Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 90
Текст из файла (страница 90)
ы н граничные условия и(0)=0, и(оо) = 1, (33. 7) ни ьз з — и' =С-+и — —. 2Ц 3 (33.8) где С есть произвольная постоянная. При 1 — ьсо величина и по условию (33.7) стремится к единице, но тогда из предыдущего уравнения ясно, что и' тоже стремится к определвннолсу пределу, и ясно, что 1 этим пределом может быть только нуль. Итак, С+ 1 — — = О, откуда 2 3 ' Но 2, иь 1 — —, + и — —,- = — -;- (и — 1)з (и -+ 2), 3 3 в значит, уравнение (32.8) принимает вид: — и'~ = — — (и — 1)з (сс+ 2), 2«7 3 (33.9) Так как правая часть всегда отрицательна в интервале 0 < и ~ 1, то СЕ непременно дола«сна быть отрицательно. Таким образом, пограничный слой рассматриваемого вида может образоваться только для случая сходящегося течения в диффузоре; для случая расходящегося течения такого правильного пограничного слоя не получается, Эти результаты находятся в полном согласии с тем, что мы нашли в 6 16.
Для случая сходящегося течения ыы можем продолжить в«ячислення дальше. Введвм, как в 2 17, число Рейнольдса (л == —— я Заметим теперь, что вследствие граничных условий (33.7) и должно возрастать вместе с ',; поэтому, разрешая уравнение (33.9) относительно сс', найдем: "'=-,«=-=~ 3. (' — «)172+и ь ;~«с, )" 2й )" с«и (33. 10) вытекающие пз (33.4), вследствие того, что прн у= 0 (т.
е. 3=0) о должно обращаться в нуль, а при у=со (т. е. 3=со) о, должно обращаться в с« = с,с«их. Улшожая обе части уравнения (33.6) на и' и интегрируя, получим: ПОГРАничнъви слОЙ В диФФУЗОРе лАминАРнАЯ стРУЯ 581 Цтобы взять интеграл, совершим подстановку: 'Г/2+ и = !у 1/3 и = 3!72 — 2, вУи =- б!у л!у; 1 — и =- 3 (1 — !72), тогда вти ~' 2иву 0 ~/2 (! — и))/2+и 1/3(1 — ив) Положим далее ио !у = Гй о; АГ!у =— СОВР * 1 — !72 = — 1 — !Гва о = 1 сй'РГ Возвращаясь к переменной и, найдем и = 3!Г!2 ~1п('1/3-+'Г/2)+(~/ — ~ — 2, н наконец по формулам (39.4), (39.3) и (39.3) ог =- — ~3 !й' ~!и ()/3+ Г/2)+ — ~/ 2 ~ — 2~.
(33.11) 11реобразуем несколько эту формулу; мы имеем: 1!!2 г = 1 — —.— 1— ! 4 с(ввг (е + е в)в поэтому предыдущая формула может быть записана и так: 12 ~(.— . Ф" + '- ;),—:~'-Р (33.12) Эта формула является совершенно тождественной с формулой (17,44) 9 !7; в самом деле, для пограничного слоя у(х есть малая величина, которая с точностью до бесконечно малых высшего пэрядка определяет угол, составляемый ОАВ с радиусом, проведенным из '!очки О в рассматриваемую точку пограничного слоя. Но в э 17 этот угол выражался как раз величиной ФГ2 — 8. Заменяя в формуле ! 17.44) и)2 — 0 на )!Гх, мы опять получаем формулу (33.12).
При'вен и теперь к рассматриваемой задаче способ Мизеса, 3. О- женпый в 9 29. В этом способе за независимые переменные берутся х и ",, а за функцию бервтся (/2 от (33.13) и заметим, что если (в = 1/ —, то 'о = — !п (Г/3 + Г/2 ) = 1,146. Равенство (33.10) даЕт теперь с 1/ — = о — !п (Г/3+ )/2), !гл. и 582 ДВИЖЕНИВ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Уравнение (29.15) для определения функции а в нашем случае принимает вид: дх Г 01 дчх — =ч !Тг дх У ачх' д,~,ч ' (33,! 4! причем, чтобы ох получилось положительным, мы принимаем ОАВ за ошрийашельную ось Ох, так что в рассматриваемой нами области х вс1оду отрицательно.
Граничные условия будут иметь вид: (') ч — прн Ф=О аехч В=О» ф=со. Будем искать решеняе уравнения (ЗЗ.!4), имеющее вид: (11 — (ф): (33.15) тогда функция ш должна удовлетворять уравнению (мы опять вводим число Рейнольдса )х' = — ь!!ч)1 = — тв (33.16) а н граничным условиям тв (О) = 1; н1 (сс) = О.
(33. 11) Умножая уравнение (33.16) на ш', интегрируя и принимая во внимание граничные условия, получим: ч'й А ~' 2ж дче 2а,! )/'1 н, Полагая после простых вычислений получим: ч'й з ж /' з 2 лч 1 — ч'Ч' = — (1 — Ч'ИЧ = — — Ч+ — = — (! — Ч)'(2+ Ч) 1 При возрастании ф от О до ОО изменение (г происходит от нуля до единицы, позтому нз предыдущего уравнения находим; ч г Зй,/ (1 — й) У2+й Сделаем теперь, как выше, подстановку 2+ !! = 3 !йт о ПОГРАНИаи!ЫЙ СЛОИ В ДИФФГЗОРИ 21АМИНАРНАЯ СтРЯЯ 383 тогда простые вычисления покажут, что — 2/ —" = — ( (3 !!!2 о — 2) !!о = Зй )/3 1и (1и 3 ФК 2) — — 1с!о.=- — !с! — 3 Гй"! -!п9' 3+ )~ 2)+ ),' 6!!.
! 3, А с!!о/ РЗ 2 ~" Г 3 ) 2 !и (! Зи!' 2) По формуле (33,13) мы определим ох: 2 . !и 1! и! о =а 3/(/' — л = — )/1 — тв = — (! =-- — (З(йао — 2). (33.18) и аХ ах ах / 2й — (3 !и!о — 2) гго а Г аз у =. РХ !и(! Зи! 2) — (3 ш'о — 2) аХ = — — х !/ — !о — 1п ! !/ 3-+ )/ 2)!. !!так, в нашем движении ф —.— '~/ .— !о — 3 !!! о — !и(!/ 3+ !' 2)+ $' !1!1, (33.19) гле о=!п("1/3+ 1/2) — — !// й . (ЗЗ.
20) Лля определения ох имеем формулу (33.18), даюи!у1о! о, =- — 3!йг ~!и()/3+ ! 2) — у !/ — ~ — 2 (33 2!) '! совершенно тои!дественную с (33.11), если учесть перемену обозначений (х заменено у нас на — х, а ох на — о„). В задаче о днффузоре для скорости течения на анели!ей гранино пограничного слоя мы имели выражение Ьолее обший случай, когиа (33.22) Чтобы выяснить геометрическое значение введенного нами параметра о, найлом у из уравнения (29.18): пл и движение Вязко[[ жидкости допускает совершенно аналопшную трактовку вопроса '). А именно, вместо (33.2) иы будем иметь: еф д", дф д", гм ! дгч[[ — — — = шдгх '" -+ч — — ' ду дх ду дх ду' дуг ' Полагая [г — [ же[ г = ух "'; ф =.— х в " (с), (33.
23) мы получим для определения О(г) обыкновенное дифференциальное уравнение (33. 24) 2 при граничных условиях Г (0) = (' (0) = О; (.' (оо) = й. Не останавливаясь на дальнейшем рассмотрении получающегося течения, зал[стиг! только, что два частных случая, в которых уравнение (33.24) сильно упрощается, а именно, случаи лг= — О (плоская пластинка) и и= — — 1 (диффузор), нами уже изучены. Рассмотрим теперь задачу о плоском установившемся движении вязкой жидкости в виде струи, исходящей из узкого отверстия г). Пусть е покоящейся жидкости, расположенной справа от оси Оу, распространяется струя жидкости, исходящая из узкого отверстия, находящегося в начале координат, и имеющая ось Ох осью симметрии. Так как поперечные размеры струи весьма малы по сравнению с продольными, то мы ко>кем применить уравнения теории пограничного слоя.
Конечно, как и е случае пластинки, полученные результаты будут пригодны, только начиная с некоторого удаления от начала координат. В виду того что в покоящейся жидкости мы имеем постоянное давление и, следовательно, отсутствие градиента давления, то для функции тока ф(х, у) мы получаем то же уравнение г ч г ' (33,25) как и в случае обтекания пластинки равномерным потоком. Однако граничные условия будут теперь другими.
Л именно, на оси Ох мы имеем условия: — "=О. и =0 при у=О, до„ ду (33.26) ') Г а[к пег у. М. н Бйап Зу[ч[а й[„Бове арргох[геа[е во!ицопв о! [ье ьоипдагу !ауег ечеанопв, Аегопашюа! кевеагсь Спаши[ее, йерог[в ап[[ Меп[огапда, )ЧЬ 1314, 1930, -'! ЗсЬ[ [сЬ[ [оп 11, Каса[лаге 3[гаЫаявогепипд, Ее[[вой[. Йг апяе)ч. Ма[Ь, ипд МесЬ., !3 (1933), стр.
260 — 263 и В ! К с ! е у Ъ'. О„ТЬе р!апе !е! РЫ!. Май., 23 (1937), )ЧВ 166, стр, 727 — 731, ап ПОГРАНЦЧНЫП СЛОЯ В ДНФФУЗОРЕ ЛАа!ННАРНАЯ СТРУЯ 555 вытекающие из симметрии движения относительно оси Ох. Условие на Оесконечности в данном случае принимает вид: о — РО при у — а ='з, (33г У) М = ~ ро' с(у=2~ ро'г()ч аа о (33,28) Но из уравгения (30.16), в котором ( — ' —.") =О, д= — ох, следует, что дех ду у=о са — о' и'у=О, д..1 х о надо положить (2' = О, ибо первый член в левой части уравнения (30.16) пропадает вслед- ствие стационарности движения. Итак, о' пу = сопа1„ х е (33.29) т.
е. количество движения жидкости М имеет действительно постоянное значение. '1тобы решить уравнение (33.25), положим, обобщая прием Блаануса, упомянутый в 9 32, $=х"у; О!=ха!,(1). Обозначая штрихами производные по 1, легко найдем, что о = — — ' — ха 2(аК'+рч), до дх дх ду — ~' = Хата 2(а(~х-)- а(;+ра'),, (33.30) ха~-РЧ д4, дт — ттаа а даа! д 2 у дох дт !)3' (!22 хаж Р "'. !Ак как основной поток отсутствует и, следовательно, (т =- О. докажем теперь, что количество движения жидкости, проходящее через каждую прямую х = х„, будет постоянной величиной, не зависящей от хе. В самом деле, через элемент ду прямой х = хе проходит масса жидкости Рох с(У, несУшаЯ количество движениЯ со о дУ, проекция которого на ось Ох равна соа ду.
Вследствие симметрии, пам достаточно найти проекцию количества движения жидкости на ось Ох; зта проекция иь2еет величину 586 ил. и ЛВижение Вязкон мсидкости Поэтому уравнение (33.25) принимает внд: 2а+2~ — 1 =-За-1-~, откуда р = а+!. С другой стороны, условие 2 ! роз лГу=-М о приводит к равенству 7 2рх'" за ~ ~,' ггс = М, з (33.32) и так как М не зависит от х, то необходимо положить а+28 = О.
Решая два полученных уравнения для а и р, находим 2 1 3' г 3' Итак, если мы примем, что $ = ух-'л, ф = х'~~ (с), (33.33) то для определении ч(1) мы будем иметь вытекающее из (33.31) уравнение г/2+1'(!1 ! 3,(О/ О (33.34) Из (33.26), (33.27) я (33.30) вытекают граничные условия, которым должна удовлетворять функция ч(!): 5 = О, ч" = О при,г =- О, ч'-ь О » 3 -э. со. (33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
