Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Так, при (7/а =0,1 будем иметь Т =1,002Т, так что, если Т =273, Тм=273,005;если (7/а =1, Т=1,2Т (при Т =273' Т =827',6), если (7/а .=1О, Т =-21Т, (йри Т =273' 7 „=5733'). Конечно, при таких больших температурах едва ли можно пренебречь излучением пластинки и краевые условия надо, повидимому, взять в форме (35.!3), а не в виде (35.!2).
К этому вопросу мы ещй вернемся, а сейчас обратимся к анализу уравнения (35.32). Заметим, что в этой задаче температура на стенке Те, будет совпадать с температурой Т, адиабатически заторможенного потока. В самом деле, по уравнению Бернулли: — = — 1— Те х+1 — а„ х — 1 ЙОГРАиичный слои в сжимАемОЙ жидкОсти 615 а также безразмерную величину 77 и (35.42) Предположим, что ч зависит только от т: 6=6(т); тогда ат —.„,1 Г и д 2 к 'в(''" 2 Р . =и".'(2), (35.43) и если ввести еще с=В 72 —, '1' ' д%' дл ' ) и 12 (Г, 2Р ахеи(6) 72(1, 2) 72(1, Ч) 72 (1, е) И (В Ч) ив 21 аг и Вставим ешй в (35.39) — — = — — 2Г, перенесем все члены в одну д~2 ая " сторону, произведем сокращения и прнвтечем (35.6). Получим окон- чзтельно и2 2~я ! в+1 а2 Уравнение это по виду отличается от уравнения Блазиуса (32.7) ляшь наличием при ~" выражения в скобке, возведенного в степень и — 1.
Краевые условия для 6 те же, что и в случае Блазиуса. По (35.41) и (35.43) Г =- О, Г' = 01 при 2=0 при т=сО Г=1 /.— 1 и, 1' в+1 а, /.— ~ ~'(, .-1 е',,*) (35 45) (35. 46) В отличие от того, что имеет место в несжимаемой жидкости, скорость и на бесконечности входит в уравнение для ч, но, как мы увидим далее, вхождение это будет слабым. Однако величина и/а, будет весьма существенным образом входить в представления с и л через х и у.
Лля решения обыкновенного дифференциального уравнения (35 44) Дородницын вводит новую независимую переменную г и искомую функцию л из условий ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 1гл 1! Уравнение (35.44) даст нам по (35,46): так что по (35.45) получим, сокращая на чл; 2!+~ф/ — ' — ', — ~ =О. (35,47) Дифференцируя обе части этого равенства по а и замечая, что !Тб лб с' Да да / и — 1 1/ у ' — Г я+1 а„ ! (~/ ~ ! 5) Х(! !)1-л получим окончательно сРЛ 7 — =— !Тга (35. 48) (! «1)! -л Граничные условия для функции Л будут ~Ы прн а== Π— „=-О, (35.
49) /е — ! (/ при д = 1г — Л = О. Г л+1а, (35.50) ~~// ' 1 ! ~ (1 а)1-ла( ) (35.5 () По (36.45) / л+ ! а„ ч'= аг — — "г. я — 1 !/ (35. 52) , а1' Так как, далее, (л= — „=- — „".'=Г' „„и при ~=0 .=0 (ибо ч' (0) = 0), то 1 г = (~//,, ~ ~ а ) ), 1, (35.53) о Решение уравнения (35.48) при граничных условиях (35.49) и (35.51) проще всего получить, задавая сперва произвольное значение функции а при д= — О, назовем его ав, удовлетворяя условию (35.49) (задача Коши) и подбирая затем ае так, чтобы выполнялось условие (35,50). После того, как а(з) известно, легко найти все интересующие нас величины.
Именно, по (35.46) имеем: двнжвннв вязком жидкоспг 618 пл и для пластинки ширины Ь и длины 5 суммарное сопротивление, испытываемое как верхней, так и нижней сторонами, будет: с 1 к Введам коэффициент сопротивления с по формуле Ф' = с Г -- р „(7~, 1 где Р = 2Ы вЂ” плошадь обеих поверхностей пластинки. Так кзк по (35.5) а по (35.38) 7,+' — М ~ Х1 то мы получим после простых преобразований Наконец, введем еше число Рейнольдса Я из равенства гЛ.р нс причйм будем помнить, что по (35.7) р-=рв( т-,) получим окончательно На рис. 179 нанесены значения чл(0) в функции от величины (га — единственного параметра, от которого зависело решение «+! а, к — 1 для ч. Кривая начинается от значений ь" = 0,664, что отвечает числу Блазиуса (2ьл (О) = 1,828). ! эм ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСЕИ 619 На рнс.
!80, заимствованном из работы Дородницына, по вертикальной оси отложено — =ч', по горизонтальной оси отложено б' l и ; = — аг —, причйм кривая 1 дает профиль скоростей для не- =Ух У 000 адд 0 аг аг 00 Да а0 00 47 а0 00 10 ф(тее Рис. 179. сжимаемой жидкости (случай Блазиуса, ср. рис. 177), кривая 2 дает профиль скоростей при й4 = 3,05, когда в качестве абсцисс стоят не > и, /(7 ' у,;= ~/ — а 2т= — 1/ — . Зависимость о /У от т остается х почти неизменной при изменении числа Маха, даже бь —" и в сравнительно широких пределах; этого и следовало ожидать, ибо, как мы уже отмечали, вид уравнения (35,44) в переменных близок к аиду уравнения Блазиусз в переменных йа г дя чс гс На рис.
181 по вер- „' д й тикальной оси отложено (0 10 г0 Да о„.(У, по горизонтальной Рис. !ЗΠ— — Кривые дают резко различные профили скоростей для )'х ~' ч„ различных, значений числа Маха. На рис. 182 по одной оси отложено Т!Т., по другой снова у (г — это — кривые распределения температур в жидкости.
ах 1 о20 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ 1гл. и Для построения их достаточно было воспользоваться формулой, полу. чающейся сразу же из (35.36): =1+ 2 М'11 — ( — ") ~ и уже готовым графиком скоростей, Так решается задача обтекания пластинки, когда Р = 1 и когда теплоотдача отсутствует. бг бб л б эг хбгбге гээг эбэб Рис. !81. lб д' бабэгжгбглгббгбббб Рнс. 182. теперь отношение Т1Те будет выражаться для 9 будут теперь иметь вид: при т) = 0 8 =- Т, и~ при т1 — — со 9=Т +— 2Ес, иначе. Краевые условия 135.60) В качестве второго конкретного примера рассмотрим случай обтекания пластинки, когдапо-прежнему Р=1, но в качестве краевого условия на пластинке мы имеем при у=0 Т=Т„, где Т вЂ” заданное число.
Мы будем вновь иметь уравнение (35.32) и должны решать его при прежних краевых условиях (35.33). Но ПОГРАНИЧНЫгг! СЛОВ В СЖИМАЕМОГг жИДКОСтн 021 з зм прнчди 0 должно удовлетворять по-прежнему уравнению (35.28). Легко видеть, что это последнее уравнение имеет следующий интеграл: О=а4;о„ (35.61) где а и р — постоянные. В самом деле, подставляя (35,6!) в (35.28) мы получим: что после сокращения на р совпадет с (35.29). Постоянные а и р мы подберем так, чтобы удовлетзорялнсь краевые условна, н получим: 0 = Т.
+ (т, — Т ) 'й Теперь вместо (35.36) мы будем иметь: 1 дар 1 /дгй гг Т=т +(т — т ) — — — — ~ '1, Ег дз 2Егр 1 дч ! так что уравнение (35.39) надо заменить на уравнение: ддд Вводя, как н прежде, ч и т по (35.4!) н (35.42), мы получим для определения ч обыкновенное дифференциальное уравнение (35 62) т — 1 Уг гга Вводим à — 1 (г з =-1.г У з+! аг (35,64) 7 (РГ: — ) ( — г.(1 — — ) и — — ' —,г 1 Г. (гг.гг) Получим теперь вместо уравнения (35.48) уравнение В (35.66) 1 (1 Тщ'З (1 (') зг~ Краевые условия будут иметь прежний внд: (35.49) н (35.50). Все величины: ~", "., Г„т, уД/х, легко найдутся параметрическн через а, движении вязкой жидкости (гл, и Например, для у/1т х получим: 1./ и у 2) ч, гх ~р Ги — ' ч рч я+1 а,,/ Ь (е) о (3о.67) Наконец, для г будем иметь а-1 с == — ча(0) ( — ) (1 + — — Ма) (35.68) причйм, по-прежнему и(.р й 1Аа (35.
69) где Š— длина пластинки. Заметим, что ча(0) зависит теперь от двух параметров: от числа Маха и М = — и от отношения Т /Те, (б' а, где Т вЂ” заданная температура даббб ччт=тб пластинки, а Т„ — заданная ч температура в адиабатически заторможенном потоке.
Второе из этих отношений входит ба в дифференциальное уравнение для Л. Краевые условия содержат лишь (14. На рис. 183 изображены распределения скоростей тг„/У Гь Т в функциях от р' — для значений — =4 и для разных )Рх ч. Я б б б тб Гб М та Ччт Рис. 183.
чисел М. На рнс. 184 даны распределения Т/Т, которые получаются, по нижеприводимой формуле, после того как скорости станут известны: Т Тч (Те Т 1 е„и — 1 гп Поток тепла через единицу плошади пластинки будет: причем:а находится по (35.59). (35 71) пОГРАничнып слоп в сжнх1Аемои жидкости 623 причин булем считать его удовлетворяющимся в среднем, так что д7 при у=Π— 1 й — с1к =- ду о с =- ~ е(т„'— Т")Дк Рис. 184 (35.72) в где Š— длина пластинки. Температуру пластинки мы будем считать постоянной, подлежащей определению '); обозначим еа через Т . Решение для температуры ториожения ищем по-прежнему в виде (35.61) и записываем его в виде (35.62), так что будет опять 135, 73) Вновь задача сводится к уравнению 135.65), и опять в кего будет входить неизвестное заранее отношение Т 7Т,, и решение 1 будет зависеть от одного данного параметра М и от одного неизвестного: Т /Те.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
