Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В частности, можем найти и точку отрыва — точку, в кото- Рой;,= Фее(О, р)=0, т. е. 7'= = — 0,068! (См. таблицу М!!), В качестве примера рассмотрим случай Хауэрса. Пусть и =и,(1 — х), и потребуем, чтобы пограничный при х = О, у'= О). Тогда — 0,0681 — 0,06 — 0,05 — 0,04 — 0,03 — 0,02 — 0,01 — 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,821 0,772 0,715 0,658 0,602 0,548 0,495 0,441 0,388 0,336 0,283 0,232 0,180 0,130 0,078 0,028 — 0,023 — 0,074 0,007 0,001 — 0,003 — 0,006 — 0',008 — 0,009 — 0,009 — 0,004 — 0,002 0,001 0,003 0,006 0,009 0,011 !гл, м двпжгннг пязкоп жидкости очку=а полу шм х, 0,105 вместо точного значения х, = 0,120. Второе приближение (7) дало бы х,=0,106, и это же значение получалось бы при интеграции точного уравнения (34.58). Мы видим, что практически достаточно пользоваться простой формулой (34.59). тв 35.
Пограничный слой в сжимаемой жидкости. Обтекание пластинки. Метод Дородницына. Обратимся теперь к пограничному слою в сжимаемой жидкости. Как и в несжимаемой жидкости, ограшшимся рассмотрением стационарного случая. В качестве отправных уравнении мы имеем (см. 3 3!): до„ дох ~ др д ~ дое ) дх т д> 7= дх д»> д>7' л +о,е~ ! („х) (35.1) даох дго — '' +- —.~.=0, дх ду (35 2) 2 ) , о, — - ( Вс Т -1- —,— ' ! + ро —. ! Ес Т+ 4 = 27 тд>'(~ " 2! = Š— ! й ! + — ! ро . — ) .
(35. 3) д ' д71 д с дое> д>'( д>1 ду ', ' г>у)' В эти уравнения входят кромы величии ох, о еще о и Т. Величину р мы должны считать известной. Пченшо, по уравнению Бернулли Р =7>в (7' (х) т. — 1 (35.4) где (l (х) — скорость на внешней границе пограничного слоя, ре— давление в топ точке адиабатического потока, где скорость обращается в нуль, а, -- критическая скорость в адиабатическом потоке. По закону Клапейрона, р, р и Т связаны соотношением р = — тсрТ, Таким образом, (35 5) а„= — ~l — —,— еКТ = — ~l 2Ес Т . (35.5) где т, и р — температура н плотность кадиабатнчески заторможаиного» потока. Заметим, что ногглннчныи слон в сжимлгмон жидкости 609 Наконец, р следует считать известной функцией от Т; в обычных приложениях принимают закон (35.7) Кроме того прн у=со Т=Т (35.
11) где Т есть также заданная величина, В залаче обтекания самолата или снаряла естественно считать, что поверхность у =- О предоставлена сама себе и что задано лишь Т „ а Т есть величина неизвестная, определяемая попутно вместе с решением задачи, Здесь можно принять, что отсутствует теплоотдача обтекаемой поверхности, т. е. что йТ вЂ” = О. У (35.12) при у=О Это предположение обычно и делается при решении задач на обтекание в вязкой сжимаемой жидкости, хотя точнее было бы принять условие стендового балансаъ, приравняв то тепло, которое поверхность получает, к тому теплу, которое она отдзет. Так, если )г* есть теплопроводность, а Т* — температура обтекаемого прелмета и если принять еще в расчет, что обтекаемая поверхность может из.
лучать как абсолютно черное тело и что к ней подходит поток ралиацни о' со стороны жидкости, мы должны написать: й дТ +~,, ЛТ' г1у д7 (35. 13) гле я= 0,31Т. 10-ю а1кал с.мт жлл гРад' есть постоянная Стефана — Больцмана. Кроме того, (Т) а = (Т"),, Чй т олетячегвин гьлрвясяачиьь н, Н тле рв — постоянная, п = 0,5, или и = 0,76, или и = 1. Таким образом, задача сволится к опрелелению и„, о и Т нз У системы уравнений (35.1), (35.2), (35.3), причйм р задано по (35.4), а; и р опрелеляются из (35.5), (35.7) соответственно.
Краевые условия для скоростей остаются те же, что н в несжимаемой жидкости; о,=п =0 при у=О, (35.8) и„=- У прн у = з. (35.9) Краевые условия, содержащие температуру, будут различными в разных задачах; так, например, если мы решаем задачу в предположении, что температура стенки Т искусственно поддерживается постоянной (вопросы теплоотдачи), мы должны просто написать: при у=О Т=Т,„, (35. 10) 616 дВижение ВязкОЙ жидкОсти шл. м Пренебрегая притоком тепла, идущим от обтекаемой поверхности, и считая, что Ю=аТ', мы вновь придем к условию (35.12). Переходя к решению нашей системы дифференциальных уравнений, преобразуем сперва уравнение (35.3), вволя вместо неггзвестнои температуры Т величину О из соотношения л 3 -- Т+ — --.
(35.!4) ПутЕм элементарных преобразований получим; Р(О.ТГ-+о, д — 1= р ду (Р д )+(1 — — )др(' " — 4 (35Л5) Еср ду где Р— число Прандтля, определяемое равенством ~«ср Р=— л (35.16) « ( = / р ) ггх, Ро о (35. 17) а вместо координаты у — величины тр Т р(х, у) р (х) Р Т, р,./ Т о о (35.18) Так как д д р(х) д д~ д р д -+ —— дх д:- ро дч дх' ду р, дч то уравнение (35.1) принимает теперь вил: р до д» дв„р до, др, р д г'р до„~ ро« -- —.«+оп — ~ — — "+он — — '.= — — -+ -- — (--1» — — ".. (35.19) ' ро д;- ' Удх до ' Ррр до срх род»~(,ро' д» )' и не зависящее от Т.
Величина 0 носит название температуры торможения; она равна температуре там, гле скорость жидкости равна нулю, Решению уравнений (35.1), (35.2), (35.15) посвящено большое количество работ, из которых наиболее значительными являются исследования Буземана, Кармана и Няня и Дородницына. Наибольшими преимуществами обладает метод Дородницына. Путем остроумной подстановки Доролницын приволит систему уравнений к виду, сходному с тем, что имеет место для жидкости несжимаемой, и получает широко обозримые результаты.
Подстановка Дородницына заключается во введении вместо координаты х величины о: о гз! ПОГРАНИЧНЪ|И СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 611 1, другой стороны, по уравнению Бернулли 1 — а ) во к — 1 — 1 Преобразуем теперь уравнение неразрывности. Вводя функцию тока ф, получим: дф р дф т. е. Ок = — д' .
Г35.2!) 1 дф к — ро дл С другой стороны, дф дф д» дх дч дх так что дф р дч р дф д1 р, Ра «дх ра д;-' ! дф ро д — о +о — —. Р. дл Т У «р дх' Поэтому, если мы обозначим — о, + о — — = )У, То Ра дл Т 1' «р дх У' (35.22) то получим 1 дф ! дф ао д»| У го д.= (35.
23) Теперь уравнение неразрывности можно записать в виде: а уравнение (35.20) даст д, 'Уд» Т, ГГО Одч |, Т ~ дч~' о 1 "+1 г — ло я — 1 Уо гдг !1' — — —, а поэтому, деля обе части (35,!9> на р —, мы получим, вставляя р Р Ро по 135.5)1 дек Г Ро дя Та 1 дик о — о" +~о — — '+ — о, | — = кд$ Гк р дк Т 11дя ».
+ 1 » — 1 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ 612 1ГЛ. М Мы видим, что в переменных Е и т, уравнения для о и Ъ' будут отличаться от уравнений (29.9), имеющих место для жилкости несжимаемой, лишь наличием множителя Т)то в (35.25), Преобразуем теперь уравнение притока тепла (35,15). Вводя $ и Ч и заменяя Вс по (35.6), получим: 1 р до до дОТ р дв ро 1 — —;+ — — )+ ро.— — = ~(,рр до дкдч) ' "ро дч 1 р д/ раз'Т ! 1) О д/ Е дтР„'Т» — 1 — — — Р— — + ~1 — — ) — — РТ — — —" †.
(35.26) Р ро дл( роду) 1 Р/ родят родо л~)а+1 деля на о р)ро н принимая в расчет (35,22), придем к уравнению д в а о о — — + $' — — = аЕ т,+ Уач т, Если Р=1, (35. 27) уравнение (35.26) сильно упрощается и принимает вид: (35.28) Мы перейдем к подробному изучению этого случая, Начнем с конкретной задачи обтекания пластинки, расположенной вдоль оси Ох. Здесь У = сопз(., так что У'=О, и уравнение (35.25) примет вид: (35. 29) Если обозначить (35.30) Ро то уравнения (35.23) примут вид: дЧ' дЧ" (35.31) Вводя (35.31) в (35.29), получим окончательно: а.
а-д ае д. '- и '((т ) а пОГРАничный слОЙ в сжимАамои жидкОсти 6!3 в качестве кРаевых Условий мы должны написатВН при т,=О Ч'=О, — =0; ач дч д%' при л = со — = (7 '). дч (35.33) Наконец, вследствие (35.14), (35.31) получим: 1 /д%'тз Т=В— 2Еср !дя) ' (35. 34) В качестве первого прииера решим задачу об обтекании пластинки без теплоотдачи, т. е. при краевых условиях: при т(=0 — =0; при т)=СО Т= Т, 3Т дч или, на основании (35.34) и условия прилипания: д — — О, В=Т„+ при я=О (35.35) ПРИ с=СО Ц2 Т =Т-+2Е ср ' (35.37) Замечательно, что мы, не решая уравнения (35.32), можем при помощи (35.37) найти температуру пластинки по температуре набегающей жидкости (Т ) и по числу Маха набегающего потока ((7/а ).
В самом деле, так как а = хйТ = хЕ(с — с,) Т вЂ” с„Е(х — 1) Т ') Любопытно отметить, что при л = ! Т выпадает яз уравнения (35.29) н последнее обращается в точности в уравнение (32.3), если заменить Ч' на ф, .' на х, ч на у. Так как крзевые условия будут и здесь и там одвнаковы, то мы можем здесь прямо заимствовать готовое для яесжимаемой жидкости решение Блззнуса. Нужно только, конечно, установить затем связь между плоскостью (х, у) и плоскостью (с, »~). Заметим теперь, что уравнение (35.28) имеет тривиальное решение (7»т О=сопя!.
Если выбрать эту постоянную равной Т + —.-, то мы 2Еср ' ада удовлетвории и краевым условиям ! — — = 07!, Используя (35.34), по!д» 7' ' лучим теперь: В частности, на поверхности пластинки, где дтв(дт! = О, будем иметь температУРУ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ !ГЛ. 11 614 мы получим из (35.37): Т =Т„1+" '", (35. 38) (35. 39) сопоставляя с этим равенством (35.86) н (85.37), получим, что Отметим еще, что давление на стенке будет, как и везде, гl~ Рм Ро 1 х~Ь ! Зеро 'е', х — 1 плотность же на стенке р будет (Р рм=ро . ! 1 +ро.
— -а, х — ! Уравнение (35.82), если принять в расчат (35.36) и (85.37), может быть записано в виде: д%' Совершенно ана,тогично тому, как мы поступали в случае Блаануса, введем вместо Ч" величину ь по формуле 1(г = 2 'гг хэ(/1( (35,41) Если (7/а (~1, температура Т будет незначительно превосходить Т, Но при скоростях жидкости, превосходящих скорость звука или приближающихся к таковой, пластинка будет нагреваться сильно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
