Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Но по условию левая часть этого равенства должна равняться единице, поэтому величина х должна иметь следующее значение: -. = (е " = — 0,332 '), Нам понадобятся еще асснмптотические выражения для функции ". н еи производных прн больших значениях (. Прежде всего, аналогично (20.32), имеем -Л'-: "=-ее (20.33) Проинтегрируем обе части этого равенства по ', от 0 до -.ю и учтем условие (20.2!). Получим 4~ге: :~=1+. ~ ае и ф, (20.34) Выполним еще одно интегрирование по с, от сс до 3. Будем иметь Г,, т е -е ) тгд =' — )+ ~~" (20.35) 1 я 0=:, — л+а ~ (т — т) е О пт (20.
36) ') Более точное значение е =. 0,33206, где ),— постоянная интегрирования, илн, выполняя интегрирование по частям, 494 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ (гл. !1 Так как 1 1 -- (ч-1И ! (з Ен (1 —.)а дь9= — 2(1--Л) УЛ а 4 ' ,/ („ Л)4 1 — (1-1)4 ! то, по (20.40), имеем для больших В -- (1-1)2 1 е = О (1 1),— С.=,с.с(-,' ',), ((с!.=с.с~,'с н мы можем написать окончзтельно для больших ! (1) ° )): 1 ".' =.1+ С ~ е " (Ь;+0(,е ' (: — ).) ), 1 (20.41) Обращаясь к определению функций Л, уе, заметим, что уравнение (20.13) может быть представлено в виде: ,(, ~'Iа'-+,Уе,У."+2ЛУоА',,— (2п — 1)Уонип]=~с(-'! А " У» !). Введем, наряду с (20.19), безразмерную функцию ч„из равенства ( =~'('Ы~() В частности, для функции С., в правой части (20.11) заменим «ге!ч и ангес по (20.!7) и (20.16); получим после простых преобразований Р( =- — ~у — '- — / ~ = 2Ю ~/ — —,(с".' — ()Я, (20,43) о) = У т и- Вьтолняя квадратуру, получим теперь (левая часть обращается в нуль при ! — «сс, так что справа следует взять интеграл от со до 1): 1 — И Р 204 +((л+ 2и0 04 — (2п — 1)( ~л — — йС!(~„) / Рс((!.
(20.42) 4 Ю! ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕ'1НОИ ПЛАСТИНКИ 495 так что, выполняя квадратуру в правой части и замечая, что по (20.41) ((чс — ч)с =)„получим окончательно 2гс,"+(е;;-1-2Г'~; — г,"~, = — ((К' — ~)2 — ),2), (20.44) 1(ак обычно, решение ищем в виде суммы общего решения однородного уравнения (20.44) и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение имеет в качестве одного из решений г.„ = ч', в чем убеждаемся простой подстановкой с учетом уравнения (20.20), Остальные два решения однородного урзвнення ишем сги В ВндЕ ", =-".са. ОбОЗНаЧИМ Еща О= —..
ТОГда дЛя О ИМЕЕМ дкфч е1 ференциальное уравнение второго порядка 2О" + (6 †, + с) О'-+-( †, + 2иГ') О == О. (20.45) Назовем его независимые решения буквами О1 и 212. Трн решения однородного уравнения — мы назовем их Уи У, — мы можем тогда представить в виде; 1 ' 2 ~ 411 4' 3 " ~ 212 с" с Повеление функций Ои О2 (и У2, Уз) при больших . "можно определить из следуюших соображений. Заметим, что по асимптотическим выражениям (20.4!) коэффициенты ч"/ч' и Г'/(' в (20.45) стремятся к нулю при больших 1(Г' — «1, ч — +1 — )); поэтому решения О1 и О2 при больших 1 окажутся близкими к решениям уравнений 2тч+ (4 — ).) О' + 2пп = О. Оба независимых решения этого последнего уравнения известны, Мы можем положить 2 — 1 Г 1 1 44 " — — сс-1П /44 — сг — — ц — 1Р 2 4 ' 4 — /' 1 с О2=,„1, ~е / е асс сс"4 где Н2„1 — полипом Зрмита степени 2и — 1.
Имея это в виду, можем считать, что при больших 1 наши решения ведут себя как 1 У1 — 1, У, (! — ))" е ', У вЂ” (1 — ).) "'"'. ил ы движкнив вязкоп жидкости Как обычно записываем теперь общее решение уравнения (20.42) в виде 6„= — С,У,+СеУе+Сзрз+), ~ ' ' ' з У(1)а+ где Иг — детерминант Вронского системы, который можно взять в виде Ж'= — Г, а г' — правая часть (20.42). Асимптотическое представление подынтегральиых выражений будет соответственно 1 сопз1.У(1), е ' ' (1 — )) "г" (1), (1 — )) г (1) 11ри п = 1 имеем, по (20.41), 1 / — — (ч-тн 4 г" ($) = (К' — с1з — )У '+ С( ! е 4 ' ггт( — 1+ >,— 2 1 — и-ьр .. — и-тн — С / (1 — т)е и г(~~~ — )Я вЂ” 41Се Теперь мы видим, что (для в=1) все члены правой части (20.46), за исключением члена, содержащего См таковы, что соответствую- 1 4 щее (и е 4 .
Мы должны, поэтому, положить Сз — — О. Что же до С, и С,. то их надо определить из краевых условий. Аналогичные соображения можно высказать относительно функций с любым значком и. На рис. 164 нанесены значения функций 6(1) и 6,(6). На рис. 165 нанесены величины о„/У и 10о /У в функ- 4У киях от безразмерного расстояния Г= — ус Подсчет произведен по ч формуле (20.9) (гя, гз и далее считаются нулями) для безразмер- 4У ного значения Х = — х = 100; величина о,/У с увеличением г' т стремится к 1, величина о /У вЂ” к нулю. дВижение ВязкОЙ экидкОсти 498 1гл.
В, ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА ф 21. Плоское течение между двумя пластинками. В предыдущих параграфах было дано в точном виде решение нескольких задач гидромеханики вязкой жидкости. Как уже указывалось, интегрирование уравнений гидромехаиики вязкой жидкости в точном виде удается сравнительно редко; нужно, помимо того, отметить, что многие точные решения уравнениИ гидромеханики вязкой жидкости пмеюг мало гидродинамического интереса, так как они могут быть осуществлены только при наличии граничных условий необычного в практике вида.
С другой стороны большинство важни~к с точки зрения возможности эксперимента или наблюдения в природе движений вязкой жидкости не поддается точному гидромеханическому анализу. В качестве примера можно указать на задачу о движении сферы в вязкой жидкости с постоянной по величине и направлению скоростью. Совершенно естественно, что при невозможности точного решения какой-либо проблемы мысли ученых обращаются на изыскание приближенных методов решения этой проблемы. Такими прнближеннымв методами гндромеханики вязкоИ жидкости мы теперь и займемся.
Все приближенные методы гндромеханики характеризуются одним общим признаком: в этих методах либо в основных уравнениях, либо в граничных условиях часть членов или совсем отбрасывается, или учитывается не в полной мере. В тех случаях движений вязкой жидкости, которые будут нас преимущественно интересовать, входят в рассмотрение три категории сил: силы инерции, силы вязкости п силы давления.
Последние силы являются внутренними силами, и порядок нх величины определяется порядком величины первых двух категорий сил. Что касается сравнительной величины сил инерции и сил вязкости, то некоторую ориентацию в этом направлении дадт нам число Рейнольдса й = Л~/ч, равное, как мы внаем, отношению произведения характерной скорости 1г на характерную длину 1 к кинематИЧЕСКОМу КОЭффИцИЕНту ВяЗКОСтн гч В соответствии с этим мь1 можем говорить о двух типах приближшшых решений уравнений мехзникн вязкой жидкости.
К первому типу принадлежат те случаи движениИ, в которых силы инерции малы по сравнению с силами вязкости и для которых, следовательно, является малым число Рейнольдса, содержащее коэффициент кинематической вязкости в знаменателе. Но число Рейнольдса будет малым в трех случаях: 1) когда характерая длина 1 очень мала, либо 2) когда характерная скорость 1г очень мала, либо, наконец, 3) когда коэффициент кинематической вязкости ч ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛАСТИНКАМИ 499 ау+а ( др Уд'ох — =11~ — ' + дх 1 дхе др /д'о, — =-~ [ — У+ до, дог до, (2 1.1) 1 удем теперь считать, что оси Ох и Оу лежат в одной из гранич»ых плоскостей, а ось Ог направлена по перпендикуляру к этим плоскостям, так что уравнения граничных плоскостей суть и г=й, 32' о ~ень велик.
Таким образом, к рассматриваемому типу относятся, например, случаи медленных движений очень малых частиц в сравнительно вязких жидкостях. Приближенная трактовка движений первого типа состоит либо в полном отбрасывании из уравнений гндромеханики членов, дающих силы инерции, либо же в упрощении вида этих членов. Другой, противоположный тип движений охватывает те случаи, когда силы вязкости малы по сравнению с силами инерции и когда следовательно, число Рейнольдса является очень большим. Для этого нужно, чтобы либо характерная длина, либо характерная скоросгь были очень большими, либо же чтобы вязкость жидкости была очень малой. Таким образом, ко второму типу движений относятся случаи быстрых движений тел большого размера в маловязкнх жидкостях. Если мы полностью отбрасываем, при приближвнном рассмотрении движений второго типа, силы вязкости, то мы приходим, очевидно, и уравнениям движения идеальной жидкости.
Нзм остается поэтому рассмотреть только ту трактовку движений второго типа, когда мы лишь отчасти учитываем силы вязкости, оставляя в уравнениях пз членов, даю~цих силы вязкости, лишь главнейшие. Мы начнем теперь рассмотрение ряда конкретных случаев двн- А.езнй ПЕРВОГО тИПа, т. Е. дВИжЕНИй, Обладающих малымп чнсламн Репнольдса, Рассмотрим течение очень вязкой жидкости между двумя параллельнымн пластинками, расстояние д между которыми мы будем считать очень малым. Если мы будем считать значения средних скоростей н<ндкости тоже малыми, то число Рейнольдса гх = \~6(ч будет очень мало. Ьудем далее считать внешние сизы отсутствующими. При этих условиях мы можем в основных уравнениях гидромехзннкн (5.1) пренебречь находящимися в левых частях этих уравнений силамн инерции; тогда получим уравнения: ЦВижение ВязКОЙ жидкости йоп 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
