Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Часть Оя поверхности 5 вместе с той частью поверхности цилиндра, которая тянется в направлении отрицательной оси Ох, являются грзницами для вихревой области О, прелельного течения, во всей же остальной области течения, которую мы обозначим через Он вихри будут уже отсутствовать. Возвратимся теперь к плоскому течению. Вихрь Я имеет в этом случае всего одну составляюшую по оси е, которую мы обозначим через ь дву дву дх ду ПО условию (37.10) 0 не зависит от х и является функцией только От у, притом отличной от нуля только в области Вн Как мы видели, равенство (37,8) переходит в пределе при 1А -у 0 В равенство 137.10), имеющее место как внутри области Е>н так п 636 ДВИЖЕИИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1гл, И внутри области с)з.
Точно так же первое нз равенств (37.6) обра. тнтся в пределе при р — ьО в равенство дч р(У вЂ” — угад д = О, дх которое даст нам соотношения дд дп дог дл дог дх ' дк ду ' ду дх ' — =рУ вЂ” "= — рУ вЂ”, — =рУ вЂ”. (37.11) Мы видим, что — и — О суть гармонические сопряженные функ. ,Гу цни, так что — — (О = г'(Я), ету где а = х+ (у. Вводя обозначение я (е) = ~ г (е) ганг = а (х, у) + гф (х, у), будем, очевидно, иметь У(а) = — '.— 1 — ',, — дт дх ду' т.
е. во всей области течении имеем формулы: дх' У ду' дт (37.12) причйм функция ~я(х, у) есть решение уравнения Лапласа дхе дуя Что касается составляющей О, то в части 7), области течения, в которой вихри отсутствуют, мы можем, очевидно, принять, что дт гт.= —, дх' в области же Вз мы имеем из первого уравнения (37.1!): У+ (У)' ' ' х д + дт рассмотрим теперь, какому граничному условию должна удовлетворять функция О на передней части контура Си Для вывода этого условия удобнее рассматривать относительное движение жидкости относительно тела, которое получается, если на абсолютное движение наложить прямолинейное равномерное Движение вдоль отрицательной оси Ох со скоростью У, т.
е. дважение с составляющими скорости — У, 0; в результате проекции относительной скорости з зп Основные уРАВнения теОРии исчезА1Ошеп ВязкОсти 63? и лучатся равными ΄— (?, О, Заметим теперь, что при малых „ченпях р, т. е. при больших числах Рейнольдса, вдоль С, образ ется пограничный слой, толщина которого при гч — РОС стремится „ нулю. Внутри этого пограничного слоя будет происходить постепенный перехол касательной к контуру составляющей относительной с„орости от нуля до тех значений, которые эта составляющая имеет з потенпнзльном потоке; что же касается нормальной составляющей относительной скорости, то она при (ч †Рстремится к нулю, 31ожно поэтому ожидать, что при р-+О мы будем иметь на части контура С, следующее граничное условие: ΄ — — О на СР где о„з есть нормальная составляющая скорости относительного движения, т. е, ела=(΄— и)СОЗ(П,)+, „,(„) Пользуясь формулами (37.12) и (37.13), найдйм: дт дт д:г О„соз(п, х)+о соэ(п, у)= — соз(л, х)+ — соз(а, у)=— и, следовательно, граничное условие на С, мы можем написать следующим образом: дт д — — — (? соз(и, х) на С,, дл В дальнейшем мы будем под и понимать нзправление внешней нормали к контуру С.
Таким образом для части контура С, получилось то же самое граничное условие, которое имеет место для идеальной жидкости. На первый взгляд может показаться непонятным, что, исхоля из условия прилипания о =(?, О,=О на Сн (3?.! 4) мы, после предельного перехода р -РО, получили лишь одно граничное условие О соз(а )+ соз(а у) = (? соз(и х) на С (37 16) Здесь все дело заключается в том, что интегралы системы уравнений (37,6) при р -Р О стремятся к своим пределам неравномерно. Но, как известно, при неравномерной сходимости пределом последовательности непрерывнь:х функций может оказаться разрывная функивя, Приведем этому простой пример.
Пусть имеем функпню х' У(р, л)= Нт в' бда движении Вязкой жидкости 1гл, О зависяшую от параметра р. При всяком положительном р цня есть непрерывная функция от х, причем при х = 0 равенство г(р, о) = о. эта функмы имеем (37.16) прн (ь-+О Устремим теперь р к нулю. Если х ь О, то ясно, что мы булем иметь предельное равенство !нп г'(р, х) =- 1, х + О. е-+а С лругой стороны, из (37.16) ясно.
что !!гп 7(р, 0) = О. е.+ О Поэтому, вводя обозначение !!ю 7 (р, х) = Р (х), мы будем иметь с (0)=-0, 7'(х)=1 при х чь О, о дт У ду то условия (37.17) приводятся, во-первых, к условию для определения ~7 — =0 на Ся дт ду а, во-вторых, к условию для определения п(у): а(у) = (7 — ~-."— ) Таким образом предельная функция гч(х) имеет при к=О разрыв, Совершенно такие же обстоятельства имеют место и в рассматри- ваемом нами случае. Интегралы системы уравнений (37.6) удовле- творяют на контуре С, условиям (37.14).
Но когда мы совершим предельный перехол (ь-» О, то в пределе получатся такие функции, которые будут в точках контура С, терпеть разрыв. Для этих пре- дельных функций в точках самого контура С, будут выполняться граничные условия (37.14), но в бесконечно близких к контуру С! точках области 7), будет уже выполняться граничное условие (37.15), подобно тому как для функции гч(х) при положительном, но сколь угодно малом х мы получаем значение 1, а не О, Рассмотрим теперь граничные условия на задней части контура Ся и =(7, ну=О на С,, (37. 17) Так как в 0з мы имеем формулы: и„= — "+ а(у), дт ОснОВные уРАВнения теОРии исчезАющеп ВязкОсти 639 2 ЗП (ду)дх) означает значение функции дух в точке Мз копра Ст имеющей ааланную орлинату у (рпс.
186), Собирая все полученные результаты, мы приходим к следующим ф~рмулам, определяющим течение рассматриваемого нами типа: ОУ д-- в 0О дт О = — в7)2, дт У у (37.18) 3лесь Мз есть та точка контура Сз, которая имеет ту же ордк. нату у, что и точка М области 1)2, в которой определяется О„ (рис. 186). Функция г2(х, у) есть решение уравнения Лапласа д2т д2т — + — =О, дх2 ду' (37.! 9) дт дй дл ' ду — — ьО, — — ьО при ~г из+уз — эОО, Функция 27 определяется формулой: д=рУдх дт (37.
21) и следовательно, давление р определяется формулами (37. 22 На линиях К,Е, и К21, отделяющих область 7), от области 2)2, составляющая скорости О„и давление р терпят разрыв. Это обстоятельство сильно уменьшает значение полученного решения. Нужно обратить внимание также на то, что в основу выводя было положено лопущение о пренебрежимости вихрями, в то время как в полученном Решении вся область 7)2 оказалась заполненной вихрями. Переколи к пространственным течениям, мы рассмотрим только частный случай осесимметричного течения, причем будем пользоваться цилиндрическими координатами х, г, 0, Система уравнений (37,6) переходит в пределе при р -з.О в систему дв рУ вЂ” — дгадд=О; 6!Ус — — О.
д.е удовлетворяющее граничным условиям; д„ дт дл — "=Усов(и, х) на Сн ~ =0 на Са (3720) ду= Кроме того, должно выполняться егце очевилное условие на беско- нечности дВижение ВязкОН жидкости ~гл. и Так как мы считаем движение осесимметрнчным, то о~ — — О, а о, о к н д мокнут зависеть только от х и г, поэтому предыдущие уравнения принимают вид: дх дх ,оф — ~~=-о. ~ (37,23) дох + 1 д(гог) дх г дг Кроме того, мы должны записать еще условие отсутствия вихрей в области В;. дох до, — — — = О. дг дх Поэтому среднее из уравнений (37.23) дает нам, что д~у дох дг дг — =р(7 —" в В. Соединяя это равенство с первым из рзвенств (37.23) н замечая, что д определяется только с точностью до постоянной, легко выведем, что 7= еУох в Ви (37. 24) Но второе из уравнений системы (37.23) показывает, что во всей области течения существует функция о(х, г), такая, что д ° г д (37.25) а тогда последнее из уравнений системы (37.23) дает нам, что т.
е. что о удовлетворяет уравнению Лапласа Ь7=О. В области Ви вследствие равенств (37,24) и (37.25), мы имеем: о = — вВ. дт дх В области же В, на основании равенства (37.24) получим: о, (х, г) = ' — + а (г) в В,. дв (х, г) На основании первого из уравнений системы (37.23) во всей области течения дох дхт дх дхе ' РеАКЦа!Я пОтОКА ПА телО ! Ва! Установим теперь граничные условия. На передней части тела О! мы, аналогично условию (37,20) плоской задачи, получим условие: д„— — (усов(н, х) на 8!. дт На зздней же части Яа поверхности тела мы потребуем выполнения условий прилипания; в результате получим, во-первых, условие для определения функции р: да — ~=о л, д» и, во-вторых, формулу для определения функции а(»)! и («) = (7 — ( — ) где Ма есть точка поверхности За, имеющая заданную координату «.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
