к. О- — --, 1 2' — — <0<0, 0<0.. —, для 3. О,= — д— +О для (39.5) 2+ для е — 0 <.я для Прн 0 = 0 функция О, терпит конечный разрыв. Применим теперь формулу Шварца, определяющую аналитическую функцию 7(г)= и.+гп, которая регулярна вне единичного круга и вещественная часть которой принимает на контуре окружности радиуса а заданные непрерывные значения и,(0): :1 1 " ее!9+ 7 (е) = — — / иг(0) а!9+ гтх = 2г., ' ае!0 — — ( и,(0)с!0 — — / ' .
+ 198 (39.6) в этой формуле а есть произвольная вещественная постоянная. Формула Шварца годится и для интересуюшего нас случая, когда Функция а,(0) в нескольких точках терпит конечный разрыв: а именно а этом случае граничное значение вещественноя части функции 7(г) будет равно и, (0) во всякой точке контура единичного круга, в которой и,(О) непрерывна. движение вязкоп жидкости 646 1гл, „ Итак ы = Ь+11п)' = — — ~ 0г(8) Н0+ та. (39 7) лен+ е 2а, ' ае'в — е Подставляя в эту формулу г = со, найдем: ы (со) = — ( Ь, (8) Ф8 + га. 1 Но по формулам (39.5): — у 6,(8)а8=, 1 2е,/ Следовательно но ае'в+ г г70= — 2я, если 1г~ ) а, ае'в — г о о ~ '"'+'48= ~ ~ — 1+ "„' ~,28=- 2 2 и чо е 2 е — а = ~-- 8+- —.1п (ае — г)~ = —" + —.
1п "в 2 Т г+аг ' 2 (39.8) 2 ае'Вл-г а 2 е — аг аев — е 2+Т е — а' а'0 = — + —, 1п о оо(со)= я+ги, ( — „' ) = е — ""1. 1= — е', 'аы1' С другой стороны, вследствие граничного условия на бесконеч- ности (39.2) должно бьнь ~ ае) значит мы должны принять =1п и. Теперь формулы (39.7) и (39.5) позволяют написатьс о 1 Р ае'в+а 1 Ге ~ ае'в+а ~о= — — 1 и е(8 — 2 — „) ( — '+8) .
— а'8+ у ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА позто' зто!1у получаем следующее окончательное выражение для функ„ин ы(з)! а !Я) = О +1)п ь' = 2 —;1+1!п Г+ —, 1п, — — О . сй, (39,9) 1 е'-1-а' 1 Р пе12 -)-е 21 (е — а)' 2п,/ а н аринам бератся то значение логарифма, которое при г= оп обращается в О, )4сследуем прежде всего характер течения на бесконечности. Мы имеем при 1я! ) 1 разложение: аен+ г 2ае11 'кл а' = — 1+ = — 1 — 2 у —, е'"'; аем — е 121 — — е~' л-.! 2 ио л созл0 Мппа)~=2 л + п' Ое'л" гй= 21 / Оз)плОН=211— лч пл пч 21П вЂ” — — СОЯ— = 21 2 2 2 лз позтому 2 ~ О ае' +е а!0= — 41~~~~ пл лл пл — соз— 2 2 а' ел ле л=! 2 далее Отсюда л — 2 а — '=е )п е +" =1п~!+ — ) — 21п11 Ы с1 л=1 значит прн 1л~ ) 1 11 2 „<,),+11п Ц вЂ” 1~, ~ — — —."" — ) 7е'1л чп' 2 ) ел а=1 21 а 1а' (39.10) л~ е движннив вязкой жидкости !гл ! н окончательно. обозначая через и!=!0+гф! комплексный потенция ал абсолютного движения в области Вг, будем иметь: аге !Гге) а — 2 а = — '+ (г' = У вЂ” + ае (39,11) Кг = 2аУ (и — 2) = 2,283а' '.
(39.12) Теперь найдем распределение скорости вдоль цилиндра. Для этого нам нужно найти мнимую часть функции !а(л) при з = аеге. Мы имеем; В-О, а-о, -!— ае" -1- ае'0' е г -!- е 0 — ае !с!К О . ае — ае ' !6 М 0 го 0-и 2 е г г '!тобы иметь дело только со сходящимися интегралами, сделаем еле дующее преобразование: г причйм мы воспользовались двумя последними формулами (39.8) Положим теперь в формуле (39.9) л= — аень и отделим мнимые части вамечая, что прн я= аем мы имеем !з — ае'"( = 2а ~ з!и 2 и что, следовательно, яп ~ — ' — — ) 3!и ( — '+ — ) ег+ аг (е — а1)(е+ а!) еп(— -,г —— еп г — — и мп ао 2 мп( — ' — — ) Ке!и =!и е+ а! !Ог, в) мп! — + — ) Эта формула показывает, что далеко перед телом течение имеет такой же характер, как если бы оно происходило от источника находящегося в начале координат и имеющего мощность озткклниз цилиндкл „121 легко получим следующее выражение логарифма абсолютной вели- чины скорости вспомогательного течении при а= аз"а: +'"1"" — 2~+ =(' — — ) '" ~ "" (+ — 4) — — ! Во+ — )1п( юп ( — ' -1- — )(+ + — / ( — Во) с!д ' пгВ.
(39.13) Если ввести нечЕтную функцию Г'(0)= — ц! сас!исрсЬ, 2 о (39.14) то будем иметь: — 1 (0 — 02) с!6 — (0= 1 ' З вЂ” Зо 2 р 244 ,/ Е 2 по!а'я сгп= ,а Ва 4 2 р Вр +— 2 2 2 /' 2 /а Зо'1 ( ч Во '1 — пс!ниоая+ — пс!ВрпгЬ= Г( — — — о)-(.
Г ! — + — 41 Поэтому получаем следующую формУлУ: (,ВУ(4 2) У(4~2) )( 1= и 1 Х ) 21п — '~~ 21п( — — — )! ~ 21п ( — + 4) ~ ° (39-16) Нас интересуют значения Ве в промежутке ( — к, я); из предыдущей формулы следует, что для вычисления Ъ'1 необходимо знать значения функции г(0) в интервале (О, Зл/4); эти значения даны в таблице !Х (см. стр. 607). Отметим попутно, что у(к/2)=1п2. После этого мы можем вычислить значения (а1; з частности, при Во=я/2 мы имеем 1',=(/'Ва 2. Принимая, далее, в расчйт формулы (39.1), (39.3) и (39,5), мы "айаем следующие выражения для значений дао(дл и доо(ду на 650 ДВИ)КЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ (гл контуре иилиндра: — — — 1,+и, - -о дт дт дл ' Зу для — я (0 ( — —, 2' 2 (0<' (39.16) дт —,т =)У,.)п0+-и, дт — т = — Ъ'1 сов 0 для — —" < 0 < О, ду 2 ду — т-=)госо50 для О (0 < —.
2 ' — -=.— (г 51п0+и, дт дл По формулам (37.22) мы можем затем определить распределение давления на контуре С: Р=! (ио — )г5 д, О <0< — ', 2 (39.17) Р=-2 (ио — 2и)',) для 2 < 0.<я. Что касается распределения скоростей внутри области течения, то, определив по формуле (39.9) 0 и Ъ", мы будем, на основании (39.
1), (39. 3) и (37. 18), иметь Т а 6 л и ц а Х следующие формулы: ох=1 с .0+и, О. 715> О* У 151 (39.18) причем берется значение У1 в той точке конту а С, которая имеет При переходе из области Оо в область О составляющая скорости о терпит разрыв, величина которого равна (1'1) = иУ 2. о Это значит, что вдоль прямых линий, отделяющих область О, от области Е)о, имеются вихревые слои.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
