Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 70
Текст из файла (страница 70)
16) При 1) 0 функция о(г, 1) будет уже непрерывной функцией от г, так что при г) 0 скачка скорости уже нет. Можно сказать, что он рассеялся по всей жидкости. Рассматриваемое движение целесообразно поэтому назвать даффузией вихревого слоя, Из формулы (14.14) видно, что при г) 0 значение скорости непрестанно падает от величины ое пРи 1=0 до нУлЯ пРи т-+ОО. ПРостое вычисление по таблице функций Крампа показывает, что скорость уменьшится е2 вдвое через промежуток времени т = 1,1 — .
Составим еше выражение для вихря скорости к' о е еи де Мы видим, что в каждый данный момент максимальное значение вихря будет при г.=О, т. е. на месте бывшего разрыва скорости. Далее, простое исследование функции (14.17) показывает, что в лан"ом места величина вихря сначала нарастает, достигает максимума движении Вязкой жидкости [гч. и в момент 1=го/2» и затем палает до нуля; прн этом значении максимума равно, очевидно, )' х~1е !е~ В качестве второго примера рассмотрим движение жидкости, расположенной выше плоскости Оху и находящейся в нзчальный момент в состоянии покоя, так что о(г, 0)= 0 при г) О, (!4.18) н допустим, что ограничивающая жидкость бесконечная плоскость Оху внезапно получает в момент 1=0 скорость оо в направлении оси Ох, которую затем сохраняет.
Решение этой задачи легко получается на основании предыдущего. В самом деле, функция (14.16) обращается при г=О в 0; поэтому, если образовать функцию о(г ')=по ооФ (! 4.19) !2)'»Г I то ясно, что при с = О эта функция обратится в нуль, а при г=-0 в о,, т. е. уловлетворит всем поставленным требованиям. При любом г ) 0 функция п(г, 1) стремится прн ! — ьсо к значению оо. Это означает, что в вязкой жидкости, ограниченной с одной стороны твйрдой стенкой, последняя при своем движении увлекает за собой всю жидкость.
Заметим еще, что вследствие соотношения Ф(со)=1 мы имеем: 1 — Ф(х) = Ф( сю ) — Ф(х) = — ! е-му; ! е мК= —. ! е оп"ч (14,20) и, следовательно, формулу (14.19) момсно заменить такой: (., !) = '" ~,— о,(ч. )»я I (14. 21) 2 и»» Полученные выше результаты можно применить к решению ещз одной частной задачи. Пусть жидкость занимает полупространство ниже плоскости Оху и нахолится в начальный момент в состоянии покоя, так что, считая ось Ог направленной вертикально вниз, будем иметгм п(г, 0)=0 при г) О.
(14. 22) Положим, далее, что на свободную границу м<идкости действует. помимо нормального давления ро, еще касательное напряжение Т по. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ 4 44! оян,4ой величины и направленное по положительной оси Ох. Оп резин возникающее движение жилкости. 1( такой постановке задачи сводится, очевндно, в первом приближении вопрос о возникновении морских течений под действием ветра. Вспоминая выражение лля касательных составляющих напряжения, запишем граничное условие, которое лолжно выполняться на свободной поверхности, в виде де 14 — = — Т при »=0.
д» (14,23) Итак, нам нужно решить уравнение де д'е дг д»' (14. 24) прн начальном условии (14.22) и граничном условии (14.23). Покажем, как решение поставленной задачи можно сразу вывести из только что полученных результатов. Для этого заметим, что функция до д» тоже удовлетворяет уравнению (14.24) и, кроме того, начальному условию гл(г, 0)=О при г>0. ш= — Т при »=0.
Но легко видеть теперь, что если заменить пз на — Т, то функция о(г, Г), построенная нами во втором из рассмотренных выше примеров, будет полностью удовлетворять всем условиям для функции ш(г, Г). Поэтому, применяя формулу (14.21), находим, что в нашей задаче до 2Т вЂ” ~ е-пгГ4,. д» )4 т.,/ з зУ'.4 Дифференцируя это выражение по г, определим рдзо/джаз, а тогла из уравнения (14,24) найдем: 42 4 де 2Т вЂ”, 1 1 р — = — =е ' — ==в 44 4И дг )У„- 2 у-,у = )г — — „г На свободной же поверхности граничное условие, вследствие (14.23), имеет, очевидно, внд ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЛ ЖИДКОСТИ 446 1гл, и Интегрируя полученную функцию по Г и замечая, что при 1=0 о обращается, вследствие (!4.22), в нуль, находим: (14.25) Для численных подсчетов удобнее преобразовать эту формулу, Введем вместо г' новую переменную г„ положив Так как при 1 = 0 имеем ч = Оо, то получим: и л( гх Простое вычисление показывает, что -х' = — — +2 / е-ОЩ, Х х В результате получаем для функции о(г, 1) выражение: или, что то же, по (14.20): хФ / .(., )= ~( ~Г, м,+, ' ~2)'хт/ (14.2б) о(0, Ф) =2 — р 7' Гхг й и (14.28) При бесконечном возрастании у последний член в скобках стремится к нулю; второй остается конечным, а первый бесконечно растет, так что мы имеем приближенное равенство т I хГ о(г, 1) ж 2 — аг — при 1-ь Оо; (14,2У) И и при В=О мы имеем совершенно точно: з '11 стационлР темен(ие и(идкости межлу леумя цилинлРАИН 417 где г 2г т Решая уравнение (14.29), находим С=0,35, так что глубина г, на которой скорость о равна половине скорости на свободной границе, определяется уравнением г = — 0,7 у' „П Так, например, для воды ч = 0,018 с.(гз(се(с; примем, далее, г=-100 .и = !О' см, тогда Г== — — — 1,13 Х 10ю сек.
= 359 лет. 0,49э (14.30) Отсюда видно, что указанным образом морские течения объяснить нельзя, так как в движение приводятся только поверхностные массы воды; следует, по-видимому, думать, что движение воды будет не ламннарным, а турбулентным; грубо можно учесть турбулентный характер движения таким образом, что вместо коэффициента вяакости э нужно взять значительно больший коэффициент турбулентной вязкостсс ', тогда время, в течение которого внутренние массы жидкости придут в движение, значительно уменьшится. Кроме того, в задаче о морских течениях очень существенную роль играет отклоняющая сила вращения земли, которой мы в нашем примере пренебрегали. Мы заметим только, что при учете отклоняющей силы вращения Земли течение жидкости не будет уже одномерным и что скорость не будет с течением времени возрастать до бесконечности, как в нашем примере, а будет оставаться ограниченной.
Ф 15. Стационарное течение жидкости между двумя цилиндрами. Переходя к рассмотрению плоских течений вязкой несжимаемой жидкости, начнем с простейшего примера движения жидкости между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть жидкость заключена между двумя круговыми соосными цилиндрами радиусов г, и га (Рис 1о7), вращающимися около общей оси с постоянными угловыми скоростями (а( и мз. Определим движение жидкости, считая его стационзрным, а внешние силы отсутствующими, Вводя цилиндрические координаты г, в, г, можем, очевидно, считать, что движение происходит по окружностям с центрами на оси Ог, так что о, = о, = О, о,, =- о (г), р = р (г) чезнлно, проще все~о использовать уравнения движения вязкой жидкости в цилиндрических координатах (5.14), которые в данном ))ы видим, таким образом, что течение всюду стремится принять у скорость, которая имеет место на свободной границе. При эгон какой-либо глубине г скорость о достигает половины значения скорости на свободной границе в тот момент С когда — = е - н — г + СФ (Г.) = —, 'г ° 2 1гг 448 дВижсние ВязкОЙ жидкОсти 1сл И случае сильно упрощаются: 1 др ве р дг г дев 1 дп — + — — — — =о, дг2 г дг ге (15.1) Уравнение для о есть уравнение типа Эйлера, поэтому два его чзстных решения должны иметь вид: О=г л подстановка этого значения и в уравнение (15.1) дает 72(72 — 1)+Д вЂ” 1=0, откуда получаем следующие значения л: 721 1 ' 722 и следующие частные решения; 1 211 1' О2 Г Итак, общее решение уравнения (15.1) есть и = Аг+ †.
(!5.2) 8 г Ряс, 157 Произвольные постоянные А и В нужно определить из Граничных условий, которые, очевидно, имеют вид: О = Е11Г1 ПРИ Г = Г„ О=Е12Г2 В Г'=Ге, так как имеет место прилипание жидкости к поверхности цилиндров. Простое вычисление определяет А и В и дает окончательное выра- жение для еи (1 5.5) ~2Г2 в1Г1) Г + (011 о~2) Г1г2 ( — ) 2 21 2 22 г (Г2 — ге) Вычислим, какая сила трения действует на элементы внутреннего и внешнего цилиндров. Применяя формулы (5.15), находим: Ргв = 11 15.4 )- дв в 1 2ИН 2и (ч1 — м2) г1ге дг г г г(г — г) Рассмотрим, например, часть цилиндра С1, высота которой в направлении оси Оз равна единице. На элемент г, Ы9 этой части поверхности действует в направлении, касател1,ном к цилиндру, сила р,1г, л10, момент которой относительно оси цилиндра равен риг1145 стиаионАР течение жилкости иежлу лвумя пилинлРАми 449 (15.
5) Точно так же полный момент относительно оси Ог сил трения, приложенных к части цилиндра С,, отнесенный к единице длины этого цилиндра, равен: 2 2 М2 4119 (на — о1) г,г (15. 6) Таким образом, чтобы заставить цилиндры вращаться с предписанными угловыми скоростями, нужно приложить к цилиндру С, на каждую единицу длины этого цилиндра вращающий момент — М,, а к цнлннлру С, — вращающий момент — Ме. По известному правилу вычисления работы иеобхо:1имо при этом затрачивать в каждую единицу времени количество работы, равное 4ян (а11 — ч2) г1гя 2 2 2 гс = — М,1о, ™21оа-- г2 — г2 (1 5.7) Все это количество энергии, очевидно, диссипируется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
