Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Примеры такой трактовки движений сильно- вязкоИ жидкости будут нами приведены в том же третьем разделе этой главы. Точно так же заслуга Прандтля состоит в том, что он обратил внимание на невозможность пренебрегать силами вязкости вблизи твердых стенок даже в случае маловязких жидкостей. Вблизи твйрдых стенок образуется тонкий пограничный слой, внутри которого необходимо учитывать влияние сил вязкости; вне этого тонкого слоя влияннел! вязкости можно пренебрегать. В результате развития этих мыслей получается очень плодотворная теория пограничного слоя, позволяющая разъяснить ряд вопросов, не поддающихся решению в рамках теории идеальной жидкости, как, например, вопрос о зарождении вихреИ. Изложению теории Прандтля посвящен последний раздел настоящей главы, Вторая половина этого раздела посвящена другой теории, тоже относящейся к движениям маловязкой жидкости и принадлежа- щеИ Осеену.
Сущность этой теории Осеена в двух словах такова: найти то движение жидкости, ко>орое получается в пределе из движения вязкой жидкости, если после интегрирования уравнений движения вязкой жидкости мы совершим предельный переход, устреьшв коэффициент вязкости р к нулю. Оказывается, что это предельное двяжение будет отлично от того движения, которое мы могли бы ожидать на основании обычной гндродинамики идеальной жидкости.
Можно думать, что движение л>аловязкой жидкости будет мало отличаться от предельного движения Осеена. Нужно, однако, отметить, что Осеену не удалось совершить предельный переход, исходя из точ- твнзог скогостзп двфоямацнн з-з ных уравнений движения вязкой жидкости. В основу рассуждений им были положены упрощенные уравнения вязкой жидкости, и это до некоторой степени умаляет ценность полученных Осееном результатов.
Наконец, в заключение этого параграфа заметим, что даже точные уравнения движения вязкой жидкости не могут непосредственно описать целую группу движений жидкости, движений, являющихся для практики, пожалуй, наиболее интересными и важными. Мы говорим о так называемых турбуленлг- да ных движениях жидкости, отличительным признаком которых является крайне беспорядочный характер переиещений отдельных частиц жидкости. Теории ! турбулентных движений будет посвящена следующая глава, в настоящей же главе вопросы турбулентных движений жидкости будут затрагиваться лишь по- л путно, ф 2.
Теизор скоростей деформации. В главе 1, части первой, в Я 5 — 9, был уже подробно разобран вопрос одеформации жидкой частицы. В целях большей ясности дальнейшего изложения мы вспомним введенные нами обозначения и сделаем несколько дальнейших замечаний, относящихся к этому вопросу. тга Рассмотрим какую-либо точку О движущейся среды; скорость этой точки обозначим через па.
Рис. 152. Пусть далее А — бесконечно близкая к О точка (рнс. 152); обозначим через р радиус-вектор ОА и через ч — проекции этого вектора на прямолинейные прямоугольные оси координат. Как в Я 1 главы ! части первой, введйм обозначения: дгг дя дв, дх — = ат ду — = еа дх дс» дяу двх дяв дп дях — + — я= 9 — +- — в= 9 — т+ — «=0 ду дх н дх дх ' дх ду 12 А) причем все эти величины вычисляются для точки О; ясно, что ен ын мз являются составляющими вектора ю.—.. — го!о. 1 2 12.2) Как было выяснено в главе ! части первой, скорость точки А может быть представлена в следующем виде: н = но+ н~ + на (2.3! п ниже!и! Г вязком жи чкостн 374 !Гл 1! где и, = гн,~ р есть скорость вращаге.!экого движения то ьп А вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, причем векгор угловой скорости равен ы, а вектор па есть скорость чистой лефорьшцнн.
Составля!ощие этой последнеи скорости имеют внз. — е 1-,:, - Гь - + г !! г., ! 1, 1 а; ' ! ) 3 ~ О з 1,, 1 (2А) Таблица девяти величин 1 1 э бз тг ~г 1 — в, ('2. 5) 1 26! ез носит название теллера скоростей де(бор,капни. Если этот тензор обращается в нуль, т. е. если все девять составляющих вышеуказанной таблицы равняются нулю, то по формулам (2.4) н скорость деформации обратится в нуль. Это означает, что распределение скоростей частиц жидкости в окрестности точки О дается ~ой же формулой и=-па-=ы ',ч р, соз (х, л) = яы, соз (у, а) = а„, сов (л, г) = азз.
соз (х, х) == хн, соз(у, х)=-. ам, соз(г, х) =аз, соз(х, у) =агж соз(», у) = — аю, соз(д, у) =вам (2.6) что и распределение скоростей точек твердого тела, т. е. что деформация частицы в окрестности точки О отсутствует. Рассмотрим кроме системы осей х, у, г еще другую пряиолинейную прямоугольную систему осен х, у, г. В этой новой системе осей составляющие введенных нами векторов и тензора Ф примут какие-то другие значения; условимся отмечать эти новые значения путем постановки черточки над соответствующими буквами.
Поставим себе задачу вывести соотношения, связывающие новые и старые составляющие тензора Ф. Для краткости письма введем следующие обознзченпя для косинусов углов между старыми и новыми осями координат тьнзОР скОРОстеп деФОРмлции а 21 Составим теперь скалярное произведение векторов ог и р. Несложное вычисление показывает, что 62 р =-его+ 22,0+юг,.-— — 3102+згт12+ззг2+ 01тг.+ глгг(+ 0„(хе 11О Очевидно, ч1о это выра!кение не может зависеть от того, н какой системе коорд1пщт мы его вьпшслчем. )йы ил!сев поэтому равенство; 3!» + згт! + 2322 1 0!т1- + 02".. + гзз(г! =- = — 310'+ еггг+ Еу.г+ 01т!" + 02'.0+ 03(гл, (2.7) (.
другой стороны, вследствие формул (2.6), между старыми н новыии составлщощимп вектора р существуют соотношения 0 =.-:. соэ(х, х)+т)соз(у, х)+'чтсоз(з, х) = — чпи — ! — т!игл+ ~.азл, !2 . ")222 ! 32' ч ==- =к!3 + ;223 + ыазл Подставляя эти выражения в правую часть формулы (2.7), производя вычисления п сравнивая затем коэффициенты при;2, т,', ... в обеих частях тождества (2.7), мы придем к искомым формулаи, из которых приведем только две: 2 31:= 3!я!1+ егз!г -4- езз!3 1- О!и!галз+ 022!азы+ 0зпппы, 1 г- 1, 1, )1 3 зг п31+ згзггпзг+ езпгз ЗЗ+ 2 01 22 33+ 2 01з32 21+ 1 1 1 + 2 02вгз"зл + 2 02аглпзт+ 2 03"21пзг+ 2 03"3!пгг. Если бы мы ввели обозначения (2.
8) то. кзк легко убедиться, предыдущие формулы припяти бы горзздо полее компактный вид: 3 3 Фг,;=",, ,"„. Ф„.„.„, (1, й=), о, З). (2.9) г=! 3=! Формулы преобразования (2.9) являются характерными для преобразования составляющих какого-либо тензорщ Именно, если мы для из>идой системы координат имеем девять величин ры, прпч'и значе'щя р,л, соогзгзствующие какой-либо системе коор пп!ат х, у, е, ФИ= —— 1 12 21 2 3' 'рщ == '" '1'зз = зз 1 Ф, =Фи= —,0, Фг 2 1 з = Фзг= 2 01* ДВИЖЕИИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 376 [гл.
и связаны со значениями р,а, соответствующими системе координат х, у, г равенствами з з =Х Хр„и„и„ (2.1 О) Г=! то говорят, что величины рга образуют тензор (точнее говоря, афинный ортогональный тензор второго ранга, но мы никаких других тензоров рассматривать ие будем). Формулы (2.9) показывают, что Ф действительно есть тензор, так что данное нами выше название «тгнзор скоростей деформаций» вполне оправдано. Рассмотрим поверхность второго порядка; зг!'+ ег ['+ гзЬ + ОЛ'-+ ОКс-[- ОЗОО = С; направим теперь новые оси координат х'. у', г' по осям симметрии втой поверхности. Тогда уравнение поверхности примет вид: е'с + е' .л' + з'»' = С.
Мы в ~дим, что в системе координат х', у', з' составляющие тензорз скоростей деформаций имеют особенно простой вид, ибо, как вытекает из предыдущего уравнения: О[= Ог=- Оз= О. Положим еша еи ег ег гз ез Направления осей х', у', г' носят название глазных осей тензора скоростей деформаций, величины е,, ег, ез называются глазными значениями тензора скоростей деформаций или главными скоростями удлинений. В системе осей х', у', г' тензор скоростей деформзций принимает особенно простой вид: е, 0 0 Ф= 0 е, 0 (2.11) О О е Велишшы еи ег ез были уже введены в О 3 главы ! части первой, где было приведено и уравнение третьей степени, которому зги величины удовлетворяют. Напомним еще непосредственно вытекающую из обозначений (2.1) формулу: диг дог до« + г [ з= + — + д =[[[ум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
