Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 107
Текст из файла (страница 107)
С лругой стороны, нетрудно найти другое выражение лля дТз)дТ = дТз)д1. В самом деле, умножая (5,1) на о, о, о, соответственно, и складывая, получим: (- = —, —.)- ' д — д — д — дт р де+ «дх+ Уду+ «д«) 2 ( «+ у+ «) «дх + '' + «д (~««Р «)+ ''' Интегрируя по объему (т) обе части этого равенства и применяя формулу Грина, получим, на основании того, что на стенках о =о =о=О: «у 1 —, — дт — ) — —— а г э+от+ ззд о ш — ) Ит — зо' ) — '+ ...1йт.
(5.6) га б96 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ~гл. Ин Сравнивая (5.6) с (5.5), получаем для скорости изменения со временем средней кинетической энергии уч турбулентных пульсаций вы раже нне — — / [,' ~ ч-...1Ш вЂ” / ~' — —.:.1~.(5.7) га Наконец, вставим в (5.6) и (5.7) выражения -.„„... через производные от скоростей по координатам — де . чту= 29 д де„' 'и» ' дл ' получим окончательно; — '= — /Ф,д+ / Рд,, дГ ~.) гч — — / Ф' г(с — ~ 1е г(т, (5.8) (5.9) где ь' = р ~2 ( — *) .ь 2 Н ./- 2 ( — ') ;- ( — '," -ь — '," )'~ ( — ',"„' зфД, Фо — р ~2 ( — «) +2 ( — ~) +2 ( — ') -(-~ — '+ У) Знак в правой части выражения (5.9) скорости изменения энергии пульсаций может быть положителен илн отрицателен в зависимости от знака члена ~ Ф'~(т, первый член — ~ Ф'дт зависит от коэффи- И) циента вязкости р и всегда отрицателен, основные уРАВненИя РейнолытсА г 97 Если надо принять в расчат внешние силы 1=,, Г„у.„и если объем (т) не ограничен твердыми стенками, так что на границах о эх-.
О. в уравнении (5,8) придется добавить члены, представляющие: 1) носок кинетической энергии осредненного движения через границы, 2) работу внешних сил, 3) работу, совершйнную на границе средними напряжениями тхх, ... и средним давлением, а также добавочными напряжениями. Напротив, в уравнении (5.9) надо будет добавить лишь члены, зависящие от конвекцин энергии турбулентного движе>ая через границы области (т), Обращаясь к случаю сжимаемой жидкости, запишем уравнения движения, вводя вектор количества движения (с компонентами т = Рпх, Уи =- РО, т, = — РО,) И ПРИНИМаЯ ВО ВНИМаНИЕ УРаВНЕНИЕ неразрывности др+ дтх + дт, + дги, О дг дх ду дх в виде: = гоуг д,р х д д + д ( гг ох г) + д (тхе оутх) + д +да( хх д е от) .
е х ду др Ду Р У д д + — (т, — и т )+ — (т — о т )+ У» х У Ду УУ У У д +д— , (т„ +д (тех Охте)+ д ('ху Оугие)+ д д д +д,(ех дтч дг — о,т ) д дх дт, — о т) — — ='. дг дР+ дтх+ тч дт дт дт дх ду дх Выпишем первое из уравнений движения: — +д ( ~хл )+д (х )+ йд теоретте кие гикуоиешиике, ч Произведем теперь над правыми и левыми частями всех четырех уравнений сглаживание с одной и той же сглаживающей функцией (например, осреднение в одном и тои же интервале), удовлетворяющее трам перечисленным выше условиям. Уравнение неразрывности даст, на основании условий 1 и 2: шл.
гп ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 698 Обратим внимание на выражения типа о,т . Имеем; о,т„= (о + о'„) ( т + т) = о„т„-)- о„т„'+ о,иг, + о',т,' плн, вследствие свойств 3: о„т„= о„т,-! о,'яг,'. Если пульсациями плотности можно пренебречь (р'= 0) р = р (это, по-видимому, имеет место в атмосферных движениях), то для добавочных напряжений мы получим те же выражения, что и в случае несжимаемой жидкости; е самом деле, здесь т» Рог р х 'ог ;т. '= о;( .
— лг.) = о.'р (о- — о.) = ро'„'. Построив уравнения дтя средних величин, мы сталкиваемся с дилеммой, либо поставить шесть новых велггчнгв — лобавочные напряжения — в зависимость о" старых величии о„, о, о,, р, р, либо, считая эти шесть величин за независимые новые функции (новый симметрический тензор), построить какие-то новые уравнения, ибо теперь осрелнбнных уравнений движения и неразрывности, очевидно, булет недостаточно. ф 6.
Характеристики турбулентности. Богатейший эмпирический материал последних лет явился основой развития полуэмпирических, полутеоретических методов нахождения добавочных напряжений череа средние аначения скоростей. С некоторыми изысканиями, сюда относящимцсяг лгы познакомимся в следующем параграфе. Т(то касается присоединения новых уравнений к системе осредненных уравнений гидродинамики, то здесь наиболее совершенная постановка вопроса принадлежала Келлеру и Фридману ').
Идея заключалась в присоединении к величинам о, о, о„ р, р (для общего случая сжимаемой жидкости) в качестве искомых функций 15 дальнейших «характеристик» турбулентности, вводимых пол названием «згоментоа связи» н являюгцихся обобщением рейнольдсовских добавочных напряжений. Моменты связи строятся после того, как введены «норреляиионные моменглы», Под последними понимают выражения вида Й(гг, 1в)=(!)в — )г)в (поскольку равенство у,(в=)гув выполняется лишь приближенно, гс(уьгз) лишь приблплгенно будет равно /,гв), гле Уг и гв — какие-либо гидродинамические элементы; залав теперь произвольные приращения + с, з тн +" координат х, у, е, ') См, работу К ела ер Л., (!еЬег дге Апбаейппй е!пев Бувгегпв уоп Спага!аеггвикеп г(ег ачповр!гагысйеп ТпгЬп!епз, Изз.
гл, Физ. Обсерватории, !925. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 4 а1 определиь! момент связи (уг, 72) для двух каких-либо функций У! И Ут В ВИДЕ (У! 12) Й (г!(х ( У т) Я 5 !) Уз(х+~ У+ ч' Я+" Таким образом, моменты связи суть функции времени, координат и трех добавочных переменных '). Легко видеть, что придатся рассмотреть пятнадцать моментов связи для случая сжимаемой жидкости, или десять для несжимаемой жидкости. В работе Кармана, а затем в работе Кармана и Хауэрса 2) и одновременно в работах Миллионщикова и Лойцянского з) решение получаемой таким образом системы уравнений доведено до конца в одном весьма частном случае турбулентного движения — в случае так называемой однородной и изотропной турбулентности. Последнее понятие было расширено Колмогоровым, который ввЕл в рассмотрение «локально однородную» и «локально изотропную» турбулентность. Изложение первых результатов, касающихся этих частных видов турбулентности так же, как и соответствующего аппарата исследования турбулентности, можно найти в монографии Обухова А.
М. «Приложение методов статистического описания непрерывных процессов и полей к теории атмосферной турбулентности», Диссертация, Москва, 1947 г. Ричардсон н Тейлор ') пришли совсем нз других соображений к рассмотрению моментов связи для рааличных гидродинамических элементов. Мы ещй вернемся к этим работам, а сейчас остановимся на вопросе о сопровождающем турбулентность перемешивании. Рейнольдс ввел в качестве «характеристик» турбулентности шесть компонентов тензора добавочных напряжений; Ричардсон, Шмидт и Тейлор вводят в рассмотрение лагранжевы переменные, Это дайт возможность следить за конечным перемещением индиви- ') При построении дополнительных урзвнений приходится воспользоваться новой гипотезой, касающейся осредиений, применительно к необходимости осреднять произведения уже не двух, а трех функций.
Эта новая гипотеза сводится к приближенному соотношению у,у уз = О, где, как и прежде, г У! =- У! — У! и т. д. После того, как система уравнений построена, надлежит еща проверять независимость отдельных уравнений системы. 2) К а г гп а и апй Н о ж а г ! Ь. Оп !Ье з!аг!з!!са1 ТЬеогу о1 !зо!гор1с ТигЬн1епсе Ргос. Роу. Яос, 164, (1938) 1чь 917, стр. 192 — 2!5. ') Милл ион щи коз М. Л., Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкоя несжимаемой жидкости. ДАН СССР, 26 (1939), 742 5, стр. 236--240; Л. Г. Лойцянский. Некоторые основные закономерности изотропного турбулентного потока, Труды 1)АГИ, 1чь 440, 1939.
См, также Седов Л. Н., Методы подобия и размерностей в механике, Гостехиздат, 1957. ') 9!с Ьагдзоп, А1гпозриег!с гйбиз!оп оп а мимансе пе!9ЬЬоиг КгарЬ., Ргос. йоу. Яос. 1,опйоп (А), 1!О (1926), стр. 729 — 757. Т а у! о г О., 1)!Йизгоп Ьу соп!!пном шоитешепбь Ргос.
1.опй. Маиь Вос. (2), 20, 1921. 45* ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ (гл. Н1 700 д) а тьных частичек и, таким образом, позволяет ближе полойтн к изображению процесса «перемешивания» (Анз(апзсИ, Сонг(цс((У((у). Вывелем уравнение перемешивания какой-либо субстанции, расположенной в среде, находящейся в турбулентном движении. Вместе с Тейлором и Шмилтом ограничимся рассмотрением перемешивания только в одном направлении (назовем его я), Относительно субстанции, подверженной перемешиванию, предположим, что она: 1) неуничтожима, т. е. сохраняется в некотором элементарном объеме жидкости, пока тот движется, не смешиваясь с другими; 2) сохраняется при смешении двух масс.
Обозначим количество субстзнции в единице массы жидкости через з. Под самой субстанцией можем разуметь либо какую-нибудь примесь к жидкости (пыль, например), либо какую-нибудь физическую характеристику самой жилкости (например, ез количество движения в направлении, перпендикулярном к оси г, запас ез тепловой энергии). Прелположим еще, что субстанция распределена приблизительно равномерно в направлении оси, перпендикулярной к оси з (например, х и у), ио равномерность эта имеет статистический характер; именно, выбрав лостзточно большую площадь, перпендикулярную к оси е, и осреднив з по этой площади, получим уже величину, не зависящую от положения центра выбранной площади (не зависящую от х и у): з(х у е г)=а(я Т).
Введем затем плотность субстанции а = рз(р — плотность жилкости) — количество субстанции в елинице объема. Естественно теперь принять, что средний поток субстанции через плоскость г = сопШ, оудет пропорционален проекции градиента о на ось г; пусть это будет дч — м —, дл ' где л — некоторый положительный коэффициент пропорциональности (еслн бы было е ( О, то мы имели бы дело не с рассеиванием, а с концентрацией субстанции).
Сравнивая поток субстанции на уровнях е и е +г(я, находим прирост субстанции за единицу времени: (6.1) Мы видим, таким образом, что плотность субстанции удовлетворяет, независимо от механизма турбулентного перемешивання, дпф- ') На основании второго постулата а не теряется н не появляемся в элементе д: само по себе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
