Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Кроме того, ввиду неизвестности о, иы можем потребовать выполнения граничного условия при у = со вз2есто у =- 3, т. е. потребовать, чтобы о„ аснмптотически приближалось к ~/. Тогда при у = 5 величина о, будет очень мало отлищться от о, = (/, и мы получаем такое граничное условие: (28.6) юг — -= (7 при у — > ОО. Наконец, в случае неустановившегося движения нужно принимать еще во внимание начальные условия: при 1=0 о должно приводиться к заданной функции от х и у. ф 29.
Вывод Мизеса. Уравнение Мизеса. Дадим теперь вывод основных уравнений Прандтля, основная идея которого принадлежит Мизесу '). Этот вывод носит более формальный, но в то же время более строгий характер. Из него ясно вытекает, что уравнения Прандтля являются предельной формой уравнений гидромеханики вязкой жидкости, получающейся при определенных условиях при устремлении числа Рейнольдса )ч к бесконечности. При этом выводе нет никакой необходимости ограничиваться случаем прямолинейного контура. Итак, положим, что мы имеем дело с обтеканием криволннейкого контура С.
Мы будем исходить из тех же основных уравнений гидромеханики (5.1), что н в предыдущем параграфе, только напишем их в безразмерном виде. Л именно, если 1 есть характерная длина, а К вЂ” характерная скорость, то л2ы введем новые безразмерные Величины формулами: х=1х, у=1у, (29.1) — 1!2 После подстановки этих значений в формулы (5.1) и сокрашения Обеих частей дв) х первых уравнений этод системы на Л/1, а по- ') М ! з е з й., Веюег!2ВП9еп гег 1!уего2!у22авй, Хе!!Всат. !Вг апяезч. !В2ш ВВ2! месю, 7 (1927), стр. 425 — 431 н тг2скуссия по поводу этой статьи "еж!у Прандтлем и Мезесом в ЗОУ! же журнале, 8 (1928), стр. 249 — 252.
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ !!'Л. !! 55О Ъ')1, легко получим уравнения: дох дР 1 У д'ох д'ох 1 ду дх + й (дхх ду' )' до, др 1 дго дхо, ду ду+ й1,дхг ! дуг)' до!, — =О, ау следнего уравнения — на д! + " д У а!'х .зо доу — у+ — -'-+о д1 х дх дох — + дх (29. 21 отбросив, для простоты, черточки над буквами. Итак, уравнения гидромеханики, написанные в безразмерном виде, сохраняк!т свой вид, только плотность р заменяется при этом на 1, а кинематический коэффициент вязкости х — на 1)!т, где гт — число Рейнольдса. Пусть теперь о! и г!2 — криволинейные ортогональные координзты, а Н, н Нг — соответству!сшие коэффициенты Ламэ.
Напишем уравнения !29.2) в криволинейных координатах !у! и !12, для чего Воспользуемся обшими формулами 9 5. В результате мы получим систему из трех уравнений, первым из которых будет до, о, до, ог до, ог 1 дН, дН21 + — — + — — + -----' — о,— — )= дг Н, до! Н, дог Н,Н, ', ! дог 2 д~у!) 1 ~ 1 дхо, 1 а!о, 1 Й ! Нг ддг Н22 д 2 Н!Н2 (Н— ') ,Й!) до, 2 дН, дог 2 дН, дох ддг дог Н,Н2 д~У2 а~У! Н,Н2 дд! дуг г +' (Н~Н2 од, ) '+Н, д!1, (Н,Н, д~у, ) '+ 1 дН, 1 д 1 дНх' 1 др Н! до! а вторым и третьим— до! о, до, о, до, — + — — + — —— д! Н, до! Н, дох ар + ~ 2 Нг дог й ~Н~! ( н,.
а , Н! Нг дЧ2 длг 2 дН, до, 2 дН2 до, Н,нг дог аЧ! Н,Н2 дч! ддг 1 д +— 1 д + —--- Н) д~7) + —— 1 д Н, до! о, / дН, дН ! 'О! О2 ) Н,Н,1 ' д~у! дд,) д! — 21 д'ог 1 д'о, 1 (Н, 1 до! до! Нг дх12 Н!Нг дл! дд! 2 2 2 ВЫВОД А!НЗЕСА. УРАВНЕНИЕ МНЗЕСА 4 еи 1 д / 1 дН2! ! д / 1 дН,'! + — — ~ Н, дя, (,Н,Н, дд, / "' Н, йуа (,//,Н, дда / 1 д / 1 дН, . 1 д 1 д//1, Н2 +Н 2 +о! 2 +из " О ° (29. 3") дл, 'ддч дл, 2 дд Выберем теперь следующую систему криволинейных ортогопальцых координат (рис.
174). Проведем в точках контура С нориалн к С, н пусть нормаль через произвольную точку М, лежащую вблизи контура С, пере- А/ секает этот контур а точке Х. Выбрав на /г контуре С определеш|ую точку О за начало отсчета дуг, будем определять положение г точки тИ координатами о,= — з и ля== и, где з и п суть взятые с надлежащими знакамн длины луги кривой Ой/ и отрезка норд г мали о/М.
Возьмам соседнюю с М точку М' и вычислим расстояние с/а между точками М и М'. Бесконечно близкие нормали М/1/ и /г М'№ пересекаются в центре кривизны К Ряс ! 74. кривой С, соответствующем точке ух/. Обозначим радиус кривизны кривой С в точке д/ через г(з) и предположим, что г(а) есть непрерывная функция от з вместе со своей первой производной.
Так как, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, мы имееи: ~/е2 .,И/2 ( /М' /М' = гул, М/,=(г(з)+ л) г/О, №№ = дз = г (з) д0, /И/. = —,' с/з, г(з) -1-л г (з) го с!оа = ~1 -(- ! г/зт -(- г/и', л 12 г (з) ) и следовательно, (29.4) Сдетаеч наконец посчеднее преобразование Положим чтобы пе вводить новые буквы О2 = П = —.—, у )/ (е (29.5) 6 --6 2 и ~Г(у у т ! Н, = 1+- —,-=— у )~(тг (х) дпнженнг вязкой жидкости ~гл Таким образом, теперь уме х означает расстояние между точкамн О и )тг, измеренное по крнвои линни С (следует помнить, что за единицу расстояния принята дан ~а )), у же означаег расстояние точки М от контура С, увеличенное в р 'гг раз; точно так же о, есть проекция скорости на нормаль, увеличенная в )Ггх раз.
Вставим теперь значения (29,5) в уравнения (29.3), обе части среднего из которых мы поделим на )' 'гс и найдем, какую предельную форму они получат, если .чьс устремим К к бесконечноспги, считая при этом величины ого о, р и их первые и вгпорые производные по Г, х и у конечными. Легко видеть, что большинство членов уравнениИ (29.3) будет содержать множителями некоторые целые положительные степени )/'гг гт.
В пределе все зти члены обратятся в пучь, н мы получим уравнешш: др д'о, дх дут др ду ' до» до» дог — +о.— -- — г-п,— от " дх- в ду (29.6) до, до„ -": — + — - — '" = — 0 дх дт Впг р-=р(х, Г), Вп1 о»= — (7(л, Г), уьч г -+ ш по среднему нз урзвнений (29.6) р не зависит тельно, во всем пограничном слое р имеет значение Итак, мы приходим к слелуянцей системе для и о от у; следовар (х, г). определения о„ до„ , до» до, дг г ' дх ' „г др, д~о о. ' оу (29. 7) оп 'о дх ' ду Мы будем считать, что вне пограничного слоя происходит обтекание контура С потенциальным потоком. Но при (х — >со весь по~раничный слой прнвкимается к контуру С; зто видно из того, что но формулам (29,5) всякому конечному у соответствует значение и, сколь угодно малое при достаточно большом К.
Пусть в точках контура С для потенциального потока давление ииеет значение р (х, Г), а скорость — значение (7(х, г), Тогда мы можем считать, что прн у -ь †.о решение уравнений (29,6) должно удовлетворять граничным ус.швиям: ВЫВОД АГПЗЕСА УРАВНЕНИЕ МИЗЕСА з еп , те Р1л, 1) беРетсЯ из потенциального потока, обтекающего кон„р С; кроме того, должны выполняться пограничные условия и =-о = — о при у=О, 129. 8) пг=У1х, 1)» У ьж ) дг'» 1 др, дев к ду = р ах ау дая д' — О, У дох дз„ вЂ” -'- +и — "+и ао " дх у а, дх + (29.9) вполне тождественную с уравнениями Прандтля. Напомним еще раз, что в этой системе у означает расстояние какой-либо точки пограничного слоя от контура С, измеряемое по нормали к С, а х есть расстояние от основания этой нормали до начальной точки контура С, измеряемое гдоль этой кривой. Приведенный в этом параграфе вывод показывает вполне четко, что уравнения Прандтля являются предельной формой уравнений Навье — Стокса при гх †ь Необходимо, однако, отметить следующее обстоязельство.
При очень больших числах Рейнольдса движение вязкой жидкости имеет обычно турбулентный характер. С этой точки зрения может показаться, что предельный переход К вЂ” ьоэ не может иметь физического смысла. На самом деле это не так, а именно: пусть число Рейпольдса гсю характеризующее переход ламинарной формы течения в турбулентную, очень велико, тогда для больших чисел Рейнольдса К, не превосходящих К,, мы с очень большим приближением можем считать верными уравнения Прандтля, так как эгп уравнения отличаются от точных уравнений членами порядка 11')г)х, малыми при больших К. для чисел же Рейнольдса К, превосходящих гхь, пограничный слой становится турбулентным, и к нему уже нельзя применять уравнения 129.9); теория турбулентного пограничного слоя будет затронута а главе о турбулентности.
Лля счучая установившегося движения Мизес свел систему уравнений (29.9) к одному нелинейному уравнению в частных произволных второго порядка типа уравнения теплопроводности. В основе вывода уравнения Мизеса лежит введение новых независимых переменных 'и новой функции, и если речь идет о неустановившемся движении, — также ещз н па;альные условия Вернймся теперь к первоначальгпям размерным координатам (29.1), г, е. заменим х на х)1, у на у)ГЯ111, 1 на )г111, п на и /)г, и на и 1/ГС,1Ь', р па р)р)гз и К на 1Ьг1' .
Тогда вместо системы 129,7) мы получим систему уравнений: ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОН ЖИДКОСТИ щл и 554 Последнее из уравнений (29.9) показывает, что можно принять дф др ду ' у дх ' (29.10) где ф(х, у) есть функция тока, причем можно считать, что на кон- туре С ф обращается в нуль. Возьмем теперь за новые независимые переменные х и ф и преобразуем уравнение до« дех 1 дР , д е« «+и х +„ (29.11) дх У ду р дх дуе к этим новым независимым переменным. Ф>нкции ох и о, выраженные в новых переменнык х и ф, обозначим для ясности через о и о, так что ох(х, у) = о«(х , 6); оу(х, у)= — о (х, ф). вая о, и о как сложные функции от х д~ дх дд ду дц« ду = Подставляя эти значения в уравнение (29.11), получим: дех 1 дР д ~ о, ~ дх р дх+ «д(2( 2/' По условию, нам дол2кна быть известна функция р(х).
Эта функция связана с У (х) интегралом Бернулли: ри р+ — = сопз(., 2 (29.12) имеющим место в потенциальном течении вне пограничного слоя. Мы имеем таким образом уравнение д,з л(22 дзот дх ах х д~тз (29. 13) Поэтому, если мы введем новую неизвестную функцию «(х т) (' ох так что — '~ГС 2 (29.14) Теперь ясно, что, рассматри и у, мы будем иметри до« дох дх дх де« дд де« дф до. дх — — о г>х У дф дех о «д( вывод мизесА, ЕРАВЕ!ение мизесА 555 го уравнение примет очень простой вид: — =»1 Уз — я— дх " дф! (29. 15) Вто и есть уравнение Мизеса. Наядам ешв, каким пограничным ус!овина! должно удовлетворять решение этого уравнения.
На контуре, т. е. при ф=О, составлявшая скорости о„обращается в нуль, следовательно, вследствие (29.14) имеем в=Уз(х) при ф=О. Наконец, если мы знаем распределение составляющей о (х, у) при х = О, т. е. знаем функцию о (О, у), то нетрудно будет вычислить и значение функции г(0, ф). В самом деле, первое из уравнений (29.10) определяет ф через у равенством у ф(0, у) = ~ о (О, у)а!у! о решив это уравнение, мы найдЕм зависимость у от ф, после чего по формуле (29.14) получим: е(0, ф) = Уз(0) — о' (О, у). Таким образом решение уравнения (29.15) должно удовлетворять таким трем пограничным условиям: е = Уз(х) при а=О » ф = со, х = О. (29.1б) г=в(0, ф!)» Найдя г(х, ф), мы определим о (х, ф) из уравнения (29.14) о„(х, ф) = Р' У' — е, (29.! 7) после чего из первого уравнения (29.10) можем определить у(х, ф): 5) ° „.1 Уи— (29. 18) решая это последнее уравнение относительно ф, мы получим Функцию тока ф(х, у), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
