Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Имеем: (А +. ~ ) г (й ) =,'~, Т. А (1, ). г=1 (2.8) ~~~~ й а У~(А г) =О. т=1 где коэффициенты о Т~~ = )) / «(А + а ) У1(йтг) ~1 Ф г)г(г', Н вЂ” ( гте(ь г) йг могут быть вычислены, если известны лт Мы можем теперь вставить (2.7) и (2.8) в (2.5) и приравнять коэффициенты при одинаковых Л1(А г). Получим после простых преобразований: Ло ~2а(Атгз)се+Хе(й г1)с11+ ~", (й +Л )()1 +Л)а + +,,1 а1+, аз+ ° ° ° 1 = О (2 9) «,+Л * Ее+ Л' Придавая ш разные значения, получим систему бесконечно большого числа однородных линейных алгебраических уравнений для определения с', с,', ан а, ...
Прибавим еше сюда неиспользованные условия обращения из при г=г, и г=ге в нуль. Для этого заметим, что по уравнению неразрывности, обращение из в нуль экви. валентно равенству: — + =О, т. е. (см. выше) и, Ли, г и'г э й УСТОИЧИВОСть ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ 665 Итак, имеем ещЕ два условия: лько!лгг!)и!+Втлз1йзг!) аз+ ° .. =О, (2.10) Я!лэ(дггя) а!+ ляле!ляля) "я+ ° ° ° = О. Бесконечная система (2.9) и (2.10) и должна служить для определения с', с,', аи аз, ... Приравнивая еЕ определитель нулю, мы получим то, что мы ставили себе целью получить — вековое уравнение, связывающее при данных ын ым г, н гя величины р и )' (вернее ), и ).'=1/')я+Р/ч). Тейлор дал детальный анализ этого векового уравнения, причйм, ввиду чрезвычайных вычислительных трудностей, ограничился слу- г, + т, чаем, когда гт — П мало по сравнению с 2 .
Отсылая за деталями к цитированным выше работам Тейлора, в которых имеются так!ке и результаты экспериментальной проверки, укажем на главнейшие выводы. Анализ показывает, что если цилиндры вращаются в одну и ту же сторону, то при ы!г! (ы г~ всегда будет иметься устойчивость. Элементарный критерий этот неприменим, если вращение происходит в противоположных направлениях. На рис. 190 -гад -дю -дйг -юв -я !г дг и гда гсгг Рнс.
!90. дана кривая, представляющая по Тейлору границу устойчивости. По горизонтальной оси отложены здесь значения ы,)>, по вертикальной и!)ж причем взято г, = 3,55 слг. г = 4,035 см, так что (гягг!)я = 1,292 (ниже прямой ын мз = 1,292 — всегда имеет место устойчивость). Интересно отметить, что в случае, когда вращение происходит в разных направлениях (!я, ( 0), значение ыц начиная от которого будет иметь место неустойчивость. должно быть больше, чем то, после которого будет неустойчивость при ыя= О. На рис.
1 91 приведено сравнение данных теории н эксперимента ЭЛЕМЕНТЪ| ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1гл. и! Если оба цилиндра вращаются одинаковым образом, потеря устойчивости проявится в возникновении рядов вихрей в плоскости меридиана, имеющих чередующиеся противоположные вращения и занимаю|цих все пространство между цилиндрами (рис.
191). Зкспериментально можно обнаружить возникновение этих вихрей, помещая вдоль внутреннего цилиндра тонкий слой окрашенной жидкости; краска эта, когда возникают вихри, располагается по кольцам, окружающим вихревые области (рис. 191). Если цилиндры вращаются в противоположные стороны, образуются два ряда вихрей; нз ннх один соприкасается с внешним, Рис. 192. Риг. 19!. а другой с внутренним целиндром (рнс. 192). При этом краска распределяется как показано на рисунке. Как качественно, так и количественно теория Тейлора даат поразительное совпадение с опытом, Сайндж (8упее)') в 1938 г. привел задачу Тейлора к уравнениям значительно более простого вида и показал, что критерий устойчивости еггг! < егаг, '(при м! и егя одинакового знака) будет справедлив г, + гг не только, когда га†г, мало по сравнению с 2 , но и в общем случае.
й 8. Устойчивость течения между пластинками и устойчивость в пограничном слое. Перейлем теперь к исследованию устойчивости других движений. г'1ы остановимся на движениях ') 8упее 9., Оп гье 81аьипу о1 а )г!асора е!Ли!й ьегчгееп гога!!пй соа. х!а! Су1!вбегя, Ргос. Йоу. 8ос, (А), Ьопг)оп, 167 (1938), М 929, стр 250 — 256.
% з! зстопчнвость течения мгжлх пластинками 667 между двуия неподвижными параллельными стенками') и на движениях в пограничном слое. Будем рассматривать эти задачи параллельно; первую из этих задач булем называть сокращенно случай 1, вто- рую — случай 11. Во всех случаях мы будем считать как лвижение, так и возмущение плоскимиз). функция тока ф плоского движения вязкой несжимаемой жидкости удовлетворяет, как мы знаем, уравнению (см.
гл. 11, 6 3); д дф длф, дф даф — Аф — — — + — ' — — Адф=о, д! дх ду ду дх где э — кинематнческий коэффициент вязкости. Наше движение мы, как и в случае, рассмотренном Тейлором, считаем разбитым иа два: основное, стационарное с функцией тока %: и бесконечное малое возмущение с функцией тока ф' ф(х, у, 1) =- Ф (х, у)+ ф'(х, у, г). (3.2) Таким образом скорости о и о представятся в виде: д~Г , д'Г о = — +о', о =-- — +о', х ду х' х дх где о' дф дф' к ду дх ' функция %' должна сама удовлетворять уравнению дэ1 д а|' д%' д Ь'Р— — + — — — эЬ Ы'= О. дх ду ду дх Заметив это, мы получим, полставляя (3.2) в (3.1), сохраняя линейные члены и отбрасывая члены второго порядка малости; д Ьф' дчг д Ьф' дф д Ь| ддй д Ьф' дф' д ЛЧ' дт дх д> дх ду ду дх ду дх В случае движения между двумя параллельными стенками 1Р не зависит от х (ось х направлена параллельно стенкам), а в случае пограничного слоя можно считать, как всегда, что производные от Ч" по х малы в сравнении с производнымп по у (ось х направлена вдоль границы).
Напротив, производные от возмущений ф' по х и у, конечно, будут иметь одинаковый порядок малости. Таким образом мы можем написать вместо предыдущего уравнения: д Ьф' + и(у) — и (у) — — Абф О, (3 3) ~) Движения между параллельными стенками, из которых одна неподвижна, а другая лвижется, исследуются аналогичным образом. э) 3Ч и!ге 1.
1.. (Ргос. Коу, 3ос., (опдоп А, !42 (1933) ), показал, что трехмерные возмущения того типа, который мы будем Рассматрива~ь, более устойчивы чем двухмерные, поэтому наиболее важные черты в проблеме потери устойчивости можно уловить, изучая двухмерную задачу, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1гл ~н где (у(у) — скорость основного потока, отвечающая тому значе. нию х (пусть это будет х= хе), в области которого мы изучаем устойчивость потока: (у ( д а (хо у) ду а (уа(у) — вторая производная от (у по у.
Решение уравнения (З.З) будем искать в виде: у (у) ег (аа-ы1 Для у получим, очевидно: ((У вЂ” — (уа — аеУ) — (У"У = — — (Учч — 2атУР+ ачУ). (3.4) а/ Величину а всегда будем считать действительной (рассматриваем волны длины 2к)а вдоль оси х); величина Ь может быть комптексной: Ь=Ь,+гдн Если будет И, < О, ф' будет затухать во времени, и движение будет устойчиво; при Иг ) О движение неустойчиво; д; = 0 дает нейтральный случай. Наше уравнение (3.4) — четвертого порядка и мы должны решать его при четырех краевых условиях.
В случае 1, когда движение происходит между плоскостями у = О, у = 2И, нам надо поставить условия прилнпания к стенкам, т, е. (о', = тт' = Оу; у (О) = у'(О) = у (2И) = у' (2И) = О. (3.5) В случае 11, когда изучается устойчивость пограничного слоя, будем брать кроме условия прилипания к стенке У (0) = У' (0) = 0 (3.6) еще условие обращения решения вне пограничного слоя в решение для идеальной жидкости.
В идеальной жидкости ч = 0 и (уа = 0 и (3,4) переходит з уравнение у'а зу' О имеющее решением У = сопя(. е тат . Решение типа сопз1. еат мы должны отбросить как неограниченное на бесконечности: значит, должно быть У = сопз1. е-'У. Итак, если границей пограничного слоя будет у= И, мы должны потребовать выполнения условия У' (И) + аУ (И) = О. (3.7) Кроме того, мы должны потребовать ограниченности У на бесконечности. Для удобства решения задачи введзм безразмерные величины х, у, г, (у при помощи равенств х=дх, у=ду, 1= ц Г, (У=(У,„(У.
(ЗЗ) т УСТОИЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ Здесь )г — характерная длина — половина расстояния между пластинками в случае ! и толщина пограничного слоя в случае П; Сà — характерная скорость основного движения, за которую мы примем максимальную скорость в случае ! и скорость на границе пограничного слоя в случае П. Обозначим гад — =й.
ч Ь па=а; — =с, аи (3.9) Тогда ф' мы можем взять в виде )г (у) еы !х- б и уравнение (3.4) примет вид: (3.!О) ( аху г ггЧ5 Ь Г ггу дгу ((7 — с) (= — агУ) — — У = — — 2аг + „хУ), ~луг Луг аР Гуе дух (3.11) Краевыми условиями задачи будут: в случае ! У (О) = У' (О) = У (2) = у ' (2) = 0 (3.12) Р (с, а, 1ч) = О. Решая это уравнение относительно с, мы получим ') с = с(а, Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
