Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 73
Текст из файла (страница 73)
е. вытекание в случае источника, втекание в случае стока. Ясно тогда, что в случае источника и положительно, причЕм на стенках обращается в нуль. Это может быть только, если е, ) О, еа ( О, пРичЕм и лежит в ЕРомежУтке 0<и <е,. Напротив, в случае стока и отрицательно, поэтому должно быть еа ( О, е, )~ 0 и е <и<О. Резюмируя сказанное, получаем: в случае стока все корни вещественны, причвм 2 е, (и (О. е,~~о ез( )Е ' 117.17) ЗГ1 теереекееекае еккрамекаккка, е. и О и(еи причвм е, должно быть положительным. Ясно, что мы имеем дело с источником.
Пусть теперь все трн корня вещественны. Рзсположим их в порядке убывания дВижеНие Вязкой жидкости 1гл. и в случае же источника есть один вещественный положительный корень е, и два корня ея и ез либо отрицательных, либо комплексно сопряженных, причйм 0 ~( У .( еи (17.18) рассмотрим теперь подробнее случай источника. Из симметрии ясно, что максимальное значение функции У, разное ен достигается на оси диффузора, т. е.
при 8=0, При увеличении 6 значение У уменьшается, следовательно, в формуле (17,16) нужно взять знак минус и за нижний предел нужно взять еи Итак, в случае источника: а Значению У = 0 соответствует 9 = — . Это дает нам равенство: ~гГ: б л 1/(е, — У) (У вЂ” еа) (У вЂ” ез) Так как: ~/ 2 2—," г(Е— последнее равенство (17.14), эквивалентное в случае источника равенству 2 / У(В)лб= —,', э даат нам условие ~Г к )' = (17.21) У ДУ 'г (е, — У) (У вЂ” ее)(У вЂ” е,) Три равенства (17.15), (17.20) и (17.21) служат для определения трех величин еи еа и ез при заданных гт и а.
Однако эта система не всегда имеет решение; мы это покажем при помощи простых оценок. Мы имеем вследствие (17.15): (У вЂ” еа) (У вЂ” е ) = У' — (е,+ ее) У+ ввез= У'+~е, + — ) У+еэез ба ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ я так как дла слУчаЯ источника езез) 0 (ибо ез и ез либо комплексно сопряженные, либо ез ( ез (О), то ((/ — е2) ((/ — ез) ',» ~е2 + — ) 1/. 6» Поэтому из равенства (17.20) находим: «~// — ',. ( ~ о 1/ (е,— (/)(/~е,+ — ~ н так как е(х о )/ (/ (е, — Щ ./ )/ (1 то получаем оценку а р/ 6 ( или а ( г .
(17.22) 1/ е,+— / 6 йе, (е е 6 Мы видим, таким образом, что угол а во всяком случае должен быть меньше к, Пусть теперь угол а задан. Из условий (17.18), (17,20) и (17.21) мы сразу можем вывести неравенство: откуда следует, что е1а ) 1. С другой стороны, из (17.22) вытекает, что ~е1а 2 2 — (и — а, 6 т. е. вследствие предыдущего неравенства: 6 (ае — ае) Й( (17.23) Итак, расходящееся течение в диффузоре рассматриваемого типа нс может иметь места при больших числах Рейнольдса. Следовательно, при больших числах Рейнольдса вытекание жидкости из лнффузора может происходить только таким образом, что внутри днффузора области вытекания жидкости будут сменяться областями втекання. !гл ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСтн Таким образом, для случая расходящегося течения в диффузоре заданного угла раствора ц (,. мы имеем следующую картину: при малых числах Рейнольдса имеет место симметричное течение рассматриваемого типа; при увеличении числа Рейнольдса наступит момент, когда на стенке не только и, но и и' обратятся в нуль.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса будут сушествовзть толю!о такие решения, в которых области вытекания жидкости будут сопровождаться областями втекания. А именно, мы будем иметь вытекание в некоторой области — р < 0 ( р, где 1! < з/2, и втекание около стенок в областях 1! < 0 < а(2 и — з!2 < 0 < — 13. Будут существовать также и более сложные картины течении, в которых имеет место вытекание около одной генки (в некотором интервале - — а(2 < 0 < т) и втекание около другой (т < 0 < а(2).
Число таких чередуюгцихся областей втекания и вытекания может быть сколь угодно большим, причем при увеличении числа Рейнольдса растет и минимальное число чередующихся областей вытекания в втекания жидкости. Если бы вязкость отсутствовала, то течение жидкости представлялось бы прос~ыми формулами '): 1 р~Р и = —, Р=Р —, т.
е. жидкость вытекала бы во всех направлениях с одинаковой скоростью, Мы видим, что расходящееся течение в диффузоре при больших числах Рейнольдса резко отличается от соответствующего потенциального течения. Обратим ещз внимание на то, что расходящееся течение в диффузоре есть течение против градиента давления, так как в потенциальном потоке давление быстро убывает при г — ь О. В случае стока мы имеем совсем другую картину. Напишем для этого случая основные формулы. Мы знаем, что в случае стока еа<и<О, е!)~О, еа( — —. (1 7. 26) Считая течение симметричным относительно оси дуффузора, мы должны принять, что минимальное значение функции и, равное ея, получается при 0= 0.
При увеличении 0 увеличивается и и, следовательно, в формуле (17,16) надо взять знак плюс и за нижний предел надо взять е,. Итак, в случае стока (17.26) ') Зги формулы легко получить, интегрируя (17.!) при л = 0 и применяя формулу (17.9). течение В днФФхзояе 1и Условие (7 (а(2) = О дабт равенство о „~/ (4 л(7 б 7 У(е, — и) (и — е,) ((г — е;) ' (17.27) последнее условие (17.
14) †. равенство: Наконец, мы имеем основное соотношение (17.15): б '~ + ее+ ез = й' (17.29) и" +4и+ Я(7з — () = О, где 0 есть произвольная постоянная. Так как Я считается малым, то в предыдущей формуле можно пренебречь членом Я()а; в результате получим уравнение (7л + 4(7 = О, (17.30) козорое непосредственно интегрируется, 0 =.
— + Л соз 25+ В сйп 29, В 4 причем Л, В и В суть произвольные постоянные, подлежащие определению из трех условий: «!3 (/~ и — )=О, ( (7(6)И=+1. Эти условия дают нам следующие равенства:  — +А сова+В з1п з= О, 4 17 — +Лсозз — Всйп з=О, 4 — з+ А з1п а = + 1. В 4 Покажем, что для случая стока симметричное решение рассматриваемого типа имеет место как для случая очень малых, так и для случая очень больших чисел Рейнольдса. Случай малых чисел Рейнольдса мы разберем сразу и для случая стока и для случая источника. Проще всего при этом исходить из установленного нами выше уравнения (17.12): 470 движвиив вязкой жидкости !гл.
ц Считая, что угол и меньше к, сразу получим, что В=О, А= . —, е)= з!ва — а сова ' а!па — а сова причЕм верхний знак всегда относится к случаю источника, нижний — к случаю стока. Итак, искомое решение имеет следующий вид: соа 2З вЂ” соа и и(О)=+ Мв а — а соа а (17. 31) Вспоминая формулы (17.2) и (17.11), получим для радиальной скорости течения выражение: 0 (соз 20 — соа е) о(г, О) = —. г (а!и а — а сое я) ' (! 7.32) 30 аа — 4ае о(г, О)= —— (17.33) Как видим, получилось распределение скорости по параболе, чего и следовало ожидать, ибо, в силу малости угла и, мы приблизились к случаю течения между двумя параллельными степками, причем, вследствие малости (т, влиянием сил инерпии можно пренебречь.
Рассмотрим теперь случай очень больших чисел Репнольдса Й. Как мы знаем уже, в этом случае симметричное течение рассматриваемого типа невозможно, если течение расходящееся, Остается исследовать случай стока. В основу рзссуждении мы положим уравнения (17.27), (17.28) и (17.29). Угол а мы считаем ааданнов величиной, не превосходяще!1 2к, величину же Й будем считать очень большой. Введаы теперь в интегралы (17.27) и (17.28) вместо 1l новую переменную ф, положив (l =е,+(е, — е,)созз ф= е, — (е,— ез) з!па~, (17,34) и введем еще параметр !г ( 1, положив е1 — ет е,— е, (1 7.33) пригодное одновременно и для случая источника и для случая стока (см.
рис. 160, вычерченный для случая источника при а = 90'), Как видим, распределение скорости в случае малых чисел Рейпольдса получилось по косинусоиде как для случая расходящегося, так и д~!я случая сходящегося течения. Остановимся ещЕ на частном случае малого угла раствора диффузора. В этом случае результат значительно упростится, если функции, входящие в формулу (17.32), разложить в ряды по возрастающим степеням О п а и ограничиться главныл!и членами полученных разложений: 471 ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ Ф!и уогдз будем иметь: е,— (/=(е,— е2)21п ф, е2 (е! е2) соэ ф, еа=(е! еа)(1 — гг гйп ф), нl = — 2(е,— е )з!пфсоэфсгф, при этом значению (/ = е, соответствует значение ф =;т(2, а значе- нию (/= 0 значение ф= фа, где фа есть решение уравнения / е, / — е, з!и фа = фг — —, соа фа = ф е,— е,' Г !О<ф„<ф. (17.38) Л у'-=- й 2 2" Иф а гу: ( гг — -Рта — ~ Ф (17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
