Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 105
Текст из файла (страница 105)
193. раметр на кажлой кривой а). Точки пересечения этих кривых дадут «совместные» значения г и х, а так как с при этом известно, то по (Зд51) может быть найдено 1ч. Толлмиен рассматривает профиль (7(у), состоящий из') прямой (7 = 1,68т) от т1 = 0 до л = 0,175, 11араболы су = 1 †(1,015 — т)з от л = 0,175 до т; = 1,015, прямой (7 = 1 при т)) 1,015 т)=уу8. На рис. 193 изображены кривые Е(с, а) лля этого случая. Там же дана кривая Р (з) з) (по Толлмиену). 1 ) На рис. 194 изображена да линия, отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости; здесь по ! оси абсцисс отложены (7 8")ж а по оси орлинат а8*, причем а,' 8"=0,8418, гле 8 — толщина 6' 1Ф йи йй 1П' йб !П' Ю' гае йй и по~ раничного слоя, введеннОгО Рнс.
194. ') Этот профиль поднравляется около стенки, а также нрн рассмотрении критического места Ч = Чь, при э1он прщшмаются в расчет формулы Б л а з и у с а. т) Ленные рисунка и таблицы для Р веско,ьло расхода~ел. Таозицы— точнее. ЭЛЕМЕНТЫ ТБОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ (гл. Иа ЕЛ2 выше. Кривая зависимости между я н Я показывает, что прн Я < 420 возмущение будет затухать. Линь вместо громоздкого графического способа решения развивает метод, годящийся для любого профиля скоростей и основанный на представлении левых частей (3.52) при помощи рядов (3.19), 13.20).
Попутно Линю удается дать ряд обших теорем, касаюшнхся поведения нейтраль)юй (4 кривой при очень боль(л ших значениях гс. Так, например, Линь показывает, что нейтрзльная криза вая с, (а, )т) = 0 имеет две йя зсимптоты при гс -+ =О, ч причем эти две аспмптоты сливаются в одну (а = О), когда основной профиль ,) дл )дт л,) гелрл скоростей не имеет точки перегиба, но эти две Рис. !95. асимптоты различны (одна нз них отвечает а = О, другая — я=за Ф О), когда профиль основного потока имеет точку переглбз.
Линь дает также приближенные правила подсчета минимальных значений критического числа Я. Отсылая ва подробностями к статье Линя, дадим без вывода эти последние правила. Прежде всего надо найти значение у, из уравнения ,и (а)(а — а с(а)ь ~ с(Е)с'(ь) () (ус) ! (Г (уа) (оно решается графически). Надо затеи вспомнить, что по определению у, и с: с = О(у,) и найти по у, соответствующие значения с. Минимальное критическое число гт,„(„ найдется по Линю в виде: для случая 1 1 (г'(о) )' (г (у) лу 3Обп (О) й(= а((а Са с для случая П 25()' (О) На рис.
193, заимствованном нз статьи Линя, дана кривая ней- тральной устойчивости для случая движения между двумя неподвиж- УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСИ!НКАМИ Э 31 нымн нлоскостямп. Здесь О = 2У вЂ” Уэ. Я„„е -6314. Две ветви этой кривой при больших гт даются уравнениями г! ! Я' =8,44(е') " и йз =5,96(пэ) Г)а рис. 196, также взятом у Линя, мы даем кривую нсйтраль!!ой устойчивости лля случая Блазиуса !обтекание пластинки). Линь выбирав! профиль 77 в виде: и =2у — Зу!, а толщину пограничного Здесь Линь получает з виде: К.= 2,2 10 эя 'е, гт=0,0622е ". Пу~ем очень тонких ное сравнение теории с бгу се.
б', б' Р 600 УОбг ЛИ .ЧИ ба В Рис. !96. термопар Шубауэр н Скрэмстэд з) измерили пульсации скоростей в сачом пограничном слое. На рнс. 196 нарялу с теоретической кривой / ') Ср. стр. э74, где принято В = 5,2 17 17 !) ВсиеЬаиег апа 8Кгза э!ае, Ьаге!Ваг Воапдагу Ьауег Озм!!з. !опз зпд 5!аЬы!у о1 1.апипаг Г!Ои, 1, Аегопап!1са! Вс, !4, 1947, и 2. а,~ д,б а,у 1у,еэ ау слоя определяет по формуле ') 6= 6~à — '.
Я ,„ = 420 и асимптотические ветви кривой измерений удалось получить количественэкспсричентом. При помощи специальных э.<сх!енгы теоени тунвг;<ьн<носг!. <н Линя нанесены (точкамп) некоторые знзчения гт и а для «нейтральных» точек, получеш<ые экспериментально. Совпадение следует признать хорошим. Г!отерю устойчивости пограничного слоя в неолноролноп (хо<я несжимаемой) жидкости исследовал Шлихтинг. Написав уравнение движения в виде <<а лг = — РР-г-Р л""+ Ж уравнение неразрывности и условие песжимаемостн в вил из дз <)1!'о =- О, — '= — ' ' о Рр — = О. «г дг Шлихтинг обрашается и плоской валли! :прелполагает что нз основное движение и-= его(у) о, -=О Р= Ре(у) р=.ре(уь (Р„= — О, Р',;= — — д) на клады ваю<ся малые колебания типа о„(у) е'<сы -ао, ог (у) е! <ч'-<ч!..., Р, (У) е<!""-а".
В качестве Ре(У) Шлихтинг беРет затем фУнкш<ю тх ре(у) =-ре<е т', гле О ч. у=сопя!. и принимает э= — =сопя!. Ро Если ввести затем. как это мы уже сделалн при рассмотрении погрзшшного слоя в несжимаемой жидкости, безразмерные величины а такя<е К= "(а ~=е;, ('т то для определения функции / (множитель при е'<жг "'! в уравнении функции тока й'= Ге<<я<-еи накладываемых колебаний) получится слелующее уравнение, являю<цееся непосредственным обобщением уравнения (3,11); (и .)'(у' "у) — (и — с)и7+«1 — у.(и —.)((и с)г () )= — — — [ Г" — 2зя Г" -! — х< г — ~ (у'"' язв')) Ю Шлихчинг лает приближепньй анализ этого урзвпенпя, отыскивая решение его в виде .Г = Уе+ КУ'"'+ )-.Г'" -' " н ограничиваясь первыми степенями К и О (К и Е значительно меньше единицы п здесь у', пр;дставля< г решение Толлчиена.
Анализ устойчивосзи проводится <оаершенно аналопгчно то!<, как это делается бйб УСТОПЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЬТКДГ ПЛЛСТИНКЛМИ в случае несжимаемой жидкости (отыскание решения при т)((1, исследование особенности 11 = с и т. д.); однако теперь надо отыскать целых два семейства кривых, отделяющих области устойчивости и неустойчивости (даюшнх связь между я и ГС) в зависимости от значений, которые мы дадим двум параметрам К н т'.. Заметим. что в то время как кривые, нзображвнные на рнс. 196, уходят на бесконечность, здесь могут оказаться слу !ан, когда область неустойчивости будет ограничена замкнутой, находящейся на конечном расстоянии кривой.
За подробностями отсылаем к цнтырованной работе Шлихтинга. В качестве примера на определение неустойчивости сжиза мой жидкости покажем как получается потеря устойчивости в находяш~йся в равновесии атмосфере. Г!усть воздух, рассматриваемый как идеальная жидкость, находится в равновесии под действием силы тяжести и при наличии линейного падения температуры с высотой Т= ҄— (г (Т =сопя!., 0 < ! =.-сопя(.) (начало координат — на поверхности земли, ось г смотрит вертикально вверх). Пусть в этой среде поднимается частичка воздуха (адиабатически) и притом так, что давление ее (р) в каждый момент поднятия равно давлению р окружающей среды. Последнее зависит от закона падения температуры с высотой, ибо, вследствие равновесия, мы имеем рй л'л ' РТ так что (Ть — Тл) ~т р=А- ТО где А = сопя!.
Обозначим температуру нашей частицы через Т. Тогда, на основании адиабатнчности ее дви!!ген|!я, где Т, и рв — исходные температура и давлеюш частицы; таким образом, как только частица достигнет высоты з, она получит температуру Изменение температуры прн подъеме будет поэтому таково, что в — ! к — ! в ге с(!нТ= ' с(!пп= — —— в и /С ? х Д 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1гл. хн 686 г — 1 и Величина к ХХ вЂ” называется в метеорологии здиабатическим градиентом к обозначается буквой х — 1 е )а я ТХ Таким образом мы получим: Ха Установив это, предположим теперь, что частица имела в исходном положении ту же температуру Т,= Те, что и соседние, но пол>чила вертикальный сдвиг.
Частица начнет двигаться, причем еа уравнения движения будут иметь вид (лагранжевы координаты): гХХ2 Но, по предположению, . — = — — — = — —. ер; поэтому гХ/3 гХО ггг Иг хтаг р р — р т — т — Аг + Аг — а — — аа а'Ха р '; т или, вследствае Установленного длЯ Т выРажениЯ ТТБ-— — Т 1: ! т1.) —,'-' Предположим сперва, что Т < „.
Пусть тогда масса получает сдвиг вверх; прн этом она попадает в область таких значений г, для которых ТХЕ) < Те, н так как б>дет Тах> — 1 > О, то х)тг)хХХт< О, и масса будет стремиться опуститься. Если же масса получит сдвиг вниз 1Т) Те), то хХзг)хХХт) О, и масса будет стремиться подняться. Воздух будет нахолцться в устойчивом равновесии, Напротив, если будет , ) Т, («сверхадиабатический градиент»), то при подъеме ХТ< Тз) будет храехххХХа) О, при опускании ХТ Те)схяг/хХХТ< О, т. е.
частица будет продолжать двигаться вверх или внхи. Равновесие чеустойчиво и может начать развиваться турбулентность' ). Б. РАЗВИТАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ф 4. Сглаживание. Три основных признака характеризуют так называемое турбулентное движение: во-первых, большая пестрота и быстрая изменяемость поля скоростей, во-вторых, неупорядоченность '] Более |очные исследования можно найти в книге: К о ч н н Н. Е. н Н з в е к ов Б. И., динамическая метеорология, ч. 1, 1935.
$41 СГЛАЖИВАНИЕ 687 в смене скоростей н, в-третьих, сопровождающее эту смену перемешивание жидких частичек. Структура развитого турбулентного потока весьма сложна, и траектории его жидких частнчек чрезвычайно запутаны; если движение частиц турбулентного потока и удовлетворяет >равненшоНавье— Стокса нли Эйлера, то для описания этих движений потребовались бы, очевидно, интегралы уравнений, настолько сложные, что отыскание нх было бы по безнадЕжности равносильно отысканию траекторий каждой отдельной молекулы, движущейся среди других молекул'). Сказанное здесь заставляет, на первых порах, отказаться от возможности получить точную математическую картину того, что происходит в каждый момент времени и в каждой точке пространства в турбулентном движении.
Вместо этого приходится обратиться к суммарно статистическому описанию явления. Нужно построить сглаженную картину того, что происходит в турбулентном процессе, — построить уравнения для сглаженного, осредненного поля скоростей, для средних давлений, для средних траекторий. Чтобы ксгладить» какую-либо функцию У(х) одного аргумента з), выбирают обычно сглаживающую функцию ю(с), которая удовлетворяла бы условию л ю (~) Д = 1, Сглаженная функция ~(х) получается затем по формуле ') Здесь может возникнуть сомнение: можно ли вообще представлять скорость в турбулентном движении как некоторую непрерывную функцию координат и времени? «Обладает ли ветер скоростьюул задает вопрос один из создателей теовин турбулентности Р и ч а р д с о н (к1сйагдзоп). Можно ли представлять скорость частицы турбулентного движения как предел отношения элемента Дх граекгории частицы к элементу времени ДГ7 741ожет быть, стилизовать траектор4но в турбулентном движении мы должны будем, беря в качестве закона лвкжеввя непрерывную функцию, ни в одной точке не имеющую производной по времени, вроде известной функции Вейерштрасса: л х — — ЛГ+ У ( — ) соэ(бллт).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
