Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Предположим, что нам удалось найти это решение в общем виде, для любого значения Т„)Те '). Тогда условие 135.72) даст нам трансцендентное УРавнение длЯ опРеделениЯ Т 1Тв. В самом деле вследствие (35 73) имеем: (й ) =Т,~й~) — — ") — — — ) нтн, так как число Прандтля равно единице, ч ч ~в а." """а~и "Условии (35.72) конечную длину с, а пластинка до сих пор считалась бесконечной в направлении оси к. ') Технически зто удается сделать, отыскивая решение в виде рядов "" ° около т = О и в виде асимптотическнх разложений для больших:.
В качестве третьего примера рассмотрим обтекание пластинки, предоставленной самой себе, но излучающей. По-прежнему будем считать, что Р= 1. Здесь температура пластинки, так же, как и в первом примере, будет неизвестна и в качестве краевого условия для температуры мы примем ~35.13), в котором г Уг*= О ПЛ 11 двнженпе Вяиког1 жидкости 624 поэтому (35.72) примет после простых преобразований вид: — — 1 — — "- чи(0) = аТ~ и — 1 (35. 74) в этом равенстве Г(0) есть функция от (//а, и от Т„/?и. Таким образом, из (35.74) мы можем найти Т /Т, в функциях от безразмерного параметра аТ1 м=ю м=в м*б м=в м:г е=,,;,~/я, и от (//а„.
На рис. 185 по оси абсцисс отложена величина 2 104егМ, по оси ординат — значения Т /Т для различных М. Мы получим значение Т„/Т. „отвечающее (35.38), теоретически говоря, лишь для /. ==. О, При любом конечном /. Т /Т„будет значительно ниже. При / — и сиэ мы получим для всех )(4 — — «1.
Т До сих пор мы рассматривали примеры в предположении, что Р= 1. Если Р4=1, то приходится обратиться к уравнениям (35.25) и (35.26). В качестве примера рассмотрим обтекание пластинки, т. е. случай, котла (l'=-О. По-прежнему, вводим функцию Ч' так, что д'р дФ' Уравнение движения примет вид: Гиге — 1В Г гб 14 гб в г в 41 лг ав 44 гв вб 47 бб би гтбМЕ4 Ряс. !Вб.
д дид — д. — 4= ие — ~( — ) д 4~ (35.75) а уравнение притока энергии запишется в следующем виде где -,„, как и прежде, есть напряхсение трения на пластинке; но по (35.69) имеем.' погрлнпчнын слон в сжнмлемоп жидкости 625 2 зч! прнчаог T З 1 ДИ 2 (35.77) уравнение (35,76) не допускает тривиального интеграла, поэтому приходится искать решение системы (35.75) — (35.77) в виде ге'= 2 $/~ У~Г(~); — =Ф(~), где Тогда (35.75) примет вид: 2".ма+ — -- ~(Ф вЂ” — ч") ча~ = О, (35.78) а (35.76) даст после простых преобразований 2Р ГФ'+ — ~(Ф вЂ” —,, "' ) Ф')— иа гт Гl (Га,рта-г сГ,а) (1 Р),, ! .
ч Г 2го ггс (1 2го ) гге (35.79) По опоеделеншо 3 (35.77) мы имеем далее: Ф(оо)= 1. Остается поставить последнее, пятое, краевое условие. Оно, как и при Р = 1 будет иметь различный вид в зависимости от того, какую задачу мы изучаем, Евли то мы должны написать Ф'(О) = О. (7),,= т Если где 7',„ — заданная величина, то Ф(0)= ~ 7о ит,д, 40 Теоретическая гкарамеааиика, ч. Л Таким образоъ1 задача сводится к совместному определению двух функций Ф и '. от е из системы обыкновенных дифференциальных уравнениИ 5-го порядка (35.78), (35.79). В качестве краевых условии мы примем прежде всего три условия для ч: Г(0) =ч'(О) =О, ~'(со) =1, 626 движглгпе вязкой жидкости 1гл ц Для решения системы (35.78), (35.79) удобно принять, как мы это уже делали раньше при Р =1, в качестве независимого пере. менного не т, а переменную: У г = — ч'.
Мы не будем останавливаться на этом общем случае подробнее. Чтобы выяснить влияние числа Прандтля, положим для простоты и = 1. Это значение близко к действительному значению и для воздуха (и — 0,8). Тогда Ф выпадает из (35.78) и последнее просто перейдет в уравнение Блазиуса 2К" +О" = О, решение которого нам уже известно, уравнение же (35.79) даст Ф" + 2РГФ'= (! — Р) 2! л о (ч'). Задача сводится к двум квадратурам.Мы получим, принимая в расчйт, что Ф (со) = 1: Ф (т) = 1 + с / ((,") гИ + +(1 — Р) —, / (С") / (г.") — „, (Г ) гУтгКт, (35.80) 2!о о где с — произвольная постоянная, подлежащая определению из второго краевого условия для Ф. Так как Ф' (0) = с [(" (0))~, где ("(0)=0,664, то, если ( — ) =О, имеем Ф'(0)=0 и с=О.
у гт=о Мы получим тогда температуру пластинки Т по формуле: Т (ы — = Ф (0) = 1 — —. а, ТО 2!о где о а=(1 — Р) / ("") / ((") ~ — „,, "-' г7тг7т. (35.81) о о Таким образом вместо прежней формулы (35.38) мы получим теперь, Т х — ! — и = ! + — (! — а) М', Т 2 сжиылнмля жидкость 627 так как и « — 1 1 1+" — 1М 2 (35.82) Если Р = 1, то а = 0 и мы веРнамсв к (35.38). ДлЯ воздУха р = 0,75 (точное значение: Р =- 14/19).
Принимая в (35.81) Р = 0,75, пол)чнм путом численного интегрирования а = 0,132 1) Таким образом температуры на пластинке при Р =- 0,75 будут несколько ниже, чем «температуры торможения» в (35,38), отвечающие числу Р=1. $36. Сжимаемая жидкость.
Пограничный слой для произвольного профиля. В случае криволинейного профиля мы должны обратиться к уравнениям (35.25) и (35.28), Если ограничиться случаем, когда теп,чопередача отсутствует, т. е, когда ( )— дТ1 'аа л ) — О, следовательно, 1 — ) = О, (36.1) ау ), „ ~ау),=е Цл (х) «КТ (х) «КТл 2 и — 1» — 1 (36.2) где Т, — постоянная (температура в том месте, где скорость равна нулю), )с — газовая постоянная. Но по определению 0 (35.14), мы имеем: 8 = Т+ — ~ — '+Ее Т) 2Еср Еср ) 2 р пли, так как Ес Я» (36.3) ') Подсчет был произведен А.
С. Манвиым, который, использовав уравнение Блазиуса, преобразовал предварительно (35.81) к виду: «=1 — 2Р ~ (Г) ~ ("")т натая. о е то мы можем вновь взять в качестве 0 тривиальный интеграл 0 = С =сопз1. Чтобы найти значение этой постоЯиной С. обРатимсЯ к условию на бесконечности. Теперь (7 =0(х), но также и Т будет зависеть от х, следовательно, Т =- Т (х).
Эти величины связаны уравнением Бернулли (глава 1, (8.1)), которое, если учесть (8.5) из главы 1, мы можем написать в виде: 628 дВижение Вязкой жидкости [ГЛ. Ио эта величина должна быть постоянной и равной С. На бесконечности правая часть (36.3), вследствие (36.2), обратится в Те, поэтому С=- Т,. ОпРеделив 8 полностью, мы можем найти Т(Те в виде: Т х — 1 оя т, 2оат, (36.4) Вместо уравнения (35.29) мы будем теперь иметь (35.25): дэк дэк Т ии' к д"., Удэ То 1 х — 1ио Одэ!~то! для т+1 где Тгто определяется по (36.4), а )г — по-прежнему находится из (35,22) и удовлетворяет уравнению: дпк д)ту (36,6) Следуя Дородницыну, дадим прпближзнный метод решения задачи, основанный на идее работы Кочина и Лойцянского (см. Я 34), Построим сперва интегральное соотношение, аналогичное соотно- шению Прандтля (30.18).
Для этого уравнение (36.5) запишем, вслед- ствие (36,6), в виде х+1 а2 и уравнение (36.6) (умножив его обе части на (у') прнведйм к виду: див д1,и ди (36.8) дэ к дз Вычтем из уравнения (36.8) уравнение (36.7) и проинтегрируем обе части по 21 от 0 до ОО, Получим: „-о ~.к(и — Ок)д~ +~~'у(и — Ок)= т и т, — 1 и о 1 о «+1 а По аналогии со введзнными в несжимаемой жидности толшиной потери импульса и толщиной вытеснения введем величины: 8"'= ~ -~+(1 — ~",)о(т), 8'= ~ (1 — и.)сот). (36.10) о о сжимАемАя жидкость о гб~ Привлекая (36.4), мы можем написатеа « — 1 1 —— «+1 э — У л « — 1 1 —— « -]- 1 7 У о т (го о ! — а уг— аг (гг + ' ], и~ « — 1 уг 1 —— «+1 аг — 1и 1— «+1 а Принимая ещй во внимание, что (1г )я „= 0 по (35,22) и Π— -эО, мы получим из (36.9): с!а« ~ ач,], ( гг ии' — Д((у 3.*)+ ии 3 + 21о ии 3.*=.
~~Р") (гг !гг ! —— 1 —— 2!о 2!о пап после деления на (22: 2+ о 3«г+ =+,( — ';.) . (36.!1) Это уравнение является обобщением соотношения Прандтля (80.18). При (/2!2(е — «О и, заменяя г) на у, 1 на х, мы вернЕмся к несжимаемой ноидкости и (36,!!) перейдет в точности в (30.18). Вместе с Дородницыиым будем искать првближйнное решение, предполагая, что безразмерная скорость о,./У (х) есть функция от г)13** и некоторого параметра р, зависящего от (.
Именно, положим, что о„=и(х)Ф ( (з~?', р). (36.12) В(]3)= ] Ф:,(о, р)]! — Ф,:(:, р)]г(1, (36.13) Здесь Ф' означает дифференцирование по первому аргументу, а в качестве функции Ф от двух аргументов мы примем вновь как раз ту функцию Хартри, которую Кочин и Лойцянский использовали при построении приближенного решения для несжимаемой жидкости ]ем. стр. 604, формулу (34.51) и др,]; пол функцией В(р) по.прежнему разумеем ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (гл И 21о т. е.
по (36.12) 1/' Во цо = "е,„оФ (О р) 1 — —. 21о (36.14) (36.!5) где Ф"' означает третью производную от Ф по первому аргументу, Обозначим, как и в 9 34 (34.56)'), — Веф'о(О, 3) = У(()). (36.16) Таким образом о*', р и с связаны соотношением (/о (36.17) где у" — известная функция от р. Далее, 3*= / (1 — ®от'1= — / 11 — Ф'(1, р))й= — А, (36.13) о е где под А разумеется, как и в 9 34, известная функция одного р А= / (1 — Ф'(1, р)!о(с о Наконец, (~~'. ) С'~ Ф (О ~) ! (36. 19) Теперь уравнение (36.11) запишется в виде: Цй 21о Л 1 + (Го+В (го 1 — —. 1 — —, 21о 2го <) Так как Ф удовлетворяет уравнению (34.48) и так как Ф(О, 3) = Ф' (О, 3) = О, то Фко(0, р) = — р и (36.16) совпадает с (3466).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
