Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 65
Текст из файла (страница 65)
'Т -. И= (гт ', [8) 1.Т- [р[ = М1. з, н обозначая численные в новой системе единиц иметь: х=Ах, у значения всех вышеприведенных величии темп же буквамн с чертой наверху, будем (9. 18) М р= —,о, М ' 1Т'' ' 1.' 111г Т 1И Обратим внимание на то, что В новой системе численные значения всех рассматриваемых величин изменились, но так как нами рассматривается одно и то же движение жидкости, то уравнения движения все равно будут удовлетворяться. Итак, величины О, О, о„ р, р удовлетворяют уравнениям двпжения, в которых вместо е стоит А и вместо г стоит г, Но тогла никто не может нам помешать вернуться к старым единицам и рассматривать такое новое движение новой жидкости (коэффициент вязкости которой в старых единицах равен ) н находящейся пол действием силы тяжести, ускорение которой равко д, в котором численные значения составляющих скорости, плотности н лавления, измеренные в старых единицах, равкы как раз о~, о, О„ р, р.
Из первых двух строк равенств (9.18) сразу вилно, что старое и новое движения будут подобны между собою. Последние два равенства (9.18), определяющие аначення, которые должны иметь для нового движения величины г и л, дают нам искомые условия механического подобия. Обозначая опять череа 1 и Ъ' и соответственно через 1 и Р характерные длину и скорость, мы будем иметь: ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЗЙНОЛЬДСА $ 91 н поэтому два послелних условия (9.18) принимают вид: Г) Кз Гз или з' Гл г) Ю Короче говоря, должно быть: й=й, т. е. в двух рассматриваемых нами подобных движениях числа рейзшльдса и Фруда совпадают.
Этот вывод, может быть, не столь простой, как предыдущие, замечагелен тем, что нам совершенно не понадобилось использовать вид уравнений движения вязкой жидкости: нам достаточно было знать только, какие величины входат в эти уравнения. С другой оторопь, этот вывод уясняет нам до некоторой степени связь, которая существует между законами подобия и теориеи размерности. К уяснению этоИ связи можно подойти ещй иным способом. Допустим, что нами рассматривается вопрос о сопротивлении О, испытываемом телом определзннои геометрической формы, двужущимся в вязкой несжимаемой жидкости прямолинеИно и равномерно со скоростью Ь'.
Обозначим характерный размер тела через Е плотнос ь жидкости через р, коэффициент вяакости через з. Если свободных границ нет, то действие силы тяжести скажется только в гидро- статической полъемноИ силе, т. е. на сопротивлении О никак ье отразится. Нам нет теперь надобности знать точный вид уравнений лвижения, а лостаточно только точно перечислить все величины, от которых может зависеть сопротивление з;). В данном случае мы будем иметь; з"Т = Ф (1, 1', р, ).
(9.19) Применим теперь соображения теории размерностей. Формула (9.19) лолжна иметь место, какой бы системой елиниц мы ни пользовались. Пусть, как выше, мы пользуемся физической системой единиц и пусть мы вволим новые елиницы длины, времени и массы, соответственно в Т., Т и М раз меньшие старых единиц.
Обозначая, как выше, численные значения всех рассматриваемых величин в новоИ системе единиц теми же буквами с чертоИ наверху, будем иметь — б — М вЂ” Л' — Мз. Ч'=Т 1' Г = дзпр, з=- — ж 4= — (е. Лз = Т Тз Т 'з) Фзз'1' т 1 зз р — ') ° (9.20) Поэтому равенство (9.19), которое должно иметь место и в новой системе единиц, принимает вид: 414 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОС1И 1гл.
~г Сравнивая (9.19) и (9.20), мы приходим к выводу, что должно существовать следующее тождество: й М ба 1 Мь Ф(,С(* у ~' — „Р .~ ) = —;, Ф(1 )г Р Я) Положим теперь в этом тождестве: гт тогда получим равенство Ф((, Ъ', р, э) = р1/зрФ (1, 1, 1, — ) . (9.
22) Чтобы подойти к обычной форме для сопротивления, обозначим через 8 величину площади проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению движения. Ясно, что 8=-а(з, где я есть безразмерная величина. Пусть, далее, есть число Рейнольдса. Если ввести теперь обоаначение 2,. ( 1) то формула (9.22) принимает вид: 2 Итак, при сделанных допущениях мы получаем следующее выражение для испытываемого телом сопротивления: яг;Я Ю=-Б- — УЯ) 2 (9. 23) Таким образом, чтобы уметь вычислить сопротивление, испытываемое телом данной геометрической формы при его равномерном движении во всех жидкостях, прн всевозможных скоростях и размерах тела, достаточно знать функцию г()т) одного только аргумента (т.
Эта функция в некоторых случаях может быть найдена теоретически, в громадном же большинстве случаев ее можно получить только экспериментально. Заметим еще раз, что для кажлой формы тела и лаже для одной и той же формы тела, но в различных его положениях (например, для эллипсоида, движущегося в направлении наибольшей оси и лля того же эллипсоида, движущегося в направлении наименьшей оси) функции г"(гт) будут различными. Если мы имеем дело с движением тела в вязкой несжимаемой жидкости при наличии свободной поверхносчи, то формула для 415 УРАВНЕНИЕ ПРИТОКА ТЕПЛА ь ю! сопротивления усложняется. А именно, вместо (9.19) мы имеем в этом случае формулу: (~=Ф(1, )г, р .
д). Те же самые рассуждения, что н выше, приводят в этом случае и формуле: а=5 — "".У(К, Г), (9. 24) 2 где Г=)гт)1д есть число Фруда. Ло сих пор мы всюду предполагали, что имеем дело с несжимаемой жидкостью. В случае сжимаемой жидкости все наши выводы усложняются. Как известно, в случае сжимаемой жидкости фундаментальное значение имеет скорость а распространения звука.
В связи с этим для сжимаемой жидкости появляется, кроме чисел Фруда и Рейнольдса, еще число Маха М вЂ” —. (9. 25) При одновременном действии сил тяжести и вязкости в случае сжимаемой жидкости два течения около или внутри геометрически подобных те.ч с одинаковыни числами Фруда, Рейнольдса и Маха будут подобными.
'1'очно так же закон сопротивления (9.24) усложняется и принимает следующий впд: а=5'~ У(К, Р, М). (9.26) Если число Маха 55 невелико, то у (г1, Г, М) †,г (1х, Р, О) и коэффициент Маха пропадает из закона сопротивления. Таким обрааом, влияние сжимаемости начинает сказываться только тогда, котла характерная скорость достигает значений, сравнимых со скоростью звука, й 1О. Уравнение притока тепла для вязкой сжимаемой жидкости.
Начиная с 9 5 и далее, мы занимались лишь несжимаемой 'Явкой жидкостью, Уже было указано, что в случае вязкой сжимаемой жнлкости четырех уравнений (4.9), (4.!О) недостаточно для Определения пяти функций р, р, о„, о, о,. С полобным обстоятельствоч мы столкнулись еще в главе по газовой динамике. Там нам "Ришлось прибавить пятое, заимствованное из термодинамики соотношение, и лишь тогда мы сумели замкнуть систему дифференциальиь'х уравнений.
Однако то уравнение, которое мы называли в пре"-"лУшей главе уравнением притока тепла, носило частный характер— чь| Рассматривалн там движение с большими скоростями и считали, «~о частицы не успевают обмениваться теплом с окружающим пространством. Сейчас мы рассмотрим общий случай. Имея в виду кони еть Ретные приложения, мы, как и прежде, ограничимся рассмотрением 'озершенных газов. (гл. (! ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП ЖИДКОСтп 416 Уравнение притока тепла мы выведем из принципа сохранения энергии.
Рассмотрим произвольный обьем (т) конечный или бесконечно малый, вырезанный внутри жидкости замкнутой поверхностью 15). Этот обьем обладает массой: ~р 1т, еа где с(т — элемент объема (т). Так же как и в случае газовой лина- мики, этот объем обладает двумя видами энергии: кинетической К и так называемой внутренней. Первая может быть представлена в виде д 2 вторая, для совершенных газов, имеет вид: с„ур !гт, н! где с„— тепловмкость при постоянном объйме, Т вЂ” температура. Изменение энергии частицы (т) происходит теперь, в отличие от того, что было в газовой динамике, не только зз счйт работы объвмных и поверхностных сил, приложенных к частице, но и за счйт притока тепла к этой частице извне.
Основным видом притока тепла к частице является приток, происходящий при помощи теплопровод- ности. Если обозначим коэффициент теплопроаодности через л, то количество тепла, прошедшего лагодаря теплопроводности через по- ВЕРХНОСтЬ ЧаСтИЦЫ ВНУТРЬ ЕЕ За ПРОМЕжУтОК ВРЕМЕНИ От ~! ДО Гя бУДЕт: / й — ',~ (зл, (ю где л — внешняя нормаль к элементу ((5 нашей частицы. Пусть, кроме того, е будет происходящей за счет других причин приток тепла за единицу времени и в единице объема частицы. Это может быть, например, притоком тепла от излучения. Тогда к прелыдущему интегралу мы должны прибавить величину ~ ~аа (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
