Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Точно также из формул (39,17) ясно видно, что на тех же линия" и давление терпит разрыв, величина которого в точках КТ н Ко 0 9 18 27 36 45 54 63 0,000 72 0,100 81 0,198 90 0,293 99 0,382 108 0,465 117 0,539 126 0,601 135 0,650 0,682 0,693 0,680 0,636 0,554 0,424 0,228 о =)г 51п0 в Оо, о„= У сов 0+ и + 1'и о =Ъ 5!п0 В Оо, .Р ту же ордннату у, что и точка л4 области Оо в которой определяется о„. ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА 651 , дд! .дедя1ошпх С1 От С2, равна: Ра Р1 2 !д 1 — 2~Л'1) 2 а=в = — оУ2 ф' 2 — 1) =- — 0,414оУ2.
(39. 19) Если бы мы опРелелили давление в задней части течениЯ В2 формулой й — Ы~Й-Ж). +'7+®)'1+ + ()Р 2 — 1) РУ2, (39.20) отличающейся от формулы (39.17) только постоянным слагаемым, то давление на всем контуре С менялось бы непрерывно, но вса-таки на линиях К17.1 и К272 (рис. 186) давление продолжало бы терпеть разрыв. Приведбм теперь таблицу Х!. даюшую значения Ъ'1/У и —, Р '727(72 а точках контура С: Таблица Х1 —,, ри: Р 1 — ргр 2 гр 1,414 — 1,828 1,274 — 1,548 1,2! 7 — 1,434 1,183 1,160 1,144 1,133 1,125 1,120 1,117 1,116 — 1,366 — 1,320 — 1,288 — 1,266 — 1,251 — 1,240 — 1,235 — 1,233 Наконец, применяя формулу (38.7), мы можем вычислить сопрот'1влепие, испытываемое цилиндром при его движении, в виде Л' = ра ~ Ь", соз 8 г(б, что о после численного интегрирования дает нам сопротивление 16' = 1,3!р(72а.
(39. 22) (39.21) 0 18 27 36 45 54 63 72 8! 90 0,000 0,280 0,552 0,807 1,038 1,236 1,395 1,507 1,563 1,551 1,414 1,000 0,922 0,696 0,349 0,076 — 0,528 — 0,946 — 1,270 — 1,443 — 1,405 — 1,000 90 дд 108 117 126 135 144 153 162 171 !80 652 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ггл, 1 Это значение слишком велико по сравненио с экспериментальнынн данными и объясняется тем, что в то время, как распределение давления на передней части цилиндра довольно хорошо соответ. ствует опытным данным, давление на задней части цилиндра, вычислен ное по формуле (39.! 7), оказывается чересчур низким.
Производя вычисление давления по исправленной формуле (39.20), мы должны во всех точках задней части цилиндра увеличить давление на 0,414рУЕ. В результате получается уменьшение сопротивлекня на 0,414рУЕ ° 2а = 0,83р(!та н, следовательно, в этом случае мы будем иметь (е' = 0,48р(Уза, (39 23) что гораздо лучше соответствует опытным данным.
9 40. Обтекание плоской пластинки. В качестве второго примера применения уравнений теории исчезающей вязкости рассмотрим обтекание прямолинейной пластинки. Пусть пластинка К!Кт длины 21, Мр Рис. !89. Рис. 188. наклоненная к ося Ох под углом а, движется параллельно оси Ох со скоростью У (рис. 188). Отобразим внешность контура К!Ка на внешность единичного круга в плоскости Л так, чтобы точка К перешла в точку й а точка а=со перешла в точку а = со. Для этого надо взять (40.1) пРи этом точка Кт пеРеходит в точкУ Л = — 1 (Рис.
189). ПостРоим теперь вспомогательное течение тв! = р! + (ф! Ио условиям (39.2) Полагая по-прежнему — „' =е-'"'!'1, м(г)=8+11ИЪ' (40.2) движения вязкой жидкости (гл. и а с другой стороны у должна лежать в интервале ( — п12, я12), то необходимо взять 8=1пи, ~=-" —.. 2 Итак, мы получаем следующее окончательное выражение для функции а(з): 11п с1 +11п у 1 е е+1 Для комплексной скорости вспомогательного течения мы находим: ~ ' — е-'"'" = — 11 ~ . (~+, )'. (40.5) Введем еще одну переменную ч, положив . Х вЂ” 1 :=1 1еы — е 1еы+е ' се а =1е' 1+ (е (40.6) Окончательно для комплексной скорости абсолютного движения в области О, мы найдем после простых вычислений следующее выражение: ли лге~ — а — „-~ .
ч — =У+ — '=О 11 — е "10'соз — — ч" а)п — ) ее ее ~ 1 2 2/ 1 2 (ге" +е, 2 1е'"+ е Чтобы выяснить характер течения на бесконечности, лучше исходить из формулы (40Л); замечая, что легко найдем, что лю И / -га 2е1 ее и вследствие формулы преобразования (40.!) ам ги1 „ 2аеы ~ А — 1 — — 1те — 1 — — 4- ... = + .,„(40.8) Л = 2 при этом внешность единичного круга в плоскости Л переходит в верхнюю полуплоскость "-., точка О' в 1, точка Кг — в О, точка О' в — 1. Между г и ". существуют простые соотношения ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОВ ПЛАСТИНКИ где А= — ~1 — созх+ — сова), В = — ~1 — — )в(па.
(40.9) /1/ / 2а /(/ / 2»! 2 2 Полученная формула показывает, что далеко перед телом тече!ше имеет такой характер, как если бы оно происхолило от совокупности источника и вихря, находящихся в начале координат, причем мощность источника равна !> = 2п А = /(/ [и — я соз х + 2х сов х), (40. 10) а интенсивность вихря равна Г = 2лВ = 1(/ (и — 2х) з! п а. (40.11) Мы имеем далее: Г.'=е'! — !» / /5!и а — у Т2 1! / зш а -1- у,) и поэтому по формуле (40.7) находим: 'Т/япа+у) » а 1 1 дт а //Б!па — у>2» . а //япа — у)2» 2 — = (/ 11 1 — С05 — ! — 21П вЂ” ~ дх ~ 2 !/япа+у/ 2 !/япа+у дт — „'=0 ° С,; ду (40.
12) применяя после этого формулы (37,18), найдем течение в области Р2. Вычислим, наконец, сопротивление, испытываемое пластинкой, ~ля чего применим формулу: -!»1» 2 / 1дл ) У 2 / 1дл ) С2 >ми Подставим сюда предыдущее выражение для ду(дх и воспользуемся подстановкой у =/г) яп а; При малых значениях х циркуляция получается равной и/(/х, в то время как по теории Жуковского циркуляция должна равняться 2п/(/х. Значение циркуляции, имеющее место в действительности, лежит между этими двумя значениями.
Течение в области Р, определяется формулой (40.7). Чтобы определить течение области Р2, необходимо вычислить значения функции (40.7) в точках задней стороны пластинки. Для этих точек 0 лежит в промежутке ( — со, О), а г имеет значение х+у/=ус(да+ +/у= .у е"; поэтому из формулы (40.6) следует, что вша ,,/ /япа — у !' /япа+ у 666 движения вязком жидкости [гл гг тогда получим ю ] -1 Но если положить 1 — ч +ч то будем иметь 1 СО -1 е Теперь без труда после ряда тригонометрических преобразований получим: риз! г соз 2ч ч Х =- — — ~п — (я — 2и) — !. 2 созе ) (40.
13) При угле а = и/2 составляющая )' обращается в нуль, как н должно быть, для Х же получается выражение 2 (40. 15) в то время как опыты лают коэффициент 1,56. Как видим, сопротивление получается чрезмерно большим. Причиной этого является то же обстоятельство, которое имело место и в случае обтекания цилиндра: в то время как распределение давления на передней стороне пластинки хорошо соответствует действительному, на задней стороне пластинки получаются чересчур низкие давления. Можно получить лучшие результаты, видоизменяя несколько основные предпосылки теории, как это сделал в ряде работ Цейлон (Ее!!оп) ').
') См., например, О з е е и С. %'., Нуйговупашйг, приложение, содержащее две работы Цейлона. Аналогичным образом, пользуясь второй из формул (38.7) и значением Г из формулы (40. !1), мы могли бы вычислить У. Но в данном случае достаточно заметить, что все элементарные силы давления направлены по нормали к пластинке.
Поэтому результирующая сила должна бьжь перпендикулярна к пластинке. А отсюда сразу следует, что ганг г соз 2ч т !'= — Хс!аз= — р~с!дп — (и — 2п) . ~. (40.14) 2 з!па )' ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ рассмотрим, например, стационарное плоское движение и допустим, что вектор полной скорости тг может быть разложен на две части чт!1+ и (40. 16) где т! есть вектор скорости основного движения, а О' — вектор дополнительной скорости. Для определйнности примем, что аго есть беэвихревой потенциальный вектор дф дф де! даф О = — —, О = — ', йф= — 'У+,=О, ду ' ор дх' деа Примем теперь, что в выражении ОХго1О, входящем в основные уравнения (37,1), мы можем пренебречь квадратичным членом О')( го1О', так что эти уравнения можно записать так: Рооуас = д + У ~ох' Роокы = + У цоу (40.17) где доу дох 2= — — —.
дх ду Из предыдуших уравнений после перекрастного дифференцирования легко наядам, что до дГГ РО:+ РО, — = ч Ь1с; ок дх о> ду в пределе при р -ь 0 получаем уравнение дй дм дф до дф дп Π— + о — = 0 или — —" — — — = О. (40.18) ок ду оУ ду ду дх дх ду Это последнее уравнение показывает, что 2 =7'(ф), т.
е, что вихрь имеет постоянное значение на линиях тока основного движения. Принимая ф = — Уу, мы получаем прежний результат, что за телом вихри перемещаются по прямым, параллельным оси Ох. Выбирая иную функцию ф, мы получаем другие траектории для вихрей и, следовательно, другое решение задачи. Еща одно видоизменение теории касается граничных условий. В основной теории исчезающей вязкости мы имеем резкое разграничение передней стороны, на которой происходит обтекание потоком тела, от задней, на которой происходит прилипание жидкости к телу.
Можно ввести некоторые переходные участки, на которых один режим обтекания будет сменяться другим. Ясно, что путам надлежащего подбора этих участков можно значительно улучшить совпадение получающихся теоретических результатов с экспериментальными данными, особенно, если использовать также и произвол в выборе функции тока основного течения ф. 42 Теоретическая тякромехаиике, ч- П ГЛАВА ТРЕТЬЯ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ А. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В 1.
Введение. По-видимому, Г а г е н (Надев) первый, производя опыты с водой, движущейся в цилиндрических трубках, заметил, что характер движения внезапно меняется, если, увеличивая постепенно скорость течения, мы перейдем через некоторый предел. Именно, при движениях со скоростями, меньшими, чем этот предел, струи имеют вид твврдых стержней, но, как только этот предел перейден, движение сразу становится неравномерным, и струи начинают разбиваться и нульскровать. Г а г е н обратил внимание также и на то, что переход потока из одного типа в другой может быть ещв получен путам изменения коэффициента вязкости (температуры) или ралиуса трубки. Однако, Гагену не удалось подметить здесь общего принципа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
