Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 75
Текст из файла (страница 75)
72 (1935). Эта работа содержит обзор точных решений уравнений движения вязкой жидкости, Поэтому на основании (18,20) и (18.16) мы имеем, например: 1 д'1' 1, дт 2Ь и о = — — = — У'М) — =— г да г да аз+Ь' г' Итак, мы получаем формулы: 2Ь и 2а и а' + Ьз г ' ' а' + Ь' г Заметим, что прн Ь = 0 мы получаеи о, = О, т. е. получаем движение по концентрическим окружностям, разобранное нами в 9 16; напротив, при а = 0 мы получаем о, = О, т.
е. мы имеем дело с чисто радиальным течением, случай, рассмотренный нами в поедыдущеч параграфе. дВижение ВязкОЙ жидкости сгл сг Если же как а, так и Ь отличны от нуля. то уравнением линий тока будет служить Ч =- сопз1., так как Ф' зависит только от ся, то линиями тока будут кривые су=сопз1., т. е. а!пг-+ЬЬ=сопз1. (18.25) Ь(ы уже упоминали, что эти кривые образуют семейство логарифмических спиралей. Итак, решение Гамеля определяет движение по логарифмическим спиралям. В качестве второго примера отыщем частное решение уравнения (18.!3), имеющее вид: Р = У(р)+С)(. (18.
26) Вводя прежнее обозначение у'(О) =- и, (18. 27) будем, очевидно, иметь; дгсГ дгср дср дур псе= — — + — =и, — =и, — =С; дуг дуг ' дт ' ду поэтому уравнение (18.13) приведется к такому: т (и"'-+ 2аи" ~ — (а'+ Ьг) и') = аСи'-+ Ьил'+ Си", После простого интегрирования получаем: и" + 2аи'+(аг+ Ьг) и =- — и+ — — иг+: и'-+Си (18.28) где С вЂ” новая постоянная. Полученное уравнение легко интегрируется до конца в том частном случае, когда постоянная С имеет такое значсние, что из уравнения выпадают члены, содержащие и', т.
е. когда С=2 а, 'Г = У (с7) + 2гау. так что (18. 29) В самом деле, умножая вытекающее из (18.28) уравнение: и" = — (аг — Ьг) и -+ — иг+ С, 2г где Са — новая постоянная. Если теперь подставить дсу и =— на и', мы сможем проинтегрировать его ещз один раз, в результате чего получим: и' = — — из-+(аг — Ьг) иг+ 2С и+ Се, 1 ж! ОД1ЮМЕШИлГ. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГ' СЖИМАЕл1ОН И1ИДКОСТИ 481 1о псременвьш могут быть разделень:, и мы иолучаеи искомое реше- ние в виде: йи (1 В.зо) — — и +(аа — Ье) и'+2С,и+С е Здесь г)!ч п = —, еги Фх и мы можем написать гги р ее =- — р-~- (1,-)- 2р) — —, рх = р,„= рхе = — р,„= р, = р, =- О, йи ди Если внешних сил нет, первое из уравнен гй движения (4.8) даст еГи 1 е( еГи 1 = — — ! — Р+() +29) — ~! лх = , лх ! (19.
1) остальные два выполняются сами собой. Уравнение неразрывности даст (19. 2) Наконец, уравнение притока тепла (10.5) в нашем движении при- ведется к виду Лт 1 1 и I ФТЛ . Гыее12 с ри — +Лрри — — = — ~Ф вЂ” 1-)-Л(2+29)(- — 1, (19 3) лг е,ет, лх '( л.е) ' ' (л=) ' прнче», как н прежде, мы считаем, что Р т= м (19.4) Уравнюше (19.2) интегрируется н дает гнг = а = сопз1. (1 9.5) и! Г епееелеекее .е Юее: л: »":е, е. 11 Полученное уравнение определяет 1!1 как некоторую функцию от и; обратная функция л(р) является, как известно, эллиптической функцией. ф 19. Одномерное движение вязкой сжимаемой жидкости.
В качестве примера точного решения для вязкой сжимаемой игидкости рассмотрим одномерное стапионарное движение, в котором все гидродииамические элементы зависят лишь от одной координаты, например. от х: о„=-и(х), о„= — о ==О, р=р(х), р=р(х). движение вязкой жидкости 482 1гл и Умножая обе части (19.1) на р и используя (19.5), получим, путам интегрирования: аи = — р+() +29) — "+Ь, (19.6) где Ь вЂ” вторая произвольная постоянная интегрирования. Обратимся к уравнению (19.3). Из уравнения (19.6) мы можем найти (),+ 29) ди/г(х и вставить это в правую часть (19.3); кроме того, мы можем заменить ри по (19.5). Мы получим: ат 1 и / ЙТт ии с а — +Ара — — = — ~Ь вЂ” !+А — 1аи+р — Ь), иг их З ах 1 йх! их (1 9.7) где с — третья постоянная интегрирования.
Итак, задача сводится к определению четырех функций и, Т, р, р пз двух дифференциальных уравнений первого порядка (19.6), (19.7) и двух конечных уравнений (!9А), (19.5). Умножая обе части (19.6) на и и, замечая, что ир = ирйТ = айТ, получим: () + 28) и — = акт+ йаТ вЂ” Ьи. йи их (19.8) Как только мы найдем и и Т из двух дифференциальных уравнений (19.7) и (19.8), мы опредетим давление из соотношения (19.6), а плотность из (19.5).
И и и Т являются функпиями одного только х, значит, мы можем считать, что Т есть функция одного и, например. Беккеру удзлось найти решение этих уравнений, имеющее совершенно ясный физический смысл. Именно, Беккер ищет Т в виде полинома второй степени от и: Т = и+- Ри+ 7из (19,9) с коэффициентами, которые надлежит далее подобрать. Вставляя это Т в (19.7), получим, после приведения подобных членов !е (р+ 2)и) — „= ! асд — а —,) и +(ас„8+ аА) и+ ас„а — с.
Уравнение же (19.8) даст: ().-+ 29) и — „' = — (а+ йа() иа+(йаЗ вЂ” Ь)и+ йаи. (19.10) но теперь легко видеть, что члены, содержащие р в этом уравнении, сокращаются; в самом деле, по (19.5): 1 й а йи а — — = — — = —. их р ах р йх' Мы можем теперь выполнить и здесь квадратуры и тогда получим с аТ= й — + а — ит — ЬАи+ с, А йх 2 А 2ат Рт 2 асрр — с т+ 2и 1+ )77 (19.11) для определения двух коэффициентов а и Т мы имеем три уравнения (19.!1). Решая эти уравнения, мы получим без труда с Л+2р а= Т= — — А, а(с + А)г) ' ' 2а (19.! 2) но при этом обязательно должно выполняться следующее соотношение, связывающее между собой оба коэффициента ).
и р, коэффициент теплопроводности и и величину с г Л+ 2и с — =1. и (19,13) Соотношение это выполняется лля воздуха с большой точностью; 2 сри так, если Л = — — р, то получается — = 0,75; для воздуха: 3 и с,р — — О. 733.
а Предположим поэтому вместе с Беккером, что (19.13) имеет место. Тан как с — с = А!г, то теперь с А а= —. 2ср Уравнение (19.10) примет вид: Ли ср+с„ 7!С (Л+29) и — = а Р иа — (>и+ —. (19.15) с(х 2ср ср Уравнение это легко интегрируется. Прежде всего, его можно прел- ставить в зиле (19. ! 4) Ии с,+с (Л+ 29) и — = а (и — и>) (и — иа) ах 2ср гле постоянные и, и иа связаны с (>/а н с/а соотношениями: 2ср Ь 2)7 с —,+и, — — =,и. ср+ с„а ср -1- с. а >1>я ма>кем теперь записать интеграл (19.16) в виде: ах = ' 1п — ' — — ' 1п ', (19.17) 2к(1+2р) и> — и, и, — и, и, — иа и, — иа * "де произвольная постоянная интегрирования, входящая вместе с х '>литивно, положена равной нулю (что, конечно, не парушае> а !9! Одномерное движение Вязкой сжимлемоп жидкости 433 Сравненпе этих двух уравнений заставляет нас считать, что движения вязком жидкости 464 !гл н обшносмВ.
Выражение для температуры Т примет при э>ом вид: (19. 18) Физический смысл (19.17) очень прост. При х = — — оо мы имеем и==-ин при х =+оп и=иг (нетрудно убедиться, что мы всегда можем считать и, » и,). Назовем ешв через рн ро Т, плотность, давление и температуру при х= — оо. а через р,, рг, Тг — те же величины при х =+со. Равенство (19.5) даст тогда: (19.19) г,и> — — ргиг Так кьк вследствие (19.16) с/сс/ссх обращается на бесконечности в нуль, равенство (19.6) даст: Р1 1+ Р1 Р2 2+ Р2' (! 9.20) Наконец, исключим /> нз (19.6) и (19.7) и заметим, что на бесконечности не только с/и/исх, но и с/Т/с/х обращаются в нуль.
Получим после простых преобразований г! / р>и> ~ А + 2 )+ и'Р> ргиг ~ А + 2 ) -> — игры (19г21) Но уравнения (19.19) — (19.21) в точности совпадают с теми соотношениями, которые получаются из условий существования сильных разрывов в идеальной жидкости [глава первая, формулы (2.!5) — (2.17)) для случая одномерного стационарного движения (0 = — )с„=- — и).
В идеальной жидкости мы имели бы дан>кение с постоянной скоростью ио плотностью рн давлением ро вплоть до поверхности разрыва; затем движение скачком приняло бы скорость иг, плотность р,, давление рг. В вязкой жидкости мы имеем непрерывный переход от и, к иг при помощи (19.17); по (19.5) мы можем найти р, по (19.6) — р. )1(ы имеем как бы «размывание» поверхности разрь:ва. Какова же будет толщина переходного слоя, заменяющего поверхность разрыва? Подсчитаем по (19.17), чему будет равно расстояние Ьх, на протяжении которого и изменится от 0,9 и, до 1,1 и,, Это будет 2» а+2р.
! л О,!л ! 0,9л — 1 1 бх= — ' ' ! — !п ' — + 1и — ' »+! а ! л — 1 л — 11 л — 1 0! где л= и,/иг. Пусть ), = — — рч я = — 1,40; — ' = О,! 33 ем'/сек, л = — 2 и, = — 4 1О' см/сек, тогда будет с>х = ' — ' 10 '1п 162 = 0,263 1О ' см. 2 1,40 4 О,!33 .1 лб злдлчл ОБ ОБтекАнии полкБескОнечнОи плАстинки 485 в я У~ Рнс. !63. равномерным потоком, имеющим постоянную скорость У (рис. 1бЗ)'). Рассмотрим случай несжимаеиой жидкости. Вводим функцию тока ф нз рзвенств дф о,= — — — ' дх д,'~ ду ' (20.1) и приходим вновь к уравнению — — — — — = ~басф.
дф ддй дф дай ду дх дх ду (20.2) Это уравнение будем решать при следующих краевых условиях. Вдоль пластинки мы должны записать условие прилипания !Ох=-и =0), и это значит, что х ви О= — =-0 при у=О, х)~0. (20,3) ду ') Исследование задачи налагается по работе Кочина Н. Е., выполненнон Я !944 г. н опубликованной впервые в Собр. соч. Кочина Н. В., т.
11; 194В. Величина эта ииеет порядок длины пробега иолекул; такое рассгояш!е пренебрежимо с точки зрения механики сплошной среды. Это является до некоторой степени подтверждением правильности тех исследований разрывов, которое мы проводили в главе по газовой тинамике. Некоторым предостережением является то, что при рассмотрении расстояний порядка длины пробега молекулы мы едва ли мозкем пользоваться уравнениями механики сплошной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
