Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 104
Текст из файла (страница 104)
(3. 25) 43 теорееи лееаал гиарол|еааиииа, е и Два разных знака перед корнем отвечают двум независимым решениям, Для (3.17) точка у = у, была логарифмической; теперь это — алгебраическая точка ветвления. Мы можем положить для конкретности ато(= — и считать для Г) с ар~(à — с) > с; будет ли затем агд(à — с) =+и или агК(0 — с) = — к для отрицательных Π— с, мы сможем сказать лишь после рассмотрения полного решения (3.11), о котором мы уже упоминали выше. Используя функции д, мы можем, таким образом, написать и вторую пару независимых решений уравнения (3.11); назовем эти решения уа и уа. Если ограничиться лишь первыми двул1я членами в разложе- ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1гл.
П! нии (3.23), можно написать: - ) г' ми цт-а) еу уз=(() — с) 'е У ) 1 г и~са-а)еу у„=(Π— с) "е "а (3.26) Как же построить теперь то полное решение (3.11), о котором мы уже несколько раз упоминали и которое мы дотжны знать, чтобы найти поведение функций у около точки у = у, и решить вопрос о путях интегрирования в (3.20) и (3.26)? Чтобы установить поведение (3.11) около точки у = у„введем сперва новое независимое переменное Т1 из соотношения у уа=ет) где е = (агт) (3. 27) Если обозначить У (У) = Х ( 1).
то уравнение (3.11) перейдет в следующее: причем функции с7 — с и Р', участвующие в качестве козффициентов, будут представляться рядами: (а Е)а и — с=и,+иа — '+ ..., (3.29) (3.30) — IлУ~ где (.га =( ) и т. п. ~ у )угу Теперь можно искать решение в анде ряда, расположенного по степеням е: У (у) = Х ( )) = ХГЛ (Е)+ Хо'( 1)+ 'Хой ( 1) + (3 31) Уравнения для у1е),,(п), ... будут: 1 ил +7( Еу~ее 0, г (3.32) 1Х'а"У+ (У,' 0(слц = ~а — ( 1) Л > ' (3.33) (Π— с) (у" — агату) егЦ у ' (уп' 2атету" + ечеч)(), (3.23) а)а е устоЙчиВОсть течения между плАстинкАми з з> 675 >де 7.„4(у) — линейная комбинации из у(е>, ..., у(4-», й н их производных; в частности, 7., = й„" (у(е> — — РХю>") 2 Уравнение (3.32) имеет следующие четыре независимых решения: у(»'= > ХР=1 (3.34) хе= / хх/ >'ххххх( —,еьхх4)хх: ) з Г г=)'» (У иу(тх.,х') 00 О: з (3.35) где так что при больших значениях о(х аргумент этот будет по модулю велик.
Поэтому, желая обследовать поведение функции у при боль- ших и(т, мы можем использовать асимптотические разложения функ- ций Бесселя. Производя несложные выкладки, Линь показывает, что первые члены этих разложений для ул, ум уз, ул как раз совпадзют с теми фУнкциЯми Д(, ум уз, 74 соответственно, котоРые даны были в Ра- венствах (3.19), (3.26), и попутно получает возможность уточнить путь интегрирования в квадратурах, участвующих в этих формулах. Отсылая за подробностями к цитированной статье Линя, укажем лишь, что путь интегрирования должен, по Линю, удовлетворять условию: 7я 7в — — < а 3'( зх>) < —, 6 з 6 ' (3,37) з "з= ~г~, а Н> и Н> — функции Бесселя порядка >>хз. (» (я> з з Следующее приближение мы получим в виде -«;>==,У" ~ и1.(е> УУГ>'.,(.3~-.(з> йз>*ех,(.~" 1 Сходимость рядов (3.31) будет обеспечена коль скоро будут сходиться ряды (3.29), (3.30).
Заметим теперь, что аргумент функций Бесселя может быть записан, если вернуться к старому независимому переменному, по (3.27) и (3.36), в виде з з 3 (~"е">) ' = 3 (4) ' >' ей~ (У вЂ” У,), ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 676 !ГЛ, !4! У(0)= У'(0)=у'(1)= У" (1)=0. В случае 1", когда У антисимметрично, — мы должны записать: У (0) = У' (0) = У (1) = у'" (1) = О. Наконец, для случая !1 движения в пограничном слое мы, как и выше, напишем: У(0) = У'(О)= О, У'(у)+аУ(у)=0 для у)~ 1; У("О) ( ОО. В качестве четырйх линейно независимых решений мы примел» наши функции Уи У2 Уз У4 определенные выше.
Тогда вековое уравнение для случая Г будет иметь вид: у (0) ,(О) У2(О) Уз(О) У,(0) У,(0) Уз(0) У4(0) У;(!) У,(1) У,'(!) У,'(!) У;" (1) У,"' (1) У,'ч (1) У',ч (1) (3.38) Для случая 1" мы должны будем написать: У4(0) У2(0) Уз(0) У4(0) у'(О) У 4(!) У2(1) Уз(!) У4(!) У1( ) У2( ) УЗ( ) У4( (3.39) Наконец, в случае 11 мы должны отбросить У4 как решение, не ограниченное на бесконечности и напнсат4и , у,(о) У2 (О) Уз (О) у,'(о) у,'(о) у,'(о) У4 (!) + ЕУ1 (1) у (1)+ У2 (1) О Обратимся теперь к собственно краевой задаче.
Случай 1 движения между двумя параллельными пластинками удобно подразделить на два подслучая. Дело в том, что возмущение всегда можно разбить, вследствие линейности, на две независимые части — симметричную по отношению к линни у = 1 (середина расстояния между пластинками) и антиснмметричную.
В случае 1 удобнее записать краевые условия не для у = 0 и у = 2, а для у = 0 н у = 1. При этом в случае, назовем его Г, когда У(у) симметрично, мы должны написать; зСТОР1ЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕРКдм ПЛА].Т1ШКАИИ 677 Соотношения (3.38), (3.39), (3.40) значительно упрощаются для больших значений агт. ИспользУЯ выРажениа (3.26) дла ззз и )'з, чы можем запнсатьи )'а== А()з)е-к и )']=В()з) ек, ]де А и  — величины порядка единицы, а У ~' = / ]' )х'гт ((з' — с) 1!у .
) В определителе (3.38) улоопо поделить все члены третьего столбца на 7з(0), а все члены четвертого столбца па 71(0). 3(ы можем записать затем: Хз'(О) , - - , А (О) — — )з — за]те+ — — —; 7з (О) ' А (О) — = — — — )Р] гт (г! — с) У (') ( А'(1) ": — †. А (1) ) Уз(0) ( А (О) А (О) „е-", гз (1) . т А(1),1 н Уз (О) А (О) (]ззгт (1 — с)1 ' -- — -]- 0(а]т) е- ', У (О) ,,- — в (о) Л(о) = У ~~+ в(о) У (1);-- — ---- В(1) В (1)1, Л (О) = ( )з '"~ (1 ') В (О) + В (О) ( ' у',о (!) -' в(1) Л (о) (]а(т (1 — с)) з — + 0 (хгг) ~ е', в (о) (3.41) где Р--=е ~ '1~]агсЮ вЂ” с)г)у.
]ЛЕ (л (О) У (О) ' 7] (О) У2 (О) ! Ре(а, с)=... ]1 Р„(з., с)= — ( . 1 . !. (3.43) причем Р п Р не зависят от гт, ибо мы принимаем за Л и ]'з гк г РН представления с помощью 13.19]. (3.20) (!'," и 7','). 14 1 оразнзеез,зн ззза]ооезаннка, з. и Пренебрегая теперь в определителе (3.38) членами порядка е-" илп 11а)]т по сравнению с единицей, приведем уравнение (3.38) к виду: В,(., ) З:з(о) (3.421 В! (., с) 71'(О) ' а з! УСТОПЧИВОСТЪ ТЕЧЕНИЯ МвжДУ ПЛАСТИНКАЗ4И 679 Величины у,(1), уз(1), У4(1), г" (1) должны быть вычислены с по- мощью интегралов (3.20).
Именна: у,(1)=(1 — с) 11+~ела(1)+.с!4л (1)+ ...) У' (1) = (1 — с) 1)е,(1) + сР/г (1) -~- ...), у'(1) = — < ат ~ ((т' — с)'4(у -/ — а4 ~ (С7 — с)а й (у) а!у -~- ... ! -)- +', ",) Л(1), ! тич-,', 1 [" (!л — !ь!т!т,4- ...])тт!4тл|т о Дальнейшие преобразования удобно делать для тех нли иных кон- кретных видов (т'(у), а не в общем виде.
Правая часть может быть г!реобразована к удобной форме для всех случаев сразу. Мы могли бы грубо представить, по (3.41), выражение )з(0)/у'(О) для больших а!х в виде т! Л,(0) а4 у (0) )т~~ Однако величина с оказывается иногда малой, и тогда даже при больших и)!с, пользоваться этой формулой нельзя. Следует обратиться непосредственно к точным решениям (3.35).
Мы получим теперь: Тт 6 у зт, — !41~ 2 ( гт! Ут (0) Т У,'(О) т зт )т т!О! ! ~ — (!азт!) ) 4тт! ! 2 или, если ввести вместо т) аргумент ч по формуле = "оть будем иметь — т з)Г40~ 2, ТТ4,, 3 1 т! (0) 4-с т +тт з ус т 3 (О) ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1ГЛ. ! и где а = — у, — ' = у, 222 (2",а(С, (3.5!) В приводимой алесь таблице Х!! ланы аначения Г, и Ег в функциях от а по Лшпо. Таблица Хй г Р г ,о 0,52773 2,'8 ' 0',411952 Итак, мы приходим к решению уравнений типа Е (с, а) =- Е, -1- 7ЕР причем для случая Г: (3. 52) 22 (1) Е(с. 2) =— ' б,', Е2' (1) + У, '(1) (3. 53) для случая 1" Е(с а) с У2(1) (3 Л54) Е,Е2(1)+ ' У,(1) для случая !1: с 22 (11 У2 (1) Е(с, 2) (3.55) (7 /У (1) , У (1)~ , [У (1); У (1)] Уравнение типа (3.55) было получено еще Толлмненом в упомянутой выше работе об устойчивости пограничного слоя.
Еслгг представить левую часть этого уравнения в виде '): Е(с, а) --= Е,(с, а)-;- 2Е,(с, а) (при этом мы берем сг = О, т. е. аанимаемся лишь нейтральной линией), то задача определения нейтральной линии сводится к исклю- ') г!евая часть будет комплексной благодаря ггнтегрлрова1гиям, нмеюшимся в форм!лак (3.20). 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 0,89161 0,78969 0,71970 0,66931 0,63143 0,60144 0,57599 0,55230 ! — 0,35025 (! 3,0 — 0,27310 (~ 3,2 — 0,21213 ~~ 3,4 — 0,16009 !( 3,6 — 0,1 1274 ) 3,8 — 0,06741 '! 4,0 — 0,02226 ' 4,2 — 0,02195 ! 4,4 — 0,07203 ~ 4,6 0,Г2220 '~ 4,8 0,46456 0,41947 0,36110 0,28802 0,20352 О,! 1800 0,04698 0,(В240 0,02160 0,01477 681 УСТОЙЧИВОСТ! ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ 4 з1 чению с из двух уравнений Е,(с, а)=Р,(е), Е,(с, к)=Е,.(з), В плоскости (а, Й) мы получим тогда линию, отделяющую область устойчивости от области неустойчивости.
Чтобы исключить с, Толлмиеп изображает в некоторой плоскости кривую, абсциссы н орли- 35 наты которой суть Е,(г) еф < чз,, ф и Р,. (е) соответственно .С ° ' Те~ расслщтривается при 45 этом, как действительный параметр); затем в той же плоскости изображается суайау Е5 ~ семейство кривых, полу- 6 — — 07 чающнхся прн разных с, "7й если Е,(с, а) и Е1(с, а) изооражать как абсциссы и ординаты(переменный па- рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
