Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 76
Текст из файла (страница 76)
ч) 20. Задача об обтекании полубесконечной пластинки несжииаемой жидкостью. Пусть плоская полубесконечная пластинка движется параллельно самой себе с постоянной скоростью о вдоль отрицательной оси Х. Нам удобно будет обратить движение и рассматривать обтекание пластинки, расположенной вдоль осн ОХ(х>О), движвнии вязкой жидкости 1гл. и На бесконечности имеем условие дф —,=и.
ду (20 А) Для удобства решения задачи перейдем от координат х, у к параболическим координатам хи у, с помощью соотношения (20.5) где я= х+1у, -.= х,+!уи так что х =х',— уг, у = 2х,ун Коор- динатные линии х, = сопз1. = С представляют собой параболы Сг,г 1 4С~ причем линия у,=О вырождается в дважды проходимый отрезок вещественной оси от х= О до х=+ос. Чтобы перейти в уравнении (20.2) к новым переменным, мы можем воспользоваться преобразованием, приведенным в предыдуацем параграфе; достаточно положить в (18.3): о (х, у) = хо у (х, у) = уи При этом будет по (18.5) и уравнение (20.2) по (18.7) может быть записано в виде дФ д аф дф д аф а,Ф вЂ” ада ду, дх х +у, дх дуа ха+уа х~а+уа г г г г .г ,г ' (20.6) причем да,1, даф дар = — + — ' дхг дуг Установим теперь краевые условия для ф. Пластинка соответствует линни у, =О.
Таким образом, по (20.3) инеем дф при уа —— О: ф=О, — У=О. ду, (20.7) При удалении от пластинки скорость должна стремиться к (а'. причем линия х,=О вырождается в дважды проходимый отрезок вещественной оси х от — со до О. Линии у, = сопя(. = С являются также параболами 1 х=, у' — С', зАЛАИА ОБ ОБтеклнии полуБескОнечнои плАстинки 437 удаление ог пластинки отвечает стремлению у, к со.
Так как дф дфдх,+дфду, 1 / дф д~~ ду дх, ду ду1 ду 2(л~+у1) ~ дх, ду, ! дф дф дх, дф ду, 1 / дф дф ! — +' х,— — у,— дх дх1 дх ду1 дх 2(х~~+ угг) ~ дхг ду то мы имеем 1 дф ОУ вЂ” Ох г 1 2дх,' Разделим это равенство на у, и устремим у, к со, принимая во внимание, что при у1-ьоо Ог — ь(l. о —.
О. Получим; Будем искать решение уравнения (20.6) в виде ряда 1 1 1 ф- хг)о(уг)+ —.11 (у1) + —., Тг (у1) + — з.гз(у1)+ . (20 9) 1 (20.8) Ряд этот можно рассматривать лишь для больших значений хо сходимость его сомнительна, но можно считать его асимптотическим рядом. После подстановки (20.9) в (20.6) получим, собирая члены прн одинаковых степенях хп рекуррентную систему обыкновенных диффеРенциальных УРавнений дла опРеделениа фУнкций уо, Л, Уг, ...: 1о1У+ 1оК+ ГХ = О (20.!О) 1У,' + УА"'+ 8~о~1 + Уо У~ — ~„'о ~1 = ' ~у~ Уо'+ 4уг Ую")+ + У'(оГо + 8У1)о)о+2У 1о1о' (20 11) + Уоуг' + бгг о~г 8~ох~я = — Я 1,~„'' — бУ,У'„Г„'+ 4У, 1о 1 )+ +у, ДГ "+ б|„'У'; 4-87",У,'— У;о У,')+2у,(У,.У," — У,"У„))— — 2(уоу;+бую1 + уг уго — 8у'1~1,"), причем правая часть содержит независимую переменную у, и функ1шн у'„, уг...,го 1 с нх производныип до 4-го порядка.
и вообще ') ~У+-УоУ'„"+(2Л+ )го.ул+ УоУ.=~.(У1 Уо 71 " )'.-1) (20.! 3) днижн!ив вязкои жггдкости 488 ггл Ход решения будет теперь следующим, Из нелинейного уравнения (20.!О) надо определить г'. После того, как у' известно, мы можем перейти к определению у', из линейного (по отьошению к Гг) уравнения с коэффициентами и правой частью, зависящими от г" . Далее, определим ут нз линейного (по отношению к Гв) уравнения с коэффициентами, завнсащими от Уо и С пРавой частью, содеРжищей Уги Уг и т.
Д. ГРаничные УсловиЯ длЯ фУнкций Уо, ги ... бУдУт следУющие у (0)=у",(0)=0, а=О, 1, 2, 3..., (20.14) 1пп — '=26', 1ип — "=О, и=1, 2, 3, ... (20.15) у,-+с У~ у -+~> У! Применяя правило Лопиталя, запишем условия (20.15) в виде уо(= ) = 2(у, У„'(оо) = О. (20.161 Обратимся к решению уравнении (20.10). Заметим, прежде всего, что оно может быть записано в вггде: (у г о + у оУо) (20.1 7) и, следовательно, допускает одно интегрирование; после проьедення этого интегрирования получим чань" + Ы= 0 (20 18) Уо=У ~(Ус(с) уг= о тт~ сг г 20.191 При этом мы получим уравнение 2." -4- ".чи = 0 120.20) (20,21) и краевое условие '"(0)=(,г(О)=-0, Г(оо)=1, '1 Вга в г и в и., бгеигвсыс1г!еи 1и Ршвмйкепеи ии! 1г1е1иег йюьщир йв.
1. гйагь и. 1У1~ув. 1тб (1908), стр. 1 — 37. (постоянная интегрирования выбрана равной нулю, что обеспечивает затухание у;; и у,„'" по оо). Уравнение (20.18) известно в гидродинамической литературе под именем уравнения Блазиуса. Оно впервые было исследовано в 1908 г. при решении задачи о пограничном слое (см. ниже 9 32), с теин же краевыми условиями, что н в нашей задаче'). Для исследования это~о уравнения перейддм к безразмсрной функции ч и безразмерной координате с из условий: П!цем решение уравнения (20.20) в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням Ь Обозначим еще ч" (О) =а.
(20.22) Тогда последовательно дифференцируя уравнение (20.20) и псиользуя условия (20.2!), легко найдем ("(О)=0; С' (О)=0; Гх(0) = — — кз, 2 Г1рпненяя к равенству (20.20) формулу Лейбница, легко обнару!кить, что вообще Исч(0) ="зь'!'(0)=0 (Уг=-О, 1, 2, ...), (20.25) Г1оложим, далее, Г' (0) =( — — ) сеаа+! (Те =О, 1, 2, ...) (20.24) н найдЕм рекуррентные соотношения для коэффициентов с; мы имеем прежде всего с„=1. Применим теперь формулу Лейбница к (20.20), взяв от обеих частей этого равенства производную порядка Зл — 1; тогда получим: С!зеез! 1 ГГ!зз-И„-" ! (ЗЛ вЂ” 1'~~<за-е~«+ +ччпа+И~ Гл! л! где ( ) = — ' означает биноминальный коэффициент. ( т,) ж! (л — лг)! Пользуясь формулами (20.2З) для начальных значений производных, получим равенство: г!зьэ !(0) 1 (,!зе-и(0)(л(0)+(ЗЛ вЂ” 1)г!зз-з!(0)Глл(0)+ / А-! (0) !за+и (0)~ 1 ~~~у~ (Зй 1 ) «!з» вЂ” 1-зг! (0) Г!зг+11(0) г е подставляя, наконец, сюда значения (20.24) и сокращая все равенство на ( — — А) я, получим искомую рекуррентну!о формулу: 2) А-! са =,~а ( З ) сз-е-!сг.
(20.25) е=е Теперь мы без труда можем написать ряд Тейлора для функции Г: а-е (20.26) а зч БАДАИА ОБ ОБтБКАННН ПолуБЕСКОНЕЧНОИ ПЛАСТИНКИ 439 движвнив вязком жидкости 1гл, и При заданном а этот ряд сходится для достаточно малых по модулю значений 1. При а = 1 мы получаем функцию а=о ' (20.
27) дающую решение уравнения (20.20), определяющееся начальными условиями Со(0) = О, "о(0) = О, "о (0) = 1. (20.28) Сравнивая выражения (20.26) и (20.27), легко убедиться, что С (1) = а"Со((а'л) (20,29) При больших значениях 1 мы не можем воспользоваться рядом (20.27) для вычисления функции Со(г) и должны прибегнуть к аналитическому продолжению, чтобы получить значения функции С (1) для всех положительных значений 1. В рассматриваемом случае практически проще всего произвести численное интегрирование уравнения (20.20), В самом деле, мы сейчас покажем, опираясь на элементарные соображения, что кривая ".о(1) имеет очень плавный характер.
Вследствие начальных условия (20.28) функция Со(1) и ее две Г первые производные Со(1) и Со(1) при малых положительных значениях 1 положительны, а так как при всяком с ю 1 Со = — — оСо 2 (20.30) /11 го Со (с) будет при тех же условиях отрицательна. Покажем, что пРи всех положительных 1 фУнкциЯ Со(',) и ез пРоизводные '.о(1) а а и Со(1) будут положительны, а производная Со (1) будет отрицательна. Рассмотрим прежде всего Со(1) и допустим, что эта функция обращается в нуль в некоторой точке 11 О. оставаясь положительной для 1( си Тогда в этой точке и Со обратится в нуль, согласно уравнению (20.30).
Но дифференцирование этого уравнения даат нам гч 1 ~ 1„ш Со = — -- СоСо — — Со"о 2 2 откуда следовало бы, что и Со (11) = О, и т. д. В результате получилось бы, что в точке 1, все пооизводные функции ч,(1), начиная со второй, обращаются в нуль, т. е, что функция Со(1) есть линейная функции, а это противоречит начальным условиям (20.28). 4 Я ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОН ПЛАСТИНКИ 491 так же как — и ! е! ш Го (Е) = е ! 1 Р„ 1п Ео (Е) = — — ) ",о (Е) о(Е или Еще раз интегрируя это соотношение и польауясь (20.28), найдем: ! г -- ~'и!Б!Ф Ео(Е) = ) е ' !ТЕ.
(20. 32) о При Š— ьсо этот интеграл сходится, так как подынтегральная функ! ция очень быстро стремится к нулю, ибо / Ео(Е)Ж при больших Е о по неравенству (20.31) имеет порядок Ео. Итак, мы доказали наличие предельного равенства Итак, при всех положительных Е функция Ео(Е) положительна, но тогда ясно, что Ео(Е) Е (Е)о(Е, о з "о (Е) = / "о (Е) л!Е о тоже положительны, а следовательно, по уравнению (20.30) функ- Ш ция Ео (Е) отрицательна. Теперь ясно, что при изменении Е от 0 до сю функция Ео(Е) все время убывает, функции же ",о(Е) и Ео(Е) все время возрастают. Докажем, наконец, что при Е -ь сс значение ".о (Е) стремится к определенному конечному положительному значению !о.
Возьмем какое-нибудь определенное значение Е, например Е = 1, и вычислим го(1) и Ео(1). Вследствие сказанного ясно, что при Е ) 1 Ео(Е) ) ' (1)+~(1ПŠ— 1) (20. 31) н. следовательно, Ео(Е) неограниченно возрастает вместе с Е, Из ра- венства (20.30) мы можем вывести, что ! „ о "о Ео 2 интегрируя это соотношение по Е в пределах от 0 до Е и принимая во внимание начальные условия (20.28), получим: движения вязкой жидкости !г.п. и Произведя численное интегрирование уравнения (20.30), получаем: А = 2,0854. Подберем теперь з так, чтобы удовлетворить граничному условию (20.22). Соотношение (20.29) показывает, что (.'(() = ";и'(Ь'") и, следовательно, при 'т-ь-э В щ ",' (() =- ач /е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
