Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Это сделал О с б о р н Р е й н о л ь д с, показав, что переход одного типа движения в другой совершается, когда безразмерная величина Сгг/ч ((У вЂ” средняя скорость, г — радиус трубки, ч — кинематнческий коэффициент вязкости) переходит через некоторую границу. Новый, беспорядочный тип движения, который при этом возникает, получил нззвание турбулентного '), число (Уг)ч было названо впоследствии числом Рейнольдса (см. гл. !!) и стало обозначаться буквой И, а то значение И, начиная с которого возникает турбулентное движение, — критическим значением Иь. При этом плавное движение с И ( И получило название ламинарного.
Многочисленными экспериментами было установлено, что Иа меняется в зависнмостя от того, как эксперимент обставлен. Именно, если в начальном потоке было очень мало возмущений, то, увеличивая постепенно число Рейнольдса, мы придем к турбулентному движению нескоро, так что И будет велико, напротив, если основной поток сильно возмущен, я имеет малое значенпе.
Заметим ешб, что в то время, как, по-видимому, нет оснований считать, что существует верхняя граница для И„ (используя всй более и более спокой. ') Термин «турбулентность» быа предложен Кельвнном. Уотопг!ИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 859 ный начальный поток, будем отодвигать гс» все далее и палее), можно утверждать, что есть граница нижняя. Это значит, что каково бы ня было начальное возмущение, оно потухнет, не переходя в турбулентное движение, если К меньше некоторого числа. Мы говорили о турбулентном движении в трубах (так называемая внутренняя задача); не меньший интерес представляет изучение турбулентности при обтекании (внешняя задача); наконец, в отличие от турбулентности механического происхождения, можно говорить о турбулентности происхождения термического (например, о турбулентности, возникающей в воздухе близ поверхности земли прп отсутствии ветра, но при неравномерном нагревании почвы), или о турбулентности смешанного, термическо-механического происхождения (теплотехнические задачи, общзя атмосферная турбулентность).
С точки зрения теоретической гидромсханикн (так же как и с точки зрения эксперимента) проблема турбулентности распадается на две части: 1) изучить, при каких условиях и как Возникает турбулентность (например, при каких условиях ламинарное движение в трубе переходит в турбулентное или как образуются турбулентные струйки в неравномерно нагреваемом воздухе), 2) изучить уже развитый турбулентный поток.
Первый из этих вопросов совершенно естественно связать с проблемой устойчивости, отождествляя возникновение турбулентности с потерей устойчивости. Мы рассмотрим в следующих параграфах некоторые относящиеся сюда работы. $ 2. Устойчивость движения между двумя коаксиальными цилиндрами. Чтобы установить устойчивость или неустойчивость движения, прибегнем к методу малых колебаний, накладывая на движение («основной потокъ) бесконечно малые нестационарные возмущения; если этн возмущения будут иметь характер малых периодических колебаний (нли затухающих со временем), будем считать основной поток устойчивым; напротив, если возмущения будут расти со временем — можем считать основной поток неустойчивым.
Т е й л о р первый дал пример такого ламинарного течения„которое может при известных условиях стать неустойчивым' ). Он рассматривал колебания, обладающие осевой симметрией н наложенные на движение, происходящее между лвумя коаксиальными врашаю!пямнся цилиндрами. В качестве основного потока возьмем движение со скоростямн В о, =о, =О; о =Аг+— г ') тау!ог О., 8гавниу о! а !г!Всояз 1.!Яаш созга!Вег! Веиуеея иуо го!аияй Су!!г!егэ, Ргос.
Коу. Бес. (д), 223 (1923), стр 289, далее, Ргос. 1В!. Сопя. д991, Мес!ь Ое!й (1924) и 2 А. М. М., б (1925), с4Р, 250. 42' ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ,гл, !и !и†ось цилиндров, г — расстояние от оси, о — скорость, касатель.
ная к окружности радиуса г с центром иа оси), причем подберам А и В так, чтобы описать движение между двумя коакснальными цилиндрами радиусов г, и г2. вращающимися с угловыми скоро стями е!! и е!2 соответственно. Тогда должно быть 1см. главу !1, $15)! В г2е!! = Аг2+ —; г, ' В гевз — — Агз+— г, откуда 2 (! м2) В— 2 Г22м! Г2~2 А— Г! — Г2 '-(й)' Рассмотрим теперь движение со скоростями дв д! ' 2 ~де~, Р— 2Ао'+ 2 1ь — + Ь о' — — ~ Ь дл' ! е г2 2' д + де+ 22 до д! дв д! (- —- д2 1 д Ь = — + — —, р' — возмущение давления), и уравнение не дг2 г дг' разрывности дгз~ дге, — + — = О. дг дл При етом граничные условия будут иметь вида о' = о' = о' = О при е т л г=г! н прн Примем: о,'= и,соя)ля!!1 и'= и,соз)ЗВ"2; О'=и.
Б1п)лез!, т 2 г 3 где о', о', и' — бесконечно малые величины. квадратами которых Р' ы т можно пренебречь. Напишем уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах и вставим введенные значения скоростей, отбрасывая малые второго порядка. Получим уравнения движения: а и гстопчнвость движения междг двгмя цнлиндглмн 001 где ип им из — функции одного только г, и исключим р' из наших уравнений. Получим: ч(Ь вЂ” — — ? ) и = 2Аи.
1 А1 ге ) е и — -„—. (Ь, — ? ' ) из — — — 2 ~А + —,) иа — ч (Ь, — —, — Л' ) и,, (2. 1) +а +Ли О аг где Л"=Ля+К ч Эту систему уравнений надо проинтегрировать, принимая во внима. ние краевые условия: и,=и,=из=О при г=г, и при г=га. ! у1 (йжг1) ?" г (Йтг1) = О. "гг(?е гг) ?%1(ать) ! Тогда и, (г) = ~ а„,с., (и,„г), причем коэффициенты а неизвестны и подлежат определению; они должны иметь вид: (2.2) Ом= ~ гг',(дмг) иг. а = — ( гиг(г) г.г(?г„,г) Нг; 1 !' о Теперь для иа мы получим уравнение: Г а'а 1 а 1 м гю н, так как (' ае 1 и 1 рат + — — — — — Л' ) Л,(!Л'г)=0, ага г аг г' решение его можно получить как сумму общего решения однородного уравнения сз'?! (?Л г) + с4И1 (!Л г) Вудам искать решения для и,(г) в виде ряда Фурье-Бесселя, расположенного по бесселевым функциям Е, (ймг) = с,l, (й г)+ +-с,И,(а„,г), где с, и са подобраны так, чтобы Е, (и„,г,)=Л,(?г„,гт)=0; последнее, очевидно, означает, что йп ?гю ..., Й, ...
суть корни уравнения ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 662 1гл. Н! (сз и с4 — произвольные постоянные) н ряда Х о д (л г) =1 где 2Ай, ч(я~1-ьл ) Условия ие(г,)= и2(г2)=-О дадут затем сз = с4 О. Чтобы определить аз, обратимся ко второму из уравнений (2.1) и рассмотрим сперва решение однородного уравнения. Так как по известному' свойству функний Бесселя 1 и л й хе(йг) = — д!(лг) л йг (2.3) мы, очевидно, удовлетворим уравнению —,(~! — Л )И.=О, й'г положив из(г) = св+ саУе((Л'г)+ с!1че((Л'г) +,~~~~ йтХ,(хтг), (2.4) т =1 где см сз, с, — произвольные постоянные, а для определения йт получим уравнение: Х ( (Ф)(Л" +12.) А (А г) = Х (Л'2+ а2) й 21 (д г)+ т=1 т=! + 2(А + 2) )~~ "' х! (йтг).
(2.5) ч(Л +Л ) Таким образом в качестве неизвестных коэффициентов у нас фигу- РНРУЮТ Пома См СМ СТ, й1, й2...,, йт, ..., С!! С(2, ..., С(~, Вместо того чтобы определять с(н 212, ... Из уравнения (2.5) через аи аз, ..., удовлетворим сперва последнему из оставшихся уравнений — уравнению неразрывности (третьему из уравнений (2.1)1.
Член — + — „дает, очевидно, ~ 1!та хе(А г) я), и уравнение перази! йи! т=! ") Вследствие известного сооп!ошення, х! (х) = ха(х) — —. Ф 2!(х) х из —— с,е(!Л'г)+ сопз1. Таким образом нам, очевидно, надо искать выражение для из(г) в виде: а 2) устОйчиВОсть движения ме)кду двзмя иилиндгАИН рывности можно будет заменить на основании (2.4) следующим соотношением: где следовательно: 1 г г аж = — са — -~~1Л'2е(й~г)Уоф.'г) — йтlеф,'г) 2е(йп г)3 ~ + "=н. 1А +л Я + — с1 е (1() ~ из Ят г) Мо (1Л г) — И,„2е (йь1г) 111е (1Л г)1 И ля+Л ж г~ Но Ке(1е~вг) = — д1(Атг) и потому ге(йдг1) = ге(1ежгз) = О.
Вводи ещв вместо произвольных постоянных сз и с„произвольные постоян- ные са и ст: се = 1' гг )1са)е(ъ, гз)+ с1мо(т1 гг) 1 с1 = — — 1Л г1 ~свlо(1Л г1)+ с11чефг1)) Г1 ()г„а,„+ЛС1,„)ЛЕ(йьГ) +). (Г,+СЬУ (1Л Г)+С И (1Л Г)) = О, (2 6) т=1 ЭТИМ УРаВНЕНИЕМ МЫ И ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 11,ь ЧЕРЕЗ посредство ан ае..., и через сз, се, с,. Чтобы возможно было это сделать, надо, однако, предварительно переразложить з (1Л'г) и 1че(1Л'г) в ряды Фурье-Бесселя, но уже не по 2,(1е,ьг), а по функ- циям з.е(А г) (1Л + й ). Мы можем написать сз+ сазе (1Л'г) + с11че (1Л'г) = сз+ ~л~~ з ~о Ф,„г), ж=! 'е = — г~е()е г) (сеУе(1Л'г)+ Мо Я'г)) «г' и е О~= ~ Уа(йтг)г1(г, о с,.'— постоянная, содержащая в качестве слагаемого сз. Для опредео пения и замечаем, что интегралы типа ) гlе(к г)зе(1Л'г)1тг легко Г вычисляются.
Действительно, по общей формуле: Г гу„()е,г) /„Аг) 1(г = г 664 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1Гл. !н получим ат .= —,1 ~се Ро(йтге) + с1ла (йтгД, н (ла+л") Уравнение (2.6) позволяет теперь заключить, что с,=О И ПОЗВОЛЯЕТ НайтИ ВСЕ 11' ЧЕРЕЗ ПОСРЕДСТВО Са, С, Н а,„ПРИ ПОМОЩИ соотношений Ра (лтгг) ~ Ре (а иг1), лт и Н (Лг + „ 1) 'Б Н ( а , е) '1 Л Нам остается теперь воспользоваться (2.5) и вставить туда эти 11' . В (2.5), однако, имеются члены вида сопзй †, л1(*тг). Эти члены 1 нам надлежит сперва разложить в ряды по функциям л1(л г). Только когда это будет сделано, возможно будет, вставив е1 в (2.5), произвести сравнение коэффициентов прн е,1(А г) с одинаковым ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
