Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 74
Текст из файла (страница 74)
37) равенство же (!7.28) примет вид: ~/: й 2 ( (е, — (е,— е,) 2!пеф] Иф и Фге,— е, ! У! — Л'мп'ф Ф 22 2ез 1 иф )ге, — е,, 7 )'1 — Л2 2!и' ф Фо Ф2 — 2 ре,— е, ~ )/1 — 7222(птфг(ф. (17,38) Полученные равенства показывают, что !2 должно быть очень близко к 1, так как в противном случае эллиптические интегралы имеют конечное значение, и правые части формул (17.37) и (17.38) были бы конечными, в то время как левые части этих формул, по предположению, очень велики. Итак, й мало отличается от 1; по формуле (17.35) это означает, что ез мало отличается от е2: Е2.
Ио тогда формула (17.29) б е,+е +е,= — —, й' в которой можно пренебречь правой частью, показывает, что приближенно е, — 2е,. Простое вычисление показывает теперь, что равенство (! 7,27) заменится через !ГЛ. 11 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСтн 472 В соответствии с этим упрощаются и формулы (17.37) и (17.38); первая из них принимает вид: во второй же формуле можно отбросить в правой части второй интеграл, как имеющий конечное значение; в результате получим: ыт ,Г Сравнение двух полученных соотношений показывает, что должно быть ез = — — и ! = ф' —. (! 7.39) 1 Г нф I йа у.1 — "и" ф ~' Для определения угла фа мы имеем формулы (17.36), которые дают нам: з!и фе='~/ —, соэфе=ф/ —, фа=64'44'. !17.40) Оставтся отыскать л; для этого заметим, что /" " /' ' /' лф ! 1гф !" мь $! — ю1 1 Г1 ьчк 1 о н что при А, близких к единице, мы имеем приближенные равенства: =1п '), л,'~ 4 гт — т'аэт 1'~ — ' о 1И 1М =!пс!д( — — ~)=!и '=!п()/3+ У 2).
Поэтому равенство (17.39) дает нам, что 4 ,~ я. 3' 1 — Ае("г' 3-)- У 2) ') См. напр., Унт те кер-Ватсон, Курс соврем, анализа,ГТТИ,1934 стр. 371 †3. течение в диФФузоне а ы1 откуда )/ и» вЂ” =И(Л ~ )ав ~ Но по формуле (17.38) мгя имеем: Ег Ез е, — ез и приближенно е,— е„ж — 3е,, позтому иа е — е = — 48 ( 'у' 3 — ')з 2) е е г .
Итзк, при больших числах Рейнольдса гт симметричное течение рассматриваемого типа для случае сходящегося течения в диффузоре существует и определяется следукзщими приближенными значениями параметров: ее= —, ее = (! + 48 ('1' 3 — ~/2) е з и гз~, (17 41) е,=— а Остается найти распределение скоростей. Из равенства (17.28) после простых вычислений получим: ,/и 1 ) нф 6~ )ге, — ез ! )'1 — Язми'ф Рассуждая. как выше, получим: зг„', 4 р'~ — а" 'р 1 1 — лз 14 2! 1г/ + 1~(У'3+ ~Г„) )п с)д( ), 3 Так как ещз' е,— ез- --, то легко находим, что )зз — = ~l — +1п(~~ 3+ ~Г2) — 1и с1д( — — ~).
(17.42) Но по основной формуле (17.34): (7 =- е. + (е, — ет)соз' ф= — — + — созг1з, (17.43) 1 3 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1гл. и 474 Так как 2 соз ф— (4- — 2)+ а(4--,) 2 ф' 3+ р 2) е1 яп" 1«гз й -1- ф' 3 — )«'2) е н так как о(г, 8) = — —, 0У г то мы находим окончательное выражение для распределения скорости: о(г, 8)= Я~ 12 ~.
(17.44) г« ~ г(()г 3+1 2) н не («ж-в1+ (у 3 )г 2);ч'ядм («гз-й)«т Легко теперь видеть, что почти во всйм секторе 0 ч 8 < а/2, за исключением непосредственной близости стенки, значение скорости о(г, 8) очень мало отличается от значения 1',))га (см. рис. 161, вычерченный для а = — 60', гт = 100), Только при значениях 8, близких к а)2, значение показательной функции ег нж«нг"'-«~ будет невелико, и второй член в фигурных скобках б, предыдущей формулы сильно повлияет на величину п(г, 8).
Итак, для случая сходящегося течення в диффуворе течение при больших числах Рейнольдса очень мало отлнчается от потенциального течения идеальной жидкости. Только вблизи стенок происходит очень быстрое изменение скорости от значений, соот- ':Ь Ветствующих потенциальному потоку идеальной жидкости, до нулевых знзченнй, требуемых условиями прилипання вязкой жидкости к стенкам. Обрар'«:,, тим внимание на то, что сходящееся течение в диффузоре происходит в наРис. 181. правлении падения давления. В то время, как при малых числах Рейнольдса сходящееся и расходящееся течения в диффузоре имеют одинаковый характер, прн больших числах Рейнольдса течения носят совершенно различный характер, а именно, сходящееся течение всюду, кроме непосредственной близости стенок, мало отличается от потенциального теч:ння, расходящееся же течение резко отшшается от потенциального течения.
РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 475 1!а! ф 18. Решение Гамели и его обобщения, Течение в диффузоре, рассмотренное нами в предыдущем параграфе, является частным случаем гораздо более общего точного решения уравнений гидро- механики вязкой несжимаемой жидкости, которое мы сейчас н рассмотрим. Движение жидкости мы будем предполагать плоским, стационарным и происходящим под действием сил, имеющих потенциал. В й 8 было показано, что в этом случае проекции скорости могут быть выражены через функцию тока %«(х, у): д%' д% О = —, О к ду' У дх' (18. ! ) которая удовлетворяет уравнению — — — — — = УЬЬ%'.
д%" да«1' д%' да%' ду дх дх ду (18.2) Итак, «7+ 'Х = т (з) (!8.3) так что «7(х, у) и Х(х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа бр=дХ= О. (!8 4) Смысл этого преобразования состоит в следующем: составив уравнение для %" в переменных «7 и Х, мы можем затем отыскивать решение этого уравнения, зависящее, например, только от чь !)сио тогда, что линии тока нашего движения вязкой жидкости будут совпадать с линиями «7 = — сопз!., т, е. линиями тока некоторого потенциального движения, хотя само движение не будет потенциальным, если вихрь 11 = — ЬФ' будет отличным от нуля. Прежде всего преобразуем к новым переменным выражение д««Р д«%' д%= — + дх' дуа При этом мы будем для отчЕтливости пользоваться временно с.тедующим обозначением: д'% д'%' Составим теперь производную дт дв . дт дц дХ --= — — « — =- — -1-!в дх дх ду ду дх Введвм теперь вместо х и у криволинейные координаты «7 н у, которые мы выберем таким образом, чтобы выра~кение т=«г(х У)+'Х(х У) было аналитической функцией от з = х + «'у, 476 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1гл.
и и обозначим через (З квздрат ее модуля: =4!'=(Й)'+В'=-(Й)' 6,')'= дт д дт ди .0(т, 7) дхду дудх )2(х, у) ' (1 8.5) и, во-вторых, имеем равенство 1 д д2!п!2 — !и — =— л-. дх ду д — !Вф 1 2 Простое вычисление показывает, что Ь!е' =- Я Д,%', (18.6) е Левая часть уравнения (18.2) может быть представлена в виде якобнана: дг ддг дг ддч !з(дч, ч) ду дх дх ду тз (х, у) но, как известно, для якобианов имеет место правило дифференцирования сложных функций: Р(дч, 'г) тз(дч', ч) тз(В, т) тз(дч', ч') о (с) дтФ', '!') е!(х, у) ЕЗ(7, 2) тз(х, у) т)(т, К) !З(т, 7) Г!оэтому уравнение (!8.2) принимает следующий вид: д(0Д,т) дз д(!)Д,пу) дч.
д д Д ((~Д Ч) (18.7) Поскольку теперь мы будем рассматривать все функции зависящими от о и у, не будем больше писать значок ~7 при обозначении лапласиана Д. Производя дифференцирование всех членов уравнения (18.7,' и деля все члены его нз Я, мы придем к равенству: ( ) д!п!Е д1Г д)~!) дз"! дд'Г дч' да%'д'Г 1 Дпт+ ду д~ ди дт/ ду дк ди дт функция 1п(Ж!Вх) есть аналитическая функция от г и, следовательно, от т.
Вещественной частшо этой функции является, как ИЗВЕСТНО, !дт! '"~ ~ 2 Отсюда мы заключаем, что, во-первых, 1п Я есть гармоническая функция, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа Д 1п Я = О (18.9) РЕШЕНИЕ ГАМЕЛЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ 477 Ь 1Ь1 Введем теперь обозначения д1п0 д1п0 — =а, дт ' дк (18. 10) ~огда мы будем иметь 2 — 1п — = а+ 7Ь. да дг (18.11) Заметим еще, что Итак, уравнение (18.8) принимает следующий окончательный вид: ч [ богу-+ 2а — — 2Ь вЂ” +(от+ Ьэ) о%~ = дайг да'Г дт дт Достаточно решить это уравнение для каких-либо гармонических сопряженных функций а(О, у) и Ь(О, )(), чтобы получить некоторое точное решение уравнений движения вязкой жидкости. Мы примем, что а и Ь суть постоянные величины.
Интегрирование уравнения (18.1!) даат нам в этом случае, что а~ а+Ба + откуда аь~Ь =се дг разделяя переменные и еще раз интегрируя, найдзм: аЬЬЬ С( — г.) = — „+га цлн, наконец. 2 — 1п (г — гь). (18,14) Поэтому равенство (18.9) дает нам, если принять во внимание ещв (18.10), что — = а'+Ьэ. (18.12) ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 478 !Гл, гг Здесь положено для простоты С= — —., что нисколько не вре. 2 а+гЬ' дит опщности рассуждений, Вводя полярные координаты г — ха=ге! в (18.15) н разделяя в (18.14) вещественную и мнимую части, получим: 2 (а1п г+ ЬО) 2(Ь !и е — аа) —,.+„Х= а,+, Очевидно, что кривые гу = сова(. и ( = сола!.
Образуют два семейства логарифмических спиралей, ортогонально пересекающих друг другз (рис. 162). Рвс. !62. Мы можем теперь отыскивать частные решения уравнения (!8.18). Так, например, Гамель ггашвл решение этого уравнения, зависящее только от г!г: гу = Х(:7) (18. 17) Осеен ') рассмотрел решения уравнения (18.13) вида: ,г (гг) + сх (18.18) ') О в ее и с. 'ег., еха!гге (.овппяеп г!ег ьуг(гоггупашгвсьеп 0г(!егепгва!й!егсьппйеп, Аги!ч (пг Мзгешани, Авгг.
ппй Гув!!г, №№ 14, 22 (!927). гвшениг. гамаля и вго ововшвния 479 4 !В! где с — постоянное число; Розенблатт ') же изучил более общие решения уравнения (18.!3), име!ощие вид; % =У(р)+х У!(Р). (18. 19) где т — положительное число. Рассмотрим, например, случай Гамеля, т. е. положим, что цт = у (ц')' (18.20) тогда уравнение (18.13) приводит к уравнению четвертого порядка для определения функции у: (!У+ 2аУ." ( (ив тг Ьх) У У.
У которое сразу интегрируется Г"+ айвз+(из+ь'~1 — 2 — у"=С, где С есть произвольная постоянная. Положим теперь, вместе с Гамелем, У'=. и, (18,21) тогда и удовлетворяет уравнению второго порядка и" + 2аи'+ (аз+ Ьз) и — — из = С. 2ч (18.22) Проекции скорости в цилиндрических координатах просто выражаются через и; в самом деле, аналогично формулам (18.1), мы можем написать: 1 дц" дц' — пе =- г да' дг' (18.23) (18.24) ') ровен 6! а!! Л., Бо1ннопв ехас!ев дев ецпанопв дп шопкешеп! дев !!цн!дез т!вцнекх, Машет!а! дев 8с!епсев Мат1ьешанцпев, 1авс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
