Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если устремить Л к нулю, мы придем к задаче о плоском взрыве. Замечательное точное решение этой задачи (с меняющейся энтропией) удается получить, если краевые условия (37.9), (37.!О), (37.11) взять в приближенном, применительно к «сильному взрыву», виде '). Именно, при «сильном взрыве» можно пренебречь давлением перед удзрной волной по срзвнению с давлением за ударной волной. Это исследование взрыва «без противодавления». Пренебрежение это эквивалентно пренебрежению величиной а /М по сравнению с единицей, При этом пренебрежении (37.9), (37.!О), (37.1!) примут вид и' — — М, 2 »+1 р — р№ 2 »+. 1 х+1 (37. 14) (37.15) (37.
16) Конечно, формулы (37.14) — (37.16) годятся лишь для начальной стадии возникновения взрыва; на больших расстояниях от начального положения давления за и перед ударной волной выравниваются; кроме того, формула (37.16) не очень точна, так как она получена путам пренебрежения в (32.11) членом ! — ') = 5~ — '~ (если «=-1,4) по сравнению с единицей. Однако для первых моментов после начала взрыва можно говорить о болылой точности выполнения условия (37.!4) †(37.16).
Аналитиче') Ср. аналогичные приближения в стационарном случае, которые были нами приняты в 9 24 при рассмотрении диссоцинрующегося газа. 351 ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ ское решение задачи о взрыве без противодавления было дано впервые /й И. Седовым (1946) '). Изложим решение Седова. Будем искать автомодельное решение уравнений (33.2), (33.3), (33. 4): 9=1 — ~" В().), а = — А(Л), ' г/ (37.19) тзк что Ь вЂ” постоянная с размерностью /. т .
Мы увидим впослед- Э вЂ” 2 с~вин, как зта постоянная выражается через начальную энергию Е взрывз и через плотность р,. Задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, уравнение (33.2) приведЕт к равенству 3;(У ~~)" 2(У 1)В О (37. 20) ЗЛ(У 3~ «Г 1 2 ЗАЛ 1 +(1 2 У)А=О. (37.21) 6, ЛА ЗА' Л ЛО ! 2Т Д)г 2 - — ЛА — — — ' — + 3(У вЂ” —.) Л вЂ” — — — Аа — У(У вЂ” 1) = 0 е — 1 йЛ и — 1 0 Ж (, 3 нЛ к (37. 22) илп, если исключить В с помощью (37.20): (37.23) Нам пало решить систему обыкновенных дифференциальных уравне'пш (37.21) — (37.23) содержащую две искомые функции А и У.
()о отношению к с/1~/сО, и с/А/с/Л уравнения наши представляют сисчсчу двух линейных алгебраических уравнений. решая эту систему, ') Постановка задачи н численное решение полученной системы уравнении независимо от Седова дано !ейлором (1941, 1947). где Л вЂ” безразмерный параметр 12 з Уравнение (33.3) приведат к соотношению Наконец, уравнение (33.4) дает нам равенство (37.17) (37. 18) 352 тГОРГгтнг!ЕСКИГг ОСНОВЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ (гл.
! 'айдйм У(У 1)('У ')+(' У) А (Р— — ) — Аг Зг 1)(и ,')' " —,'У(и 1)(У,') (У 2"3+')Аг ('- ~) ~(-Ф'-'! (37. 24) (2+1 ЗЛ-- — =. А '— ''г(л (37.25) Если принять в качестве независимой переменной вместо ), функцию \', мы получим без труда уравнение (" 1. 1)(У ) " УГУ П(У ) (Ъ " ) Аг гн' 2 !' — —. 1 !! — !1(~ — — )+( —, У) А 2 2 (при этом параметр Ь остается подлежащим определению).
Поверхность разрыва перемещается, таким образом, по закону х = х*(1), где 1 2 х* (г) = Ь " 1 3 (37. 29) 1 2 ,1-3,3) вторая поверхность разрыва движется по закону ( Йх" 1'1ри этом Гг! Изйдется в виде (127=. — — ) з! 1 1 2 — — — — 2 Аг 57.= —. Ь 3 3 (37.36) (37.26) не содержащее Л. После того как А в функциях от 1' будет из этого уравнения определено, останется выполнить квадратуру в уравнении (37.24), чтобы найти ) в функциях от 12, а затем найти 0 из уравнения (37.20), которое можно записать а виде: гг!па 2 У вЂ” 1 (У вЂ” —, г — А' з/ з ( '( з)+(3. ) Наша система содержит три дифференцирования, Три краевых условия мы получим, привлекая равенства (37.14), (37,15), (3?.16), которые должны выполняться на поверхности сильного разрыва. Равенства этн согласуются с нашим решением (37.17), (37.18), если считать, что поверхность разрыва перемешается так, что на ней все~да ).==сопя(.
Не нарушая общности, мы можем положить на поверхности разрыва Л = 1 (37. 28) 353 ЙДНОСТОРОг!НПП ВЗРЫИ 3 ° 1 (37.31) (37.15) и (37.16), найдзм затем (х Р, = аг) ~ — ) Аг(1)= — (†1, откуда 9(, г) 1(омбинируя 2е (х — 1) (х+ 1)а Аг 1 8 х(х — 1) ( ) 9 (. ! 1)е ' равенства Э = ргжр ' получим -! 8 '1 х — 1 ~(~) =19(х+ ) ~ .+1 Р (37.32) Наконец, из (37.33) Таким образом, мы должны лишь при отыскании наших решений удовлетворить краевым условиям (37.31) — (37.33) н сопряжение будет достигнуто.
Остается еще найти значение параметра Ь. Потребуем, чтобы полная (кинетическая н внутренняя) знергия оставалась постоянной, равной начальной энергии 1с выделяющейся при взрыве. Это значит, что х' 2 / — ~ с(х+2 / ' г(х=Е = сопя!. (37.34) ./ ср — с„ р н Так как р=( — )" а"-'Э н-г, Т= — а"-, то, используя (37.17), (37 18) и переходя к независимой переменной ) по (37.19), получим г г х ! (37. 35) Равенство (37.35) позволит опРеделнть Ь по заданномУ Еа, после того как Г', А, 0 известны. За!!стим, что в то время как Гс и А не зависят ни от каких а' ""втрое (как зто следует из уравнений (37.21), (37.26) н их раезь'х условий (37.31), (37.32)), функция 8 зависит от р .
!1о (37.33), сли принять в расчет уравнение (37.27), функция 0 будет пропор- 23 теереенчеенан герре!!а!анена, ч, е! !1осмотрим теперь, как можно согласовать наше решение с условиями (37.14) — (37.16) при ),=1 (на поверхности разрыва). Сопо- 2 2 хе ставление с (37.14) нам дает х'Гт)с(1) = — — —; значит, нам х+1 3 достаточно положить т!'Оиетн'1еск1че ОснОВ!! ЕлэОВОО линлиикн !1'Л, к 1 пиоиальна величине ра * . Поэтому внтегрзлы иэ (37.35) будут пропорциональны первой степени р,, и мы можем написать д=а —, Ео 22 где 2 — шсло, зависящее только от х.
Осгзется только решить уравнение (37.26). Особыми точками уравнения (37.26) в плоскости (1С А) будут то 1кн с коорди1штамн: (О, 0), (2,'з, 0), (1, 0), (2/Зх, ОО), (",,, СО). По Седову надо выбрать ту ветвь решения, которая проходит через точку (2/Зх, СО), как сдинственную, с помощью которой можно сопрячь движение и покой (с переходом через подвижную поверхность разрыва). Седов нашел замечательное решение уравнений (37.26) — (37.28), отвечающее этой ветви и удовлетворяющее краевым условиям (37.31)- (37.33). Оно имеет вид: -1 Л2=х (/2~1 )( " 1) (37 37) 5 — 1 (37.38) 2-5« Эк 1 к — 1 1,2 (х+1) " «-2 ~х+1 (Зх р !) 11 — ! !5 -1и! — ) Х~3(! — — 2 — Ъг)~' " "' "(! — 2)' '. (37.39) Подставляя (37.37) — (37,39) в формулу (37.35), получим прн х =- 1,4 для а величину порядка 0,6.
Уравнения (37.37)--(37.39) вместе с формулами (37.18), (37.19), (37.36) полностью решают задачу о плоском взрыве беэ противодавления. Аналогичным обрааом Седов построил решение для цилиндрического и сферического взрывов. Покажем, как эти решения строятся. В том случае, коглз движение зависит лишь от расстояния г от оси д цилиндрической системы координзт и от времени, условия адиабатичности, уравнение непрерывности и уравнение движения примут вид: да да — +о — =О, дГ гдг к.
— 1 дог да да ао„ вЂ” а — "+ — +Π— + — "=0 2 дс дт ' дг г дог дег 2 да а' д1п Э й дс + 'дг к.— 1 дг х — 1 дг односто! онннп взвыв Э з«1 В случае же, когда движение зависит лишь от времени и от расс!сания ?7 от центра сферической системы координат, мы получим: да да дС д?7 — — + о„— =--. О, 1 де я да да 2ао — а- и+ — —,оа —.+ =0; 2 д?7 дг ' д?с ?г деп дел 2 "а а' д1п" я я и я+ дС ' а д?С а — 1 д?Э я — 1 д?С да дЭ вЂ” + и — =О, дС дх (37.40) (где и — скорость (о«, о, или оя), а х — координата (х, г или Й)), а уравнение неразрывности — в виде: а — + . ( — + и — )+(« — !) — =- О ди 2 сда да! аи дх .— 1(,дг дх) (3 7.
41) («.†.. ! для плоского случая, « = 2 для цилиндрической и « =- 3 для сферической симметрии); уравнение движения запишется в лиде: ди ди 2 да ас д1п Э вЂ” +и — + а — = —— д! дх я — 1 дх а — 1 дх (37. !2) Движение ишем всегда в форме: = —" (с(?), а а = — А(с,), (37. 4,1) « -!- 2 3=(,)" Е(?), Решения этой формы действительно удовлетворяют системе (37.40)— (37А2); аналогом уравнению (37.24) будет теперь уравнение '('-' ('-.+ )+'! а.'+»-'1' (' + 2) !.
— „-- )!место уравнения (37.26) теперь будет иметь место соотношение: а!' (к — — ) (кп — с?(к — — — ).;, [ — !'[ А* (37.45) Оба эти случая можно объединить с плоским случаем и уравнение адиабатичности записывать всегла в виде ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
