Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(ч! Работа объй м ных и поверхностных с ил за тот же промежуток времени будет: ~ р~ и ~(т 11+ ~ ~ р. и ~(~ 1~, (и (5( где гт — вектор силы, отнесенной к единице объема. мрлвнепне притокл теплл 417 Итак, мы можем записать: с И /ГГГ .( /(еГГЬ) — (И Г,".и:Ч./(еГГГ! (и) еа (') Ге ) ! / и -и /е — ,'"еи;и/гг и ~и) р.. ги)гг, (3) (н Ю (10.
1) где интегралы в левой части берутся, как показывают значки, один раз в момент (а, другой раз в момент 71, а А — термический эквивалент работы. Деля обе части нашего равенства на !а †, устремляя (а к (1 н переходя к прелелу, получим: А — ",- ~ " рда+ — "- / „тр -, = (ч) Ра дТ е()т+ / л дл ((5+А / Г оР()т+А ~ (аи ° т)(7$. (10.2) (ч) (и) гл) По самому смыслу составления уравнения (!0.1) мы следим за движением одной и той же частицы, так что в уравнении (10.2) мы слева имеем индивидуальные производные по времени. Так как масса частицы сохраняется, мы можем заменить выра)«ение вила (е) где Ф вЂ” как а я - то функция координат и времени, н а Р д)"") С тругой стороны, по теореме Грина, и — г'!'о'= / д)е(л йта() Т) е(т д7 дл (3) ев ') Подробно зто доказано было в первой главе при выводе уравнения прите«а геила в Я 3.
27 теоретичееиви !«дреме«вииив, ч. 11 дв!(жение Вязкой жидкости 418 [гл. г! А ( р„ейск= А / (р» есоз(л, х)+р есоз(л, у)+ (з! (з! +р, е соз (и, л))»Ю = А ) (р, е)+ (р, е)+ (р, е)~»(.. Р д д д Таким образом мы можем записать (10.2) в виде: ат А / — р — е еФ+ / с,р — »(т = еЖ+ / 41ч(ИКга(1 Т)г(т+ !'ч + А ( рр е((т+А ( ~ — (р е)+ — (р е)+ — (р, е)~г1т. гч А »г» — р — „е е -1 — с„р — „= е+ И)ч (И пгаб Т) + Аргт ° е+ д д д +А ( — р е+ — р е-~- — р е(. ! дх (10.3) Соотношение это и является тем пятым уравнением, которое следует прибавить к четырем уравнениям Й 4 в случае сжимаемоИ жидкости. Температура Т связана с давлением р и плотностью р соотношением (для совершенного газа) Клапейрона: р= ррт, Вид е следует, конечно, уточнить при решении той или иной аадачи. В приложениях этого уравнения, которые будут иметь место в этой главе, мы будем считать е = О.
Уравнение (10.3) может быть преобразовано к более простой форме, если использовать уравнения движения (4.8). ЛеИствительно, умножая скалярно обе части (4.4) на и, получим дрх дрг др» рр е — рте.е+е — '+-е — +е — =О. (10.4) дх ду д» Но те=с!е((11, так что Фе з и рте ° е = ре ° — = -~ — е ° е, Собирая все члены в обеих сторонах под один знак интеграла, вспоминая, что объем (т) совершенно произволен и предполагая непрерывность полынтегральных функциИ, получим уравнение притока тепла в виде (гл.
и дВижение ВязкОЙ жидкости Отметим еща форму, которую примет (10.5) для несжимаемой жидкости при а= О. Здесь с„р — „= б(н (д дгас) Т) + АР ( 2 ~( — ~ + (- — ')' + ~ — '-Ц +~ —,',-"-+ —,.'~+( —,.-+ф+~;.'+ф ~. (10.7) Так как температура не входит в уравнения движения вязкой несжи. маемой жидкости, уравнение (10.7) можно решать отдельно, после того как поле скоростей определено.
Зто — обобщение на случай жидкости классического уравнения теплопроводности для твердого тела: дТ вЂ” = Шч (а'ассад Т), (10.8) где а' — так называемый «коэффициент температуропроводности». Новые краевые и новые начальные условия, которые следует вводить при решении нового уравнения (10.5), мы будем давать в каждом конкретном случае приложений этого уравнения в различных разделах этой главы. Заметим еще, что в сжимаемой жидкости часто нельзя будет считать коэффициенты вязкости постоянными. Это же относится и к коэффициенту теплопроводности А. Дело в точ, что и вязкость и теплопроводность могут зависеть от температуры Т.
Зависимость эта определяется в физике, и мы используем еа в отдельных конкретных приложениях (см, ниже). Здесь отметим только, что отношение Рс /)е (10.9) будет уже, для данного газа, постоянным. В этом отношении с — теплоемкость при постоянном давлении, которая, как р мы отмечали в главе по газовой динамике„связана с с, формулой с — с,=А)с.
Безразмерная величина Рс /л носит название числа Прандтля и обозначается буквой Р. Эта величина вместе с отношением сл с, должна быть прибавлена в случае сжимаемой жидкости к числам Рейночьдса, Фруда и Маха в рассуждениях о подобии. Б. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ $11. Одномерное течение между двумя параллельными плоскими стенками. В предыдущем разделе мы вывели основные уравнения гидромеханики вязкой жидкости в различных формах н установили ряд свойств, присущих либо всем движениям вязкой ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ 421 допустим егца, ч>но анги>них сил нет, что даизкение стационарно и происходит параллельно оси Ох, так что Л =? = =-О, от=о,=О, ох=-о(х, ), а) Основные уравнения гидромеханики (5.1) при сделанных допущениях сильно упрощаются: др >дьо дьо~ др др ди д„= р (, + ) —, = 0 — = О, — = О.
(11,!) Последнее из этих уравнений показывает, что о может зависеть тол>,ко от у и в; средние же уравнения показывают, что р может завпсегь тол~ко от х; но тогда п>рвое уравнение (11.1), в левой части которого стоит функция от одного только х, а в правой части функция от у и а, может выпал>яться только в том случае, если левая и правая части этого уравнения являются постоянными величинами. Итак, должно быть: — = сопз1. др дх Для определения т> имеем уравнение: де и деи — + — = ду~ дх' 1 др гь дх (11.2) и грзничные условия О=О при в=+1>, (1 1.3) вытекающие нз требования прнлипания жидкости к ограничивающим неподвижным стенкам.
Легко найти частное решение уравнений (11.2) " (11 3), зависящее только от в; в самом деле, в этом случае мы имеем; из>=>ь дх' и и> интегрирование этого уравнения да'т нам: о = — —.Ез + Аз >г-В, др 2Р дх ,>дкости, либо большим классам таких движений. Теперь же мы „,.рсходнм к исследованию отдельных конкретных движений вязкой »дкоспг и. в первую очередь, к исследованию важнейших из тех ;зь >зев, ко>да можно точно проинте>рнроват>, уравнения движения в„:,кой зкидкости. Прн этом мы будем иметь дело, как правило, с несжимаемой жидкостью.
?? качестве первого примера мы рассмотрим течение несжимаемой жидкости мезкду двумя париллельнызги ллос>сими стенка.ни. 11усть анен>>я эгнх плоскостей будут соо>ве>отвеяно г= — )>, г= >); ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСТИ 1ГЛ. и где А и  — две произвольные постоянные, для определения которых служат два уравнения (11.3). Иэ этих последних уравнений мы вы. води»и что 1 др 2; а. ,—,, — „1»а+Ад+В=О, —,— лг — Ай+В=О, 1 др 2»» дх откуда А=О, В= — — р аг 2и дх и, следовзтельно: о = — - р (аа — /Р). 1 др 2и дх Легко доказать, что полученное нами решение и есть то решение уравнений (1!.2) н (11.3), которое нам нужно. В самом деле, положим: 1 ар о = - — Р (аг — Ьг) + и (у, л); 2и дх тогда ясно, что функция и (у, е) должна удовлетворять уравнению Лапласа д'и д'и дгг , + —,= О (11.4) и двум граничным условиям и=-О или з=+Ь.
(!1.5) Рис. 133. Но если потребовать, чтобы тг, а, следовательно, и и оставались ограничениымл в рассматриваемой нами области, то единственным решением уравнений (11.4) и (11.5) будет и =О'). Итак, при сделанных допущениях, течение жидкости определяется следуюшей ззвнсимостью: о (ьг аг) 1 др 2и дх (1 1.6) На рис, 153 графически изображено полученное распределение скорости по закону параболы. Вычислим количество жидкости г,г, протекающее в единицу времени в призме, ограниченной стенками и двумя плоскостями у = О и у=а. Так как а л У' 1 др Г г г 2Л' дР о»(з ) (Ьг вг) с(х— 2,» дх,/ Зи дх ' -ь -а ') В противном случае функция и, будучи ограниченной при указанных греничнмк услоаияк, достигала бы максимума илн минимуме. то 2Л1Ь др и х Зи дх' 11 1.7) Леля это выражение на поперечное сечение 21!Ь вышеупомянутой призмы, получаем лля срелней скорости жидкости о выражение: — Ьэ др о =- — — — —.
Зи дх (11.8) Если взять на оси Ох лве точки Мз н гИ! на расстоянии 1 друг от друга и обозначить лавления в этих точках соответственно через р„и рн то, замечая, что др р,— рь дх получим из (11.7) для падения лавлення формулу: — ЗНО ! 2|Н 1! 1.9) Таким образом, в рассматриваемом слу:!зе падение давления на единицу длины прямо пропорционилъно коэффициенту вязкости и протекающему ]соличеству жидкости и обратно пропорционально кубу расстояния л]ежду стенкал]и. рассмотрим теперь другой частный подслучай. А именно, допустим, что жидкость ограничена двумя параллельнымп стенками, олив нз которых г =.— 0 остается все время неподвижной, в то время как другая е = и перемещается в своей собственной плоскости параллельно оси Ох со скоростью 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
