Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 63
Текст из файла (страница 63)
С другой стороны, мы, очевидно, имеем равенства: Ьпг = — йгг, йп1 = — бп, йпг = — йп, 1г: к' 1у у' 1г г' а тогда ясно, что функции пг и р, не удовлетворяют системе (5.1), что и доказывает необратимость движения вязкой жидкости. С этим обстоятельством тесно связано наличие так называемой диссиииции энергии, которая состоит в том, что при движениях вязкой жидкости некоторая часть механической энергии переходит в энергию тепловую. Исходя из уравнений движения, мы можем, конечно, обнаружить только потерю механической энергии, причам можем подсчитать количество теряемой энергии. О том, что эта энергия переходит в тепловую, мы судим уже на основании общего принципа сохранения энергии, по которому при потере энергии в одном каком-либо виде должно появиться эквивалентное коли- чество энергии в других формах.
Рассмотрим внутри жидкости произвольный объам -., ограничен- ный поверхностью 8. Как выше, обозначим через Р массовую силу. Элемент ггт имеет массу рггч, поэтому массовая сила, приложенная к элементу ггт, будет равна Рр иге, а работа этой силы за время ггс будет равна Р прггч игг, ибо перемещение элемента жидкости с(т равно ягс(д Работа всех массовых снл, приложенных ко всем эле- ментам объема -., будет равна: А, = ~ Р ягр иге ггс. (7.2) Лалее, к элементу иг8 поверхности 8 приложена сила ря игЯ, работа которой за время с(г будет равна р„. пего итд а работа поверхност- ных сил, приложенных ко всем элементам поверхности Я, будет равна; Ая = ~ Ра ' 1у ге ч г(й (7.3) 3 Пользуясь формулой (3.1) и формулой Гаусса, мы можем пре- образовать выражение А,: Аа= / (Рк ° Ягсоз(п, х)+Р ° Ягсоа(и. У)+Рг ' чгсоз(л Я)1г'~с(~— 8 д(рк в) д(ру'в) д(рг'в) ( д в д ° в д мы имеем далее д(р„,в) д(р .в) д(рг ° в) /дрк ( дру ( "г ) .
чг дх ду дл ( дх ду дк/ дв дв дв +р, д +р, — +р, — дк =~ П яг+Е. 26 Теоретическая гилромегакика, ч. 11 [гл, ц дВижение Вязкой жидкости 402 причйм мы пользуемся следуюшим обозначением: де де де =Рх ' дх +РУ ' ду +Рг ' дл = де„ де де дсх де дог дех де де +Ргх дз +Ргу дх +Ры дл Итак, А, + А, = ~ [Р ой+ 61ч П о-[- Е[ дт лгЕ Воспользуемся теперь уравнениями движения (4.5), тогда получим А, + А, = ~ [тп ° пр + Е[ г(т гЕ.
Ио если обозначить через Т кинетическую энергию рассматриваемого объема: ,/ 2 (7.5) то будем, очевидно, иметь: и так как гег' 1 г(~ — )= — д(о о)=о Фа=о тпИ, то г7Т= ~ ро ° ти дт ~й. 1 Поэтому окончательно получаем: А, + Аз = г7Т+ ~ Е г7т гЕ. (7. 6) Это равенство говорит, что производимая массовыми и поверхностными силами работа только частью идет на увеличение кинетической энергии Т.
Другая часть этой работы, которая, будучи огне- сена к единице объема и единице времени, численно равняется Е, в случае несжимаемой жидкости пропадает, как механическая работа. илн, что то же, Š— Р„„, + Р„„+ Р...+ Рхггг + Рх,й + Рггбг. (7.4) ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬНА 403 Таким образом, в случае несжимаемой жидкости количество диссипирующейся энергии, т. е. количество механической энергии, превращающейся в тепловую, будучи отнесено к единице времени и единице объама, определяется выражением (7.4), Если воспользоваться формулами типа .П„л = — )г+ 2реп Р~~ = Раз и условяем несжинаемости б)Ум=О, то легко получим другое выражение для Е= р.)2е, + 2е,+ 2ез+ О, + ба+ 84 = =Р(2(Д )+2(д )+2(д )+(д + д )+ Эта формула показывает, что диссипация энергии отсутствует только в таких движениях жидкости, когда все составляющие тензора скоростей деформаций приводятся к нулю, т.
е,, ко~да движение сводится к комбинации поступательного и вращательного движений, иначе говоря, сводится к движению твврдого тела. Я 8. Обобщение уравнений Гельмгольца. В главе Ч часта первой при рассмотрении вихревых движений в идеальной жидкости были выведены уравнения Гельмгольца. Смысл этих уравнений заключается в том, что они дают возможность количественного учата изменений, происходящих с вихрями. Выше было отмечено, что громадное большинство движений вязкой жидкости является движениями вихревыми. Понятно поэтому то большое значение, которое должны иметь в случае вязкой жидкости уравнении, аналогичные уРавнениям Гельмгольца.
К выводу этих уравнений, протекающему совершенно аналогично случаю идеальной жидкости, мы теперь и пРиступим, причем мы предположим для определенности, что имеем дело с вязкой несжимаемой жидкостью, находящейся под действием массовых сил, имеющих потенциал. Тогда основные уравнения гидро- механики даются формулами 15.4), первая из которых имеет вид: гщ — +ь) )г' ,и= — дгад Н вЂ” У го1за. дт Возьмем от обеих частей этого равенства операцию го1, тогда получим; го1 — +го1 19;х', и) = — уго1 го1Я, да (8 1) 2бь ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСГИ ггл, и ибо го1дгабгз'=О.
Заметим теперь, что, с одной стороны, 61чп=О, с другой стороны, г(1ч 1х = б(ч го1 тг = О. Поэтому формула векторного анализа го1(аХЬ)=ад1чЬ вЂ” Ьд(та+(Ь 7)а — (а х)Ь сразу дает нам, что го1(ЮХтг)=(п 7)9 — (й Р)п. Тогда так же формула (5.3) сразу показывает, что б за = — го1 гог й. Замечая, наконец, что да дго1э дй го1 — = дГ дГ дГ ' мы можем записать уравнение (8.1) в виде: — +(зэ 7)Я вЂ” ((2 ° 7) тг= э Ю или короче: (8.2) Это уравнение, равносильно трем скалярным уравнениям, первое нз которых мы выписываем: дцх дпх дйх дйх — а+ и — э+и — +и — х = дГ х дх У ду х дх и представляет собою обобщение уравнения Гельмгольца.
Полагая ч = О, мы получим уравнения, установленные Гельмгольцем для случая идеальной несжимаемой жидкости. В главе Ч части первой было подробно исследовано физическое значение этих последних уравнений. Из сказанного там вытекает, что уравнение (8.2) при х = О является математическим выражением следующего факта: вихри с течением времени изменяются таким образом, что вихревая линия все время совпадает с той жидкой линией, с которой она совпадала в начальный момент времени, причем интенсивность любой вихревой трубки с течением времени не изменяется.
Иными словами, вихри перемешаются вместе с частицами. Таким образом, те члены уравнения (8.2), которые не зависят от вязкости, определяют такое изменение вихрей, которое можно коротко охарактеризовать как перенос вихрей вместе с частицами жидкости. ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА з в] 0стается выяснить какое значение имеет последний член в уравнении (8.2) нли в уравнениях (8.3). Рассмотрим, например, уравнение (8.3) и заметим, что, как показывается в векторном анализе'), (~Ф::=В ° ~,, ( (Тж — рм,)~~ 6 -~о ~е~ где М есть пеРеменнаЯ точка сфеРы О' с центРом в точке Мз, Радиус которое равен е.
Отсюда вытекает, что если (ОО)ль) О, то среднее значение функции т на бесконечно малое сфере с центром в точке Мз больше значения функции р в центре Мз этой сферы; если же (др)м, ( О, то среднее значение функции О на сфере меньше значения этой функции в центре сферы. Вглядываясь теперь в уравнение (8.3), мы замечаем, что если цй„> О, то от члена с вязкостью величина ды (М получает положительную слагаемую, т. е.
в этом СЛуЧаЕ ВЛИЯНИЕ ВяЗКОСтИ СКаЗЫВаЕтея В ураВНЕНИИ Ох. НО, КаК МЫ только что указывали, в этом случае среднее значение (з на бесконечно малой сфере больше значения ьс, в центре этой сферы. Таким образом вязкость стремится сравнять значение В в какой-либо точке со значениями (2х в окружа1оших точках. Аналогичные обстоятельства име1от место н в слУчае АВх(0. Отсюда мы можем вывести заключение, что деяствие вязкости сводится к выравниванию значений вихрей внутри жидкости.
Коротко этот процесс выравнивания величин вихрей можно назвать диффузией вихрей. Итак, член тДВ в уравнении (8,2), зависящий от вязкости, определяет изменение вихрей, сводящееся к их диффузии. В дальнейшем мы будем иметь несколько конкретных примеров диффузии вихрей, Особенно простоя и важный внд получает уравнение Гельмгольца з слУчае плоского движениЯ. В этом слУчае О,=О, а Ох и О не зависит от е.
Уравнение неразрывности принимает вид: двх дв у — + — =О дх ду и показывает, что существует функция тока %Г(х, у, Г), через которую проекции скорости выражаются формулами: дж О дх д'1 Ф ду ' (8.4) ') См., например, Кочин Н, В., Векторное исчисление, ГОНТИ, 1938, стр. 191, Из трех составляющих вихря только одна зс, может быть отлична от нуля. А именно, мы имеем: дв двх Π— У " — АФ.
(8.5) дх ду дВижение вязкой жидкости 1гл. и Обобщенное уравнение Гельмгольца сводится к одному уравнению, аналогичному уравнению (8,3), имеющему вид: дц дй дня — '+о — '+о — '=чЬЯ. дс ' х дх У ду (8.6) Подставляя сюда значения о, о„и Я„окончательно находим следующее уравнение для функции тока чг: д Д%' дй' д Дв' дч' д Ь%' + — — — = ч Ьцг'г. дт ду дх дх ду Это уравнение, играющее фундаментзльную роль при изучении плоских движений вязкой жидкости, является, таким образом, математическим выражением тех изменений, которые происходят с вихрями в этом движении, 9 9. Закон подобия.
Число Рейнольдса. В предыдущих параграфах мы уже вывели, опираясь на общие уравнения движения вязкой жидкости, целый ряд свойств этих движений, например, что эти движения должны быть вихревыми движениями, что с течением времени происходит диффузия вихрей, что кинетическая энергия движения частью переходит в тепловую и т. д. В настоящем параграфе мы, также исходя из общих уравнений гндромеханики вязкой жидкости, рассмотрим очень важный вопрос о законах подобия в п1дромеханике, а также приведем ряд связанных с этим вопросом соображений.
Вопрос о подобии в гидромеханике особенно важен потому, что экспериментальные исследования могут быть произведены зачастую только над моделями тел и по этим экспериментальным данным необходимо бывает выяснить, как будут вести себя в соответствующем потоке сами тела. Положим, для определенности, в основу наших рассуждений уравнение гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости.
Выпишем одно из этих уравнений: дГ " дх У ду ь дх р дл — '+ о — '+ о — '+ о — ' = Л вЂ” — — + ч Ьо, (9.1) до, до до» доя 1 др г' (8.7) Рассмотрим теперь какое-нибудь движение жидкости, например обтекание сферы радиуса а потоком, имеющим на бесконечности скорость (/, или течение жидкости внутри цилиндрической трубы радиуса а со средней скоростью (.г и т.
п. Производя соответствующие экспериментальные исследования, мы будем иметь дело с различными размерами обтекаемых тел, с различными скоростями движения и с жидкостями различной вязкости. В соответствии с этим, в результате опытов получается зависимость формы течения и других интересующих нас величин. как, например, численного знзчения сопротивления, испытываемого телом при его движении в жидкости, от цело~о ряда параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
