Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Иначе говоря, такая существенная величина, как скорость расширения «лиффундирующего» в турбулентной среде облака, будет меняться по мере того, как облако булет «жить», ибо «живя», облако всв время увеличивается в размерах и, слеловательно, попадает в сферу влияния вса новых и новых вихрей. Ричарлсон предложил учитывать этот эффект, полагая й функцией диаметра области, и получил на основании эмпирических данных следующую зависимость: где с( — диаметр области, с — постоянная. Эта зависимость была теоретически обоснована А. М. Обуховым в работе: «О распределении энергии в спектре турбулентного потока» г), ') Изв.
ЛН СССР, Серия геогр. и геофиз, 1941, 4 — 5, 1гл. И1 ЭЛЕЫЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТ1РЗСТН Мы рассматривали случай перемешивания, происходящего в олпом направлении. В общем случае вместо величины )с ич (6А) нам придется ввести «тензор рассеивания». Именно, вводя «исхолные» координаты а, (р, с частиц (координаты в момент го) и коорлинаты х, у, з этих же частиц в момент с, можем построить шесть величин; (л — а) (х — а) (х — а) (у — а) )с хх 2 (С Ср) кУ = 2 (à — Ср) )с (х — с) (х — с) 2 (с — гр) (с этой точки зрения наше (с равно (с„); аналогично этому можно получить: (х — а) (х — а) (х — с)' А-=Р 2(с ) — ..., А-=Р2(с — с) ' Тензор с компонентами Ах„, ., ., А„прелставляет обобщение введанного Рейнольдсом тензора добавочных напряжсннй н впервые введен Келлером ').
В. ДОБАВОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ В 7. Путь перемешиваиия и метод подобия. В этом разделе мы приведем вывод нескольких наиболее важных формул, свяаывающих добавочные напряжения со средними значениями гидродипамических элементов, а также дадим некоторые приложения этих формул, Мы начнйм при этом с ввеланного Прандтлем понятия «пути перемешнвания». Представим себе плоское турбулентное движение, которое происходит в среднем в направлении осн х и в котором средняя скорость и, существенным образом зависит лишь от координаты у. Наиболее существенным из добавочных напряжений является здесь Р = — Рп'и'. Чтобы представить его выражение иначе, Пранлтль ху х у вводит некую характерную длину — <путь перемешивания», играющую ту же роль, что и путь пробега молекулы в кинетической теории газов.
Если обозначить через К различные пути перемешивания, т. е. различные расстояния от той точки М, где мы вычисляем величины и'~', до тех точек, из которых приходят в точку М различные частицы жидкости (например, если говорить об осреднении по времени), то частицы, приходящие со скоростями и', будут иметь ско- У' ') См. об ртом Келлер Л., )ос. сц. путь пкввмсшцвлння и мгтод подовия 707 рости о, равные о + à — '. Но тогла Х' к ду о,=1 —, , де, ду ' и добавочное напряжение Р„ = — рп,' о' будет Р = — рп'1' — " ').
ку у Лу (7.1) 1= л(р, о„, пк), где — нее г дуа Введем новые елиницы длины, времени и массы соответствьнно в 1., Т, М раз ббльшие старых единиц. Тогда, обозначая численные значения всех рассматриваемых величин в новой системе единиц через ро о„, ... соответственно, будем иметгм дон 1 «Кч ~Во„) ~Рт~,, 1=71н Р= — 1-Зйн а"=-Т Л."'-, — 2= — ТС вЂ”", Поэтому наша предполагаемая зависимость примет впд: ~1з ' Т Лу, ' Тг.
Л~', ~) Выражение — ГэЧ' имеет размерность Н н аналогично этому коэффициенту. Ср. также с мерой обмена, введенной в предыдущем параграфе. Введйм затем среднее значение абсолютных величин (1' ~ и назовем его 1. Предположим вместе с Карманом, что внутренний механизм турбулентности во всех местах жидкости имеет один и тот же характер н может отличаться только масштабами длины и времени. Иначе говоря, мы предположим, и это — основная гипотеза Кармана, что турбулентные движения в различных частях жилкости межлу собой подобны.
Если нам было бы известно, от каких гилролинамических элементов зависит величина 1, мы могли бы теперь, пользуясь соображениями, изложенными в главе второй, пытаться найти вид зависимости 1 от этих элементов. Предположим же, и в этом заключается вторая гипотеза Кармана, что в выражение для 1 не входят третьи произволные от о,. по у, так что 1 может зависеть от р, ггпу,/ггу, пэо фут (мы исключаем возможность зависимости от о„, ибо, прибавляя ко, всюду постоянное число, мы, очевидно, не изменим картины явления). Итак, пусть 708 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ !Тл. ц! С другой стороны, должно быть в новой системе единиц: так что (мы отбросим значок «!») /М 1 — ' 1 г(ЕНР т" ЕТ "~=Ег(Р, —..х,.-,).
М 1 в'Рх В этом тождестве положим —,= —, Т=- —;, ЕТ=О; тогда полуЕз чим равенство Л(Р, о„о ) = — Л (1, 1, 1) = — " сопш. ! Еах 7 ЗТ РХ Таким образом, х ИЗ'з. / Д РХ ду пуз (7.2) где л есть постоянная, каковую надлежит определить из эмпирических данных. Зная выражение для 1, без всякого труда найдем выражение для Р . Считаем, что последнее может быть функцией от Е Р, о,, ох: Р.ху = х (Р' 1' Ох' Ох) Тогда введзм ЕТ~ (") = М'х (-„-,—;;) =7Š— "„';, так что М ТМ 1 — ' 1 Ет (Р у) =л (У~~ 1 С другой стороны, (~ ху)!=С(Р! 1! о 2 охл) и, следовательно (отбрасываем значки): тМ 1 — ' 1 — "'з М л (ЕзР Е1 т Ох Еуох)= Еуз гх(Р 1 ох* ох) Наконец, полагая М ! 1 Р— — —, Е= —, т=и„ мы придем к соотношению л'(Р 1 о и ) Р12озр ! ! 1 1 х о / а з1 ПРИМЕРЫ 709 Но вследствие (7.2) — = сопз1., вх и мы приходим к важной формуле Р.,=р( ~д") ).
(7.3) формула (7,3) была установлена впервые Прандтлем, который, исходя нз выражения (3,1), нашел ~о — 1~ Р/ф~, Пользуясь (7.2), можем переписать (7.3) в виде: (7,4) ~) Мы положнлн Р(1, 1, 1, а) = 1; это можно сделать, выбирая 1 должным образом. 4 =йр —" ах ф 8. Примеры. Формулу (7.4) применим к изучению турбулентного движения между двумя гладкими параллельными стенками (у = О, у= — 2д). Напишем теперь уравнения (5.!) для осредненного движе- ния, считая, что средние напряжения, так же как и о, зависят лишь от у и что сила отсутствует, а о =О. Получим, очевидно: дР дРху дл. ду откуда заключаем, что в нашем движении Рх есть линейная функ- ция от у.
Вместе с Карманом положим, что при О (у(д „=т,(1 — ~'), считая, что Р„обращается в нуль на середине расстояния 2с( между стенками, а при д ( у(2д Р = — та11 — — ), у' ху — а1 где та — добавочное напряжение около самой стенки (точнее на гра- нице ламинарного пограничного слоя, имеющегося внутри нашего турбулентного слои). Но тогда (7.4) даст нам дифференциальное уравнение второго порядка, иа коего можно найти ох(у)." 710 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ !ГЛ. Н! или откуда — — =.' 1/ ' 1/ л —: — = 'Р 1/ — 2~И 1/ ! — — + сопз1. Полагая сопя!.=-2йд ак — (при у=0, ох=со), получим: ГР а 1 'а а 2л: ! — ф~ 1 —— к! (выбираем знак минус, чтобы о убывало с возрастанием у), интеха грнруя еща раз, придем, в предположении, что о (4)=ох,„ак, к формуле Кармана: Рх каак Ох '~"( '- --)-' '-1 (8.1) ох ааак ох! = —.= — ~! — — 1).
'( (8.2) Формула (8.1) Кармана дает, как мы уже отмечали, хорошее совпадение с данными эксперимента. На рис. !97 изображена кривая (8.1). Граница между областью, где зта формула применима, и пограничной областью, где даат себя знать вязкость («ламинарный подслойъ), в определяется значением у =- ун при котором д 0,5 ах о .= о, = †' у, (внутри ламинарного слоя скоРнс. !97. рость считаем меняющейся по линейному закону, причйм там те=рдох!ду).
Если бы мы знали величину те, то, вставляя значение о = о, в левую часть (8.1) и значение у= у, в правую часть, мы нашли бы, при данном о „„„, ун т. е. толщину ламинарного пограничного слоя, погружйнного в наш турбулентный слой, при атом (8.1), поскольку речь идет о точкзх, лежащих очень близко от стенки (у — 0), можно заменить приближенным равенством 711 ПР!!МЕРЫ Наша формула связывает три величины о,„, т, и уг Прандтль') предлагает далее принять, что так как слои жидкости, в которых проявляется трение, должны быть одинаковы, то ох, должно быть оо кратным 1г —, т.
е. Р (8.2') тх! и а где !3 есть уже некоторая постоянная, каковую надо найти раз навсегда из эксперимента. Но тогда (3.6) даст: ~уг о ~р+ 1 ~1 Рог 1) ~ причты! здесь у, = — о ! — — )! 'оо хо Введем теперь вместо ох,„и то !<коэффициент сопротивления» Лаи отнесенный к максимальной скорости о 4оо Л,„= Рех о!ах и число Рейиольдса Й, отвечзюшее ох !оах! р вх ма» о! о Мы получим тогда, влоесто (8.2), после простых преобразований; 4яа Ип й 3/Л + с)2 ' где С == )о9 -- 1 — )п ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
