Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 72
Текст из файла (страница 72)
То~да по известной теореме о вычетах будем иметь: — — = е'! (16. 26) 2я! и и — р л далее, на окружности 1,, вследствие того, что )и() р, будем иметь оазложение диеэззия вихяя 459 З <61 ~ й Я) 2я7< <1<с=1", о (16. 32) Но тогда ясно, что формула 116.17), в которой все подынтегральные элементы равны нулю, кроме элементов, соогветствуюших значению г< = а и бесконечно близким значениям, даст нам (16. 33) Ряс. 159 дает вычисленную по этой формуле зависимость ы/Г от г/а для значений 2 т)аз.= <!,, </4, <!,, 1.
совершенно отчетливо видно, как вихрь, сконцентрированный в начальный момент времени вдоль окружности радиуса а, начинает расплываться в обе стороны, т=-.2,7аз, т. е. пРн а=1 сж бУдет с=2,7 сек. Но Уже пРи и=1 .и окажется х=-450 мин. Отсюда ясно видно, что на вихрях малых размеров диффузия проявляется гораздо сильнее, чем на большнх. С этой точки зрения при рассмотрении атмосферных движений больших масштабов (циклона, антициклона) мы могли бы совсем пренебрегать вязкостью, считая воздух идеальной жидкостью.
Однако нужно иметь в виду, что движения атмосферы, особенно в нижних ее слоях, носят часто турбулентный характер; турбулентность же действует на вихри таким же образом, как вязкость, Иногда грубо оценивают гд диффузию вихрей, пронсхо- да дяшую под действием турбулентности, формулами, ана- д Г=ая', лоп<чнымн вышеприведенным, только коэффициент ч Г а а' дя берут гораздо большим чЮ (в 100 000 — 1 000 000 раз), й< В качестве второго при- ОЛ Г-дмера рассмотрим цилиндрн- лд Еу ческий вихревой слой. Прн- ! мем, что в начальный момент г вихри всюду рзвны нулю, д йа йд 1Ю 2Я М ДЮ Ю кроме окрун<ности радиуса а, на которой мы имеем равно- Рис. 158.
мерное распределение вихрей, причем полная интенсивность этих вихрей равна Г. Математически это означает, что функция 2еЯ) равна нулю всюду, кроме бесконечно малой окрестностн точки а, причам ДВИЖЕНИг ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ !Гг! и быстро заполняет всю внутренность круга радиуса а, после чего происходит процесс расплывания вихря по всей плоскости. Распределение скорости в этом гп случзе определяется формулой, вытекающей из (16.18) на основании сделанных предположений: б,б о(г, т) == а~ г а о (16. 34) фб йб б! 0 йб Гб гб Рнс.
!59. г'~а' '=А "Х(-:-)'"(5) л=! Н+ а' 2- 2 Х~ ) л(2!)' ! (16.35) м 17. Течение в диффузоре. Очень важным для понимания механизма течения вязкой жидкости вблизи стенок является подробное изучение точного решения уравнений гидромеханики. определяющего течение в диффузоре, т. е. в расширяющейся трубе. Мы будем разбирать, следуя в основном Гамелю '), только плоскую задачу, т.
е. будем изучать движение вязкой жидкости между двумя плоскими стенками, наклонйниыми друг к другу под углом а. Естественно предположить, что движение будет чисто радиальным (рис. 160). В соответствии с этим возьмем уравнения гиаромеханики в цилиндрических координатах (5.14) и поставим себе задачей найти точное решение этих уравнений следующего вида: о, = о (г, 0), ол — о, = О. ') Н а а е ! О., Бр!Та!!бгга!де Веъедиядеп таьег Р!Взз!9!ге!!еп, Запгез. Ьег!сш пег дев!зсйея Ма!пеша!псе! 'тесе!В$дзвй, 25 (!916), стр. 34 — 60. бг Но выражение в правой части с точностью до перемены обозначений (ыэ —— Г/2яг, а= г, г = а) совпадзет с правой частью формулы (16.21).
А тогдз ясно, что, производя ту же самую перемену обозначений в формулах (16.29), мы получим для рассматриваемого нами случая цилиндрического вихревого слоя следующие результаты: ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРГ В 1н уравнения (5.14) дают пои этих условиях следующие равенства: до 1 др (део 1 дао 1 до о( о — = — — — +ч~ — + — — + дг р дг 1,дге гт да'+ г дг г',) ' 1 до 2тдо 0= — — — + — —, ргда гада ' д(") 0 дг Последнее из этих уравнений показывает, что го(г, 6) =и(0).
(17.2) Очевидно, и(6) дает нам распределение скоростей в единичном расстоянии от начала координат, Среднее из равенств (17.1) приводит теперь к равенству до 2р. ди да гнр и'В ' откуда следует, что р (г, 6) = е и Я+ 7' (г). Наконец, подставляя это выражение для р в первое уравнение (17.1), легко найдем следующее дифференциальное уравнение для определения функции и (6): +4ц+ ' У () наг откуда видно, что как левая, так и правая части являются постоянной величиной. Итак, У (г) откуда 7() =, +С, РС 2г' и окончательно ,о (г, О) = — ' ~и (6) — — ~+ С ° (17 3) 2и Г Ст С другой стороны, и(0) должно удовлетворягь уравнению ц«+ 4и+ и С вЂ” 0 (17,4) рис. 100. которое легко интегрируется в квадратурах.
А именно, умножив предыдущее уравнение на и', мы можем после этого просто его движение Вязкой жидкости 1гл. гг проинтегрировать; в результате получим: ц2 у — +2из+ — — Си — С,=О. 2 Зч Решаем это уравнение относительно и'. и 4 ~7 ( нз был+. ЪчСи+ ЗчСя), кк Г2 = гз= — а' з разделяем переменные и интегрируем: )7Г 2 ли 1' — и' — бчи' + ЗчСи + ЗъС, (17.5) гз я'и 1 бч,/ ) 4и~ +24ш' — 12чСк — 12кСе (17.6) и полагаем и(0) = — 2т+ и,(6).
Тогда с(и=пин 4из+24чиз — 12чСи — 12чС =4и',— д и,— аз, где дт и да — новые произвольные постоянные. Если значение 6 при и= со есть 6, (конечно, О„может оказаться комплексным числом), то, как следует из (17,6): и, г(з — 0,) + ~" ки, )гь „у'~.. Таким образом, 6 является известной функцией от и, и, обратно, и, будет известной функцией от О. Эта последняя хорошо исследована, а именно, она непосредственно выражается через эллиптическую функцию )я Вейерштрасса. Итак, я !'(з зо) г — аз зз) ~ -'6, и, значит, и(6)= — 2~+$з( — 4,'г зз).
,л<з — з,) )' бч (17.7) Если воспользоваться зллиптическими функциями, то можно дать явное выражение зависимости и от О. А именно, переписываем предыдущее равенство в виде: ТЕЧЕНИЯ В ДИФФУЗОРЯ Э И1 Остается исследовать полученное решение, представленное формулами (17.5) и (17.7). Последняя из этих формул содержит три произвольных постоянных: 0я, 82 и дз, для определения которых мы имеем кзк раз трн условия. Прежде всего на стенках диффузора, з равнения которых пусть будут 0 = — Ч и)2, должно выполняться условие прилипания жидкости к стенкам: (17. 8) Кроме гого, мы должны выразить еще условие, что череа любое поперечное сечение диффузора в каждую единицу времени проходит определвнный объем жидкости.
Этот объем выражается, очевидно, формулой: — ~ Ф (г. О) г И = 1 и (0) сааб. (17,9) а 2 (17.10) Величину (;1 мы будем называть обильностью источника и будем считать ее заданной. Если О положительно, мы имеем дело с источником, т. е. с расходящимся течением в диффузоре; если же 1;) отрицательно, то мы имеем дело со стоком, т. е. со сходящимся течением. Итак, для определения трех произвольных постоянных 0Ф дт и 82 мы получили три уравнения (17,8) и (17.9).
Кроме того ясно, что искомая функция и(0) не должна обращаться внутри промежутка ( — а)2, я)2) в бесконечность.Мы не будем в полном объеме решать вопрос о том, имеет ли поставленная нами задача решения и, если имеет, то сколько будет этих решений и каков будет их характер.
Нашей главной задачей будет показать, что сходящиеся и расходящиеся течения в диффузоре имеют при некоторых условиях совершенно различный характер. Целесообразно при этом сразу же ввести в рассмотрение безразмерные величины. Основной безразмерной величиной является, как Рг мы знаем, число Рейнольдса )ч = †, где И вЂ” характерная скоРость, а ! — характернав длина. Формула (17.9) показывает, что в нашем случае величина 1;2 имеет как раз размерность, равную произведению размерности скорости на размерность длины.
Поэтому, обозначая через (1;2', .абсолютное значение величины 1~, удобно будет определить число Рейнольдса формулой движение вязкоп жидкости !гл и У"-, 4У+РУ вЂ” в=О, (17.! 2) а формула (17.5) превратится в 6~/ -",-'= ='- / "У вЂ”, (17.13) уз 6 уе 1 р,у ! р й где О, Ри рз — новые произвольные постоянные, Наконец, формулы (17.8) и (17.9) перейдут 'в 2 У(+ 2) О; / У(6)а~6= 61; (17.14) а 2 причЕм в последней формуле имеет место знак плюс для источника и знак минус для стока.
Разложим теперь полипом, стоящий под знаком корня в формуле (17.13), нз простые множители: Уз+ ~ У~ — О,У вЂ” 0,=-(У вЂ” е,)(У вЂ” еа)(У вЂ” ез). 6 Сравнение коэффициентов при У' в двух частях этого равенства показывает, что е, + ее+ еа= — —. 6 (17. 15) формула (17.13) принимает теперь вид:, l г'(е — У) (У вЂ” е,) (У вЂ” е;) Полипом третьей степени с вещественными коэффициентами, стоящий в правой части рзвенства, имеет три корня.
один из которых всегда вещественный, два же других корня могут оказаться или вещественными, или же комплексно сопряженными. Разберем сначала случай, когда имеется один вещественный коРень е, и Два комплексно сопРЯжвнных ез и ез. ТогДа ДлЯ всех вещественных У имеет место неравенство (У вЂ” ез)(У вЂ” ез) ) О Вместо величины и(6) мы введем в рассмотрение безразмерную величину У(6), полагая и (6) = ! () ! У (6). (17.1!) Ясно теперь, что уравнение (17.4) перейдет в ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРЕ е \11 и, следовательно, для вещественности корня, входящего в интеграл 117.16), необходимо считать е, — и )~ О, так что и ограничено сверху числом ен Но мы знаем, что на стенках и обращается в нуль, следовательно, и меняется в пределах от Одое,: Ег.ер Ег еа Еа.
Ясно вследствие равенства 117.15), что еа отрицательно и что 2 ез( я ° Очевидно теперь, что 1е, — и) 1и — еа) 1и — ез) ) О, если — сО ( и ( е, или еа ( и ( е,, 1е, — и)1и — е,)1и — ез)(О, если е,( и (еа или е, ( и ( ОО, Так как выражение, входящее под знаком корня в формулу 117.16), не может быть отрицательно, то ясно, что и должно изменяться либо в пределах от — ОО до ез, либо в пределах от еа до ен Но первый случай должен быть исключен, так как и должно принимать на стенках значение О, Итак, мы во всяком случае должны иметь: ет (и (ен Различим теперь случаи источника и стока. При этом как в том, так и в другом случаях мы ограничимся рассмотрением только наиболее интересного случая, когда во всзм диффузоре имеет место течение одного направления, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
