Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Складь>вая первые три формулы (3.18) и вспоминая, что 1 + 2 + еэ 11>> 2" лВнжепне ВязкО!! жидкост!1 [ГЛ. 11 й[ы уже упоминали, что постоянная й называется коэффициентолн внутреннего тренин или коэффилиентол вязкости. Нетрудно установить размерность этого коэффициента. Если М есть символ единицы массы, /.— елиницы длины и Т вЂ” единицы времени, то символом елиницы ускорения будет ЬТ 2 и сливины силы — М/.Т 2, поэтому символом елиницы напряжения р„, являющегося силой, †! — 2 отнесднной к елинице площали, будет М/.
'Т г, с другой стороны, размерностью Величины дох/ду служит, очевидно, Т . Так как рху дох доу — + — ' ду дх то для размерности р получаем выражение МГ~Т . Так, например, в системе С65 [х будет измеряться в г[с.и сек.
Например, коэффициент вязкости для воды при температуре 0'С равняется 0 018 г[см сек, а при температуре 20' С этот коэффициент имеет значение 0,010 г/сгг сек; для воздуха при температуре 0' С и давлении 760 мл! ртутного столба коэффициент вязкости равняется 0,00017 г[с.а сек. Часто для характеристики вязкости употребляют вместо й лругую величину, а именно ч Р эта величина носит название кинеэгатического коэффиииента вязкости. Так как размерность р есть ЛЕ з, то размерностью у 2 является /. Т; в системе СС/5 значения у измеряются в снг/се/с; например, при температуре 0"-С кинематический коэффициент вязкости для воды равняется 0,018 сг[2/сек, а для воздуха при вышеуказанных условиях 0,133 сл!2[ген.
В общем случае сжимаемой жилкости коэффициент Л остаатся наряду с р, так что формулы дчя напряжений принимают вид: дох / до„доу доу / д!'х дог 1 Руу — — — Р+Л<1[чп+23 д Рху=Рхх=Р ~ + ) (321) Р+" о!то+ай д- ' Ру: =Рту =[11 + д Чтобы определить коэффициент )ч можем сделать следующее допущение; примем, что давление в вязкой жидкости всегда равно взятому с обратным знаком среднему арифметическому из трах напряжений, приложенным к трам взаимно перпендикулярным площадкам, Формулы (3.!9) показывают, что это само собой выполнится для уРАВнения движения ВязкОЙ жидкости 355 несжимаемой жидкости.
Чтобь> это допущение выполнялось и в общем случае, надо, очевидно, положить 2 л=— 3 (3.22) ф 4. Уравнения движения вязкой жидкости, В главе 11, э 2 чзсти первой было выведено общее уравнение движения сплошной среды: ~ ()е — тв) э г(т + ~ р, >1О =. О, (4.1) 3 Здесь т означает произвольный объем, вырезаемый внутри жидкости поверхностью О, р — плотность частицы жидкости, Р— вектор массовой силы, отнесвнной к единице массы, тп — ускорение частицы жидкости, и — направление внешней нормали к поверхности О, р„ — вектор напряжения поверхностной силы. Мы имеем при этом равенство )з„ = >а, соз(п, х) + р сов (и, у) + р сов (п, г). (4.2) Преобразуем теперь поверхностный интеграл, входящий в формулу (4.1), в объемный. Для этого заметим, что имеет место следующая формула: асов(и, х)г(О = / — г(т, ,,/ Л да дх з (4.3) а=а 1+а /+»,я, где 1, д', )1 — координатные орты, то мы имеем, применяя формулу Гаусса, следующие три формулы; =./'-.-- " Л да, ахсоз(п, Х)ао / д дх Л да ар сов (и, х) г(О' = / — ~ ггт, дх Л да, а соз(п, х)г(О'=- / — 'а>т.
г ,/ дх ') Некоторые физики склонны вводить понятие второго коэффициента вязкости илн «второй вязкости» н не пользоваться допущением, приводящим я формуле (3.22), см., например, Ландау Л. Д, и Лифшиц Е. М., Механика сплошной среды, Гостехнздат, В44. 25 теор»н>'>««к»» »яр«и»«вня«», >. Н где а есть произвольный вектор, непрерывный вместе со своей производной по х в обьаме т.
В свмом деле, если составляющие вектора а суть а, а, а„ так что движение Вязкои жидкости 386 1гл, и Рк по ) (Р» соя(п х)+Русов (и, У)+ Пксоз (и, з)1 сЮ =- Потому рзвенство (4.1) принимает внд: дР» дру дР 1 ~<Р— тп) р+ — + — + — 1 (с=О дх ду дх ~ Мы, конечно, предполагаем при этом, что все те функции и их производные, которые мы рассматриваем, являются иепрерывныыи функцнямн от своих независимых переменных. Но при этол~ условии предыдущее равенство, в котором т есть произволвнай обьем жилкостн, может иметь место только в том случае, если в каждой жидкости в любой момент движения подынтегральная функция будет равна нулю. Мы приходим таким образом к следующему уравнению движения: 1 / ДР» ДРу ДР»1 Р— то+ — 1 — + — + — )=О.
я 1дх ду дх) (4.4) Его можно записать также в форме а>= Р+ — Д(у П. ! я (4.5) если условиться называть расхождением тензора Б и обозначать через г11ч11 вектор дР ДРК дР— + — + — = о(чП. дх ду д» (4. 61 Проекциями этого вектора на оси коо ДРкк ДРук (41КП)»= д» + д дРку друу (й(у П) = — +— у дх ду ДРк, ДРудх + д рдинат, очевидно, являются; + Ркк д дк дР,у (4.7) + д» дРкк +— дх нбо пРоекциЯми вектоРа Р, ЯвлвютсЯ Р„, Рк . Р, и т. д.
ку' Умножая первое из этих равенств на 1, второе на у, третье на Д н складывая трн полученные формулы, мы докажем равенство (4,3). Но тогда ясно, что на основании равенства (4.3) и аналогичных ему равенств, мы имеем: уравнения движения вязкой жидкости 337 $41 О)бозначая проекции массовой силы г 'на оси координат через Х, 1', х и вспоминая, что проекциями ускорения то являются величины ь(ох/г(г, ио )грр Ио,)ггг, найдем из (4.5) уравнения движения в следующей форме: ао, — — = 1'+ дг (4.
8) дог — = Е+ др Воспользуемся теперь формулами (3.21), (3.22) и предположим, что (ь = сопз1. Тогда без труда получим, что, например: 2 дщчо д'ох д'ох дгоу дго, д'о, +1 ду' +1 дхду+ 1 д»' +1 дхд» др 2 д Ич о l д'о.г д'о д'ог 1 дх 3 дх '1 дх' дуг д»' ) д г дох доу дог1 до 1 д дьч о +',— ~ — х+ '+ — ')=- — + — р +,бо.
дх 1дх ду д») дх 3 дх Поэтому, выписывая еше в полном виде проекции ускорения, получим из (4.8) следующие окончательные уравнения движения вязкой жидкости: дох дох дох — +о — +о — — -Х— дх У ду г д» доу до до — у+о — у+о — у= 'г'— дх Уду 'д» дог дог дог — '+о — '+о — ' = а— дх У ду ' д» 1 ~р дх 1 др (4.9) ду 1 др р д» К этим уравнениям нужно присоединить еще уравнение неразрывности др д (рох) д (ро ) д (рог) (4. 10) Уравнения (4.9) называются уравнениями Бавье-Сгломса.
Онн были опубликованы французскими учЕными Навье ((г)ач)ег), рассматривавшим только случай несжимаемой жидкости, в 1827 г., и Пуассоном (Ро(эзоп), рассматривавшим случай сжимаемой жидкости, до х дт х доу де+ х дох др+ ." дРух дР,г. 1 — -+ — ) ду д» д д Руу Ргу ) ду д» + ч дейч о+ у дейче + —,— — +чбо, 3 ду у' у дйчо + — — -ь-ч Ьо . 3 д» ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ $гл, $$ 388 +о — +о до. У ду до, + У д + дох до — '+ до.г до „ — гл+ о дГ "дх до„ д 1 др — — +УЬО, р дх х 1 др — — +что, р ду 1 др — — +ч$$о, р дх ч доу д до Ю к дх до, + д! — '+ дт (5.1) доч д дог Ю х дх О. дх+ ду 1) г$ а ч ! е г С. 1, М.
Г$. Мешогге знг!ез 1огз дп Мончепгеп! дез Р1пЫез, Меяг. де !'Асад, дез 3с$епсез 6 (1872), Р о ! аз оп, 3, $$., Мепгогге знг 1ез Ейпаг!опз депе!а!ез де Геян$$$$зге,е1 дп Мопчегпеп! дез Согрз зо$Ыез е!азйчнез е! дез Г(я!дев. Лов!па! де ГЕсо1е РО$угеспп$пне 13 (183!). ч) 3 а!и !-'ч'е и а я!, $Чоге а 1огпдге ап вето!ге знг $а дупатгпяЕ дез йнЫез, Сошргез $$епднз $$е ГАсад. а Раг!з 17 (1843), 240; 3!о(гез О. О., Оп гпе Ткеоггез о1 Фе Лпгегпа! Гг$сцоп о1 Г!нгдз $п Мси!оп, Майе апд РЛуз Рарегь 1, 75. в 1831 г.'). И тот и другой исходили из гипотетических прелставлений о молекулярных силах. В 1843 г.
Сен-Венан (Ба!в!-Чепап() и в 1843 г. Стокса) (8!о(гез) дали новые выводы уравнений (4.9), по образцу которых построено и наше рассуждение. уравнения (4.9) имеют очень сложный вид, поэтому их точное интегрирование удаатся лишь в редких случаях. Однако в ряде случаев получается хорошее совпадение результатов экспериментов с результатами вычислений, основанных на использовании их. Это показывает, что уравнения (4.9) с большой степенью точности описывают лвижения лействительных жидкостей. Можно поэтому сказать, что построение теории движения вязких жидкостей сводится к всестороннему исследованию этих уравнений, й 3. Различные формы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости.
Если мы имеем дело с движением вязкой несжимаемой жидкости, то четырех уравнений (4,9) н (4.10) недостаточно для определения пяти неизвестных функций р, р, о, о, о„. В этом случае необходимо учитывать также н термодинамические свойства изучаемых процессов. В 8 10 этой главы мы дадим подробный вывод дополнительного соотношения — куравнения притока тепла» для вязкой сжимаемой жидкости, а пока обратимся к жидкости несжимаемой. уравнениям движения вязкой несжимаемой жидкости можно придать различную форму; в одних случаях выгодно пользоваться одной формой уравнений, в других — лругой. Прежде всего, уравнения (4,9) и (4.10) для случая несжимаемой жидкости упрощаются следующим образом: РАзличные фОРмы уРАВнений движения 6 Б| В векторной форме эти уравнения имеют вид: — =гт — — дгабр+Убей| б(Уз|=О.
де 1 дт= р (5. 2) Прп у=О зти УРавнениа пРиводатси к УРавнениЯм движениЯ идеальной жидкости. Последние уравнения были записаны нами в 2 6 — 7 второй главы части первой, в так называемой форме Ламба. Дадим обобщение этой формы на случай вязкой жидкости. Для этого заметим, что мы имеем для любого вектора а следующее тождество: Ла = етад г(1У а — го1 го| а. (5.3) Вспоминая уравнение (5.4) главы 11 части первой, можем поэтому переписать первое уравнение в следующем виде: дв РЕ 1 д! — + Ьтад — + ьт Х О = Гт — — стад р У ГО1 Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
