Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(34.15) и! Применим этот результат к круговому цишшдру. Хииенц') нашел эксперпт!еигальныы путам распредсле!ше давления вдоль контура цилиндра диаметром 9,75 см при обтекании его водяным потоком, имеющим скорость 19,2 см(сам. Исходя из этого распределения давления, Хименц получил следующее распределение скорости: (7 .= 7,151 х — 0,04497х' — 0,00033 х', (34.16) и затем из интегрального соотношения Кармана получалось уравнение для определения функцяи 8(х). Таким образом, в этом примере профили скорости в разлвчных точках контура предполагались подобными между собой, н менялся только масштаб. В общем случае такое предположение недостаточно, и необходимо рассматривать более общий класс профилей.
Из основных уравнений теории пограничного слоя 11о» дв» 1 др дис» ЛУ Уел ) о„— + о = — — — + "=и +.,— ", »)» гау= Рах 'бу Лх бу дх ду + — — 0 (34. 17) ) Н 1 ею е п г К., Рпе Сгепазсщс1и ан е!неп! !и !(ен д(егсп(ог!и!8еп Г!аз''ккении!гош е!иае!анс!пен йегас!еп кгеьауппдег, 01в81егз Ро!у1есвпьс1!ез ион!на!, 323, 19!1. ЛЧ 1!ир! н!ии 'ю и ~ нл!юнилипиии. ! П гдс У дается в см/се!О х есть длина дуги цилиндра от точки разветвления, измеренная в сантиметрах. Применяя уравнение (34.15), находим для точки отрыва хз = 6,97 сл1, что дает в угловой мере 0= 82', в согласии со значением, получающимся из опыта.
Другой приближенный метод, который мы изложим, основан на применении интегрального соотношения Кармана и его обобщений и был уже использован в 8 32 при рассмотрении пограничного слоя вдоль плоской пластинки. Сущность метода в применении к этому последнему случаю заключалась в том, что распределение скорости внутри пограничного слоя задавалось формулой 594 дВижение Вязкой жидкости !гл.
и н пз того, что на контуре п„ = оу = О, без труда получим, что на контуре имеют место соотношения: и ди. доя — 4=0; ду» ч дх ' ду продифференцировав же первое из уравнений (34.17) по у, найдем, что на контуре будет также дзвх — '=О. дуз Итак, должны выполняться условия деп и(У' . дго„ О,= — О, а х — — — — , 'д ге=.О при у —..— О.
(34.18) ду' ч ' ду Обозначая толщину пограничного слоя через 8, условия плавного перехода скорости пограничного слоя в скорость внешнего потенциального течения можно записать в виде ряда равенств: аг х д'~'к д х — — О, д ех — — О, ..., прн у= — 8. (34,19) ау — ау О,=У 11оложив примем, следуя Польгаузену, чго о представляется полиномом чет- вертой степени от »р ох = — (l (Аз+ А»)+ А»!т+ А»)з+ А»14), Для определения пяти коэффициентов этого полинома восполь- зуемся двумя первыми условиями (34,18) и тремя первыми усло- виями (34.19), тогда получим: ! зги А=О, А=2+ — —, 0 1 б А = — 2+— З»!7' 2» 1 з»У' А =1 — —— 4 б ч Введем обозначение Ь'Ю (х) 4 6 У вЂ” г дар+ 2(7' ~ 9 Фу — — г 9е пу = ~ ( — 7!, (34.21) Р дх / ,/ дх/ = (, ау 7'у=з' е о з тогда, после простых вычислений, найдем: д=(У вЂ” о =У(1 — т)а~1+, »)). (34.20) б — 1 Остается определить а(х) или, что то же, ) (х), для чего воспользуемся интегральным соотношением Кармана (30.7) пвивлпжкнныв методы твовии погвлничного слоя 595 Пронзведя соответствующие вычисления, получим для определения функции л(х) = — = —,х) ~'(х) (34.
22) счедующее дифференциальное уравнение первого порядка: — = —,+ —,„У(Л), л (1) с" лх (34. 23) где 0 8 [ Лз 47,4Ла+ !670,4Л вЂ” 9072) Ла + 5,76Л вЂ” 213,12 0 8 (4 8Л' + Лз) 213,12 — 5,76Л вЂ” ЛД ),(0) = 7 052, 3(0) ='$77 — ', =2,65 '$7 г (г' (О) ' чтобы между критической точкой и точкой минимума давления, в которой (/' = О, и следовательно, Л= О, не лежала точка Л = 12, в которой правая часть (34.23) обращается в бесконечность. Условие для отрыва потока д℠— "= 0 при у = 0 ду пРиводитса к обРащенню в нУль коэффициента Аь что бУдет пРи Л = — 12.
Вычислим ещя толщину вытеснения В /3 ЛЛ 3* = — ( (с7 — и,) ау = 3 ( — — — ) ' = ЛГ.Г' ' = (10 120)' о (34. 24) Только что изложенный метод, применЕнный к круговому цилиндру даат для рассмотренного Хименцем случая почти то же положен"е точки отрыва, какое получилось у Хименца. Однако распределение скоростей получается менее удовлетворительным, особенно в о,, области за точкой минимума давления, 38* причем Л надо заменить на х(/', Интегрируя полученное уравнение, для чего надо знать начальное значение 8(0), вайдам 3(х) и, следовательно, Л(х), после чего можем определить все элементы движения. Затруднение возникает в том случае, если в начальной точке пограничного слоя мы имеем критическую точку, т.
е. если (7(0) = О. Чтобы правая часть в уравнении (34.23) оставалась конечной, необходимо, чтобы Л(0) было корнем уравнения Л (Л) =- О. Корнями последнего уравнения являются 7,052; 1?,75 и 70. Последний корень не годится, если (7'(0) ) 0 и нужно принять 1гл. и двггжение вязкой жидкост!г Можно думать, что только что рассмотренный метод даат более или менее приемлемые результаты только а области ускоренного движения, где давление падает. Дело в том, что профиль скоростей должен удовлетворять при у = 0 бесчисленному множеству условий, первыми из которых являются три условия (34.18).
Принятое же распределение скоростей удовлетворяет только двум первым из этих условий. Получается сравнительно малое разнообразие профилей скоростей, что сильно ограничивает область применения метода. Конечно, метод можно различными способами видоизменять. Можно, например, взять трн условия (34.18) и два первых условия (34.19). Можно, определяя распределение скоростей полиномом четвертой степени, взять два условия (34.1 8) и два условия (34.1 9), тогда наряду с Х появится еще один параметр и можно использовать вместе с интегральным соотношением Кармана (30.?) интегральное соотношение Лейбензона (30.18).
Можно также использовать вместо полиномов другие функции и т. д. В чассгности, мы должны ожидать гораздо лучших результатов, если возьмем набор профилей, получающихся прн решении какой- либо часгной задачи нз теории пограничного слоя. В самом деле, в этом случае автоматически удовлетворяются три условия (34,18) и, кроме того, все условия (34.19). В этом состоит, по сушеству, ндся метода, предложенного Хауэрсоч '). Сначала решается некоторая частная задача, относящаяся к тому случаю, когда скорость внешнего потока определяется линейной функцией и=д,— дх, д,>О, д,>О. После введения функции тока %" (х, у) первое из уравнений (34.17) примет в рассматриваемом случае вид; дгр дмГ д'Г дгр дмр ду дхду дх ду' дуа г а г — — — = т — — дг(до — 5 х). (34.25) Положим теперь г ах 1 Уь, (34. 26) и будем искать функцию тока в виде ряда 'Г (х, »)= )Удвхт У (С, т)) = = ~Удвхт (Уо(т)) 8гУ,(~1)+(81)а Уа(т)) —...), (34.27) так что пх = д — — 2 до(Уа(т1) — 8чУ',(9) + (81) Уа(~) — ...) (34.28) ') Нож аггь, Оп гье зо1ниоп о1 гье 1ашгпаг Ьонпдагу 1ауег ейнайопа, Ргос.
йоу, 5ос. Ьопдоп, Вег. А., 164 (1938), )ч" 919, стр. 547 — 579. пРиБлиженнь1е методы теОРии погРлничного слОЯ 697 Подставляя это разложение в уравнение (34.25) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, получаем ряд равенств, из которых первые три имеют вид: Уо + Уоу1 — 0 + УБУ1 — 2УоУ1 + Зуо + УБУа 4УРУЕ+ ЗУЕУЕ = 8 + 2У,~ — ЗУ1У,. Грашшные условия ил=о, =-0 при у=О, о,=-(/=Ьо — Ьгх при у= — СО приводя~ к следуюшнм пограшшным условиям для функции Ул Ул (О) =- 0 У, (0) = 0 (й = 0 1 ° 2 ° ) у,',(с ).--2, У,'(со)==---, у'(сэ)=-0 (и=2, 3, ...). Для функции Уо(т)) получилось то же самое уравнение и те же граничные условия, что и для функции ч(2т)) в 9 32; следовательно, эти две функции совпадают.
для остальных функций ум У, получились линейные неоднородные уравнения, которые могут быль численно проинтегрированы. Главная трудность заключается в отыскании таких значений вторых производных зтих функций при т)= О, чтобы получились требуемые значения первых проиаводных при '9 =с... Этими значениями являются у," =1,32324, у'; —.1,02034, у-,,".= У" = — 0,0560, У,"=- — 0,0372, У".=-0,0272, уо =-- — 0,0212, у.'; = 0,0174, у" = — 0,0147. Лля определеш1я места отрыва из условия дог ду — — '-=0 прп у=О полу 1ается равенство у" (0) 8:у1'(0)-+ (8:)оуо (0) — ... = О, однако полученные ряды не обеспечивают достаточной точности вблизи места отрыва В результате дополнительных вычислений Хаузрс "ац'ел для места отрыва значение 1 = 0,120. У(авав ! все значения от О до 0,120 и определяя 1 Уч(о ~) 'ГУ =2 598 ДВИЖЕИИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ 1гл !1 по формуле (34.28), мы получаем набор профилей слоростей, зави.
евших от одного параметра. Дадим таблицу, определяюшую одиннадцать таких профилей. Таблица 171 Значения величины — 100 вл 77 0 0,0125 0,0250 0,0525 ! 0,0750 0,0575 0,!000 0,И25 0,1ХО 0,0575 0,0500 0 !33~ 265 394 517 6 30 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0 125 117 251 237 377 358 498 477 1,2 729, 1,4 812~ 1,6 876 1,8 923 20 9,76 2,2 976 2,4 988 2,6 994 28 998 3,0 999 3,2 999 3,4 1 000 3,6 3,8 4,0 4,2 Для применения полученного набора профилей необходимо составить характеристики этих профилей. Л именно, нам понадобятся прежде всего величины ( — л) = — Ьау'," (0, 0) ° — Гà — = — — — )' 6, 0); 'дел! ! „„1 Г Ьо 1 ЬаУЬ! 1 ; ду ~0 2 ел 2 Тх 4 У0 )'1 выражая 50 и Ь, через скорость (7 и ее производную с)', получим: Ь, = — (7'; 50(! — 5) = и, поэтому величина 1' — 77' 77 ~ д'~0=4 ! 0 — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
