Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 97
Текст из файла (страница 97)
а 3'* есть функция, входяшая в уравнение (36.11). Параметр () и функцию Ь'* подбервм так, чтобы выполнялось соотношение (36,11) и чтобы, кроме того (на обтекаемои профиле т) = 0) выполнено бьшо дифференциальное уравнение (36.7). Последнее условие, вслед. ствие (36.4), даст 632 движение ВязкОи жидкости !гл, и —,— ОуСГО!О= — — Итаг!27+чае; 61ЧО=О, (37 !) дэ 1 д! тле аов + 2 (37.2) Предположим теперь, что в вязкой безграничной жидкости дви. жется с постоянной по величине и направлению скоростью 1ч' твердое тело, ограниченное поверхностью Ь'.
Для определЕнности примем, что ') Овеса С, !!2., Нудгодупашщ, Ье!рг!я, 1927. См. также изложение теории Осееив в книге Н. У ! ! ! а!, 1.етопв вчг ГЬудгоду22ВРП!ччЕ, Рвг!в, 1929. ') В ч где г в д м., Оп Овееп'в гьеогу 1ог ше арргох!Ряв!е ле!егпппаноп о1 2Ье йоя о1 а 1!иЫ ж!!Ь чегу апай йк!2Оп а)опя а Ьог)у, Ргосед, о! гйе Коп. Анас!, чов Ъ'е!с22всйарреп Агав!егдаш, 31 !1929), )ч2 4 и 5. профиль скоростей.
Точка отрыва на профиле получится лля того значения х, прн котором у !х), вычисленное по !36.21), ласт значе. ние у = — 0,068!. 5 37. Основные уравнения теории исчезающей вязкости. Теорня пограничного слоя показала нам, что прн движении твердого тела в вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса возможен при известных условиях отрыв от тела вихрей. Мы уже указывали на большое значение этого обстоятельства лля обоснования тех схем движения тела в идеальной жилкости, в которых существенное значение имеет наличие вихрей или вихревых слеза !как, например, схема вихревых дорожек Кармана). Олнако во всех таких схемах имеется известная поля произвола.
Чтобы кзбавиться от этого произвола, следовало бы, рассматривая лви>кенне какого-либо тела в жидкости, решить такую задачу: проинтегрировать точные уравнения гидромеханики вязкой жилкости, а затем в полученных интегралах перейтп к пределу, устремив !2 к нулю. Ничто не заставляет нас ожилать, что при этом получится как раз лвижение тела в идеальной жидкости, так как мы многократно уже указывали на то, что различный характер движений в вязкой и идеальной жидкостях опрелеляется не только и не столько различием вида уравнений, сколько различием граничных условий. Задача в таком виде была поставлена Осееном, который в своих исследованиях сделал и первые шаги к ез разрешению, совершив прелельный переход лля упрошйниой системы уравнений движения вязкой жидкости.
Не имея возможности, за недостатком места, изложить оригинальные методы Осеена '), мы дадим эвристический вывод тех уравнений, к которым он приходит; основные идеи этого вывода при. надлежат Бюргерсу 2). Мы будем исходить из уравнений движения вязкой жидкости !6.4) в форме Ламба, причем сразу же предположим, что внешние силы отсутствуют, так что эти уравнения принимают вид ОснОВные уРАВнения теОРНН исчезАюшен Вязкости 633 а ап Я есть выпуклая поверхность. Свяжем с телом систему осей х, у, г, причем ось Ох выберем так, чтобы тело двигалось как раз в направлении положительной оси Ох. Введем еща на время систему осей х, у, а, неподвижных в пространстве и совпадаюших в момент времени 1=0 с системой осей х, у, г.
Ясно, что между координатами х, у, г и х, у, г имеют место зависимости — иС )=у, (37.3) дЛ ду — = — и —, дс дх (37.4) т | равенство (37.1) в системе осей х, у, а принимает впд; дв 1 — (У вЂ” — п К го1'в.= — — егадд+У Ьп. дх Р (37.5) Наибольшие трудности интегрирования этого уравнения связаны с присутствием квадратичного члена О Х го| и. Мы допустим, что можно этим членом пренебречь. Тогда мы получаем систему уравнений: р Ьчг+ р(7 — — Втаб 17 = О; д(У чг = О, де дх (37.6) иринам д имеет значение (37.2).
Так как на поверхности тела Я абсолютная скорость частиц жидкости тг должна совпадать со скоростью точек самой поверхности тела, то мы легко можем написать граничные условия в следуюшем виде: о =(7, О =О, О,=О на Я. (37. 7) Система уравнений (37.6) и послужила предметом исследований О сесна. Как мы видели, эта система получается из точных уравнений гидромеханики вязкой жидкости, если в последних пренебречь квадратичным членом ага го1п, содержашим звхрь скоросю|, иными словами, если пренебречь вихрями. Если бы в результате перехода к пределу р -+ О в интегралах точных уравнений движения вязкой жидкости мы получили теорию идеальной жидкости, а в частности отсутствие вихрей, то при очень малых значениях р вихри были бы очень малы, т. е.
наше допушенне о пренебрежимостп вихрями было оы оправдано, и мы, исходя из решений уравнений (37.6), должны будем под У понимать вектор абсолютной скорости частиц жидкости, т е. вектор скорости частиц жидкости относительно системы осей х, у, а. С другой стороны, мы будем считать движение стационарным относительно системы осей х, у, г. Но тогда ясно, что вектор чг есть функция только от х, у, я, а так как для всякой функции 7'(х, у, г) = г"(х — (/1, у, а) =- 71(х, у, х, 1), мы имевм тождество дВижение ВязкОЙ жидкОсти 634 [гл. и были бы в пределе при р -» 0 тоже получить теорию идеальной жидкости.
Как показал Осеен, это не имеет места, а следовательно, теория исчезающей вязкости должна отличаться от теории идеальной жидкости, Установим теперь некоторые общие свойства движений, определяемых системой уравнений (37.6). Беря вихрь от обеих частей пер. вого нз уравнений этой системы н вводя обычное обозначение то( чг =-ьз, мы получим уравнение до ри-,--+р М=о, (37.8) заменяющее для рассматриваемого случая обобщанное уравнение Гельмгольца (8.2).
Чтобы истолковать это уравнение, вернзмся к координатам х, у, я относительно неподвижных в пространстве осей коордкнат, Применяя тождество (37.4), можем переписать предыдущее уравнение в виде р-- = рпы. дй (37. 9) Если в этом уравнении положить р == О, то получится равенство дй из которого следует, что в каждой точке пространства вихрь сохраняет неизменное значение. Полное же уравнение (37.9) выражает, как мы знаем, процесс диффуаии вихрей. Но равенства (37.3) показывают нам, что неизменной точке пространства соответствует в системе осей х, у, г точка, перемещающаяся в отрицательном направлении оси Ох с постоянной скоростью сг.
Следовательно, смысл уравнения (37.8) состоит в слелующем: вихри перемещаются в отрицательном направлении оси Ох с постоянной скоростью (7, при этом несколько рассеиваясь. В пределе, при р -ь О, процесс диффузии вихрей исчезнет и, следовательно, вихри будут, сохраняя постоянное значение по величине и направлению, перемещаться вдоль отрицательной оси Ох с постоянной скоростью (7.
В чзстности, мы будем иметь равенство дй — = 0. (37 И О) Но так как мы имеем дело не с безграничной жидкостью, а с жидкостью, в которой движется твардое тело, то нужно учесть ешй то вихреобразование, которое происходит на поверхности этого тела, и о котором уже была речь выше при изложении теории пограничного слоя. ОснОВные РРАВнения теОРии исчезлюшГг1 ВязкОсти 635 1 зп Во всяком случае, из этих обшнх рассуждений совершенно ясно.
„а„ую картину распределения вихрей мы должны ожидать для того ижения, которое получается в результате предельного перехода ,0 из движения, удовлетворяющего уравнениям (37 6), Остановимся для определднностн на случае плоского движения. По предположению, контур С, двигающийся параллельно оси Ох, есть выпуклый контур (рис. 186). Проведем крайние прямые К,7ч В К,7,я, параллельные оси Ох и имевшие с контуром С всего по одной общей точке, соответственно К, и Кя.
Эти точки разобьют контур С на две части: переднюю С, и заднюю Ся. Тогда, как показано на рисунке, полуМ г прямые К11З и КВ7.е ограничат область 7)е; всю же остальную Л=д область течения обозначим че- 7уг а д рез Он й д дйы утверждаем теперь, что во всей области О, вихрь 2 ег для предельного течения обра- Рис. 186 тится в нуль. В самом деле, из предыдушего рассуждения совершенно ясно, что те вихри, которые сходят с поверхности тела, могут попасть только в область Ое, Поэтому, если принять ешв, что на бесконечно далеких расстояниях перед телом жидкость покоится, то вихри во всей области О, будут отсутствовать, в области же 7)я эти вихри должны удовлетворять условию (37.10). Совершенно аналогично в случае пространственного течения мы должны около поверхности тела В описать цилиндр, образующие которого параллельны оси Охн пусть этот цилиндр касается поверхности О по линии 7.; последняя разобьет поверхность 8 иа две части: переднюю В, и заднюю Я,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
