Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Итак, мы получаем следующую формулу: Ю' = — 4ярУАе, (25. 40) Воспользовавшись теперь выражением (25,27), найдйм: %' = бярУа ~1 + — ) . Зла > 4 )' (25. 41) Эта последняя формула, данная Осееном, представляет уточнение формулы Стокса. Лналогичные предыдущим вычисления были произведены и для более сложных случаев, как, например, для случая движения сферы в полупространстве, ограниченном плоской стенкой, илн для случая движения сферы по оси цилиндра.
Полученные для этих случаев формулы сопротивления, обобщающие формул> Стокса, могли быть проверены на опыте. Не останавливаясь на цифровых данных, мы отметим только, что получилось удовлетворительное совпадение результатов опыта и теории для малых чисел Рейнольдса, не превышающих единицы. ч> 26. Движение цилиндра. Решение задачи об обтекании цилиндра по>оком вязкой жидкости в предположении, что за исходные урав- конечно, это равенство справедливо только на поверхности сферы, Но ведь на поверхности сферы о„ - о = о, = 0; поэтому по формулам (25.13) — — = — 2л —, — = — 2а —.
дх дт ду ду ду ду ' дл д~ ' движгиив цилиндра а 24! пения можно взять дрх 1 др и- — — — — + ь., дх р дх х дер 1 д22 22 — = — — — + чего, дх р ду у (26,1) дед + о, дх ду причем ер удовлетворяет уравнению Лапласа д' да. б~= — '+ ' =о, дха дуа а у — уравнению дх — и —;, =о. дl дх (26.3) (26.4) Тогда все уравнения (26.1) будут удовлетворены, если др Р=Р,— Ри д' . дх ' взять (26.5) д!и г д21п г дх ' дх' Уравнению !26,3) удовлетворяет функция !пг, а также н т. д.
Поэтому мы принимаем д1п г д'1п г !е=Ао1пг+Аа — д — +Аз дх' + (26.6! В уравнении (26А) делаем подстановку Х= е" 42, тогда получаем для определения у уравнение дар д2ф —,+ —,— )!ар=о. дха дта имеющее в полярных координатах 1г, 0) вид: дар 1дф 1 дф — +- — '+ — — — шеф = о. дг' г дг г' два (26,7) Отыскиваем то решение этого уравнения, которое зависит только от г и, следовательно, удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 34 теереенчеекаа гвдремеканнка, ч.
!! протекает совершенно аналогично решению задачи об обтекании сферы, так что при изложении этого решения моекно быть очень кратким. Ыы имеем опять формулы: др 1 дт дт 1 ди .= — + — -- — х: о = — + —. (26. 2) дх 2й дх " У ду 2Л ду ' дВижение ВязкОЙ жидкости Решениями этого последнего уравнения являются бесселевы функции с чисто мнимым аргументом '): Однако уз (йг) безгранично возрастает вместе с г, в то время как К,(иг) стремится к нулю при г — ь ОО; поэтому единственно приемлемым для нас решением уравнения (26.8) является Кс(йг).
функции дКо (дг) д'Кд (дг) дх ' дхе д!пг х соз В дз!пг сов 20 дх гз г ' дх' г' то для р находим следующее разложение: соз 0 соз 2В ~ = Ае(п г+ А1 ' — Аз —,— + г г' (26.11) С другой стороны, мы имеем при малых й» разложения: Ко(иг)= 70(лг) !и (2,нг)+ — з+(1+ — ~ 2 т+ где т — постоянная Маскерони (т = 1,7811; !п т = 0,57722). Ограничиваясь самым первым приближением, мы можем принять, что !! Ке(йг) — !п !т-- Тйг), дК,(0») 1 х соя в . дх гг г поэтому вблизи цилиндра, считая ха малым, будем иметь приближенно у== — и — С,~~п( — ', ТЬ~+Дгсоя0!п(2 Тйг)~ — С созз, (26.12) Теперь мы можем вычислить по формулам = — + — — — усоз6; о,= — — + — — +уз!п0 (26.13) дэ 1 дд 1 ду 1 дт дг 20 дг г д0 20» д0 ') См., напркиеш Смирнов В, И, Курс высшей математики, т, 111, 1939, стр.
637 или ((у зь ми н Р. О., Бесселевы функции, ГТТ11, 1935. также будут решениями уравнения (26.7). Мы можем поэтому принять: у=- — (/+еда )СеКе(!0»)+С1 ' +Сз ' +...~.(26.9) Так как 081 ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА 0 06! приближенные выражения для проекций скорости вблизи цилиндра: 'о = — — о +исо58— А, А, сов 0 г 1 1 1 г! ю С,сов0 — С 1 — + — созΠ— — соз81п! — !Ог)1+ о ! 20г 2 2 'в 2 г'1 20 го А, вппа Мпз /! В С,жпз — — и з!п 8 — Со 2 !п ~2 '1)1г)+ 20 в, (26.14) г~ 2 12 ) 20гв при вычислениях мы отбрасываем некоторые члены, малые в сравнении с оставляемыми, а именно, вычисляя усовО и уз!ВО, мы пользуемся еще более упрощеннь|м выражением для у: '1 у = — и — Со !п ~ — 1О.); ,2 кроме того, в выражении для Р берутся только два первых члена.
Полагая в полученных формулах г=а, составляя равенства о„(а, О) = — оо(а, 8) = О и приравнивая нулю коэффициенты при 1, сов О и з!п О, приходим к трем уравнениям для определения четырех коэффициентов: Ао, Аи Со, Сб Ао Со — — — =О, 20а ао 2 12 Г' 20ав откуда легко находим: 2У 4ч Ао— 1 1 0 ~! — 21п ! — 10а)т 1 — 2 !и ( — !да) 4У Со —— 1 ! — 21П ( — таа) С, Уао А,— — '=— 2а /1 1 — 2!и! — таа) 'в2 (26. 15) 1 — 21п ~ — тда) ,2 и ага 0 г а' гт ив=в 11 — — + 21п — ~. а 1 — 2!п~ — тда) ' Ь (26.16) При принятой степени приближения коэффициенты А, и С, по отдельности определены быть не могут.
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулы (26.14), находим выражения для проекций скоростей, пригодные в области вблизи цилиндра: дВижение Вязкои жидкости ггл. ц На больших расстояниях от цилиндра, беря только члены, содержащие Ао и С,, н рассматривая абсолютное движение цилиндра в жидкости, покоящейся на бесконечности, будем иметь: и,= — '+ 2 Сое ''" !гКо(Ь') — созйКо(Ь)1 оо = — Соею сол оК (Угг) з!и 6. 1 (26.17) Из теории бесселевых функций язвестно, что для больших значений аргумента имеют место асимптотические формулы К (аг), тг — е ', Ко(Ь') — — т~ —" е о Г 2Гсг !' 2аг Отсюда вытекают заключения, совершенно аналогичные тем, которые мы делали, рассматривая движение сферь!.
А именно, рассмотрим семейство парабол, зависящих от параметра а: к г (1 — соз 0) = сс. (26. 18) Если а достаточно велико, то пг мало отличается от Ао/г, т. е. в области вне некоторой из парабол (26.18) движение мало отличается от движения, соответствующего источнику с интенсивностью (с=2 Ао= 1 (26. 19) Л [! — 21п ( — таа)~ Напротив, если а — порядка 1, но !ег велико, то соя 5 будет близко к 1, и мы будем иметь следующую приближенную формулу: и,= — Сое с ~/ (26. 20) с!от с1ог с!Х л у Лл = — ~ — — = — = С е~"Ко (Ь) )л — = = Сов~' со!!Ко(йг) й з(п 0; (26.21) на больших расстояниях от цилиндра мы будем иметь: Я вЂ” С т/ з)п йе-аг!1 — соло! (26. 22) Как рассмотрение скоростей течения, так и расслготрение вихрей приводят к одинаковому заключению об асимметрии течения; перед цилиндром течение носит потенциальный характер, зз цилиндром— вихревой. показывающую, что за цилиндром жидкость увлекается вместе с цилиндром, Для вихря мы легко находим по формулам (26.2) выражение движении цилиидвл 0 оо1 Приведем теперь формулу для давления; вследствие (26.5) и (26.6) имеем: р=ро рУАо +рУА1, +...
(26 23) Вычислим, наконец, сопротивление, испытываемое цилиндром; общая формула 11г = ~(р„соз 6 — р„з(п 8) г(а з данном случае упрощается: 2 и" =- а ~ ( — р соз 6 — р — з(п 6) Н. дво дг (26. 24) о Так как в полярных координатах вихрь выражается формулой 1 д(гоо) 1 до~ дво ео 1 дог г д) г д0 дг г г да ~~~г и так как на контуре цилиндра оо = о„= †" = О, то на контуре цилиндра будем иметь формулу д~'в о дх дг ду ' Теперь нетрудно найти значение подынтегральной функции в выражении (26.24); рсозб-1-р з1пб=р сов 0 — рог — созд+р — з(пб= доо дт дх дг о дх ду .= — р соз 6 — рУ ( — соз 0 — — — з(п 6) ° гдт 1 дх о (,дх 20 ду Так как на поверхности цилиндра о = О, то вторая из фор- У мул (26.2) показывает, что 1 дх дт 2Л ду ду ' и так как еще — соз 6+ — ейп 6= — ' де дт, дт(г, 0) дл ду = д / р соз 6 И6 = О, о то мы приходим к следующему общему выражению для сопротивления цилиндра: (26.
25) 1тг г дт 3 дг о ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 1ГЛ. Г! Но по формуле (26.6) мы дт Ао дг а и ясно, что имеем на поверхности цилиндра: А, соз З 2А, соз 20 ае аз 1Р'= 2кр Ь'Ао. (26.26) Подставляя найденное выше значение А, по,тучаем формулу Ламба для величины сопротивления, испытываемого цилиндром при его движении в вязкой жидкости, причем эта сила отнесена к единице длины цилиндра: )Уг = 1 — 21П ( 2 таа) (26. 27) Конечно, следует ожидать справедливости этой формулы только при малых значениях числа Рейнольдса )т, как это и подтверждается опытами. ч) 27.
Гидродииамическая теория смазки. Одним из наиболее важных для техники случаев ламинарного движения вязкой жидкости является движение смазочной жидкости между цапфой н подшипником. Более того, в этом случае числа Рейнольдса бывают обычно очень малы, так что мы имеем право применять приближенные методы решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
