Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 50
Текст из файла (страница 50)
ХХ1, в. 3, 1957; Расчет обтекания произвольного профиля н тела вРащения в дозвуковом потоке газа, Выч. Иат., 3 (1958); Лозвуковое обтекание эллипсов с циркуляцией, ДАН СССР, 125 (1959), га 4. зж теояетические Основы ГАЗОВОл динАмики [ГЛ. ! Тогда — +о да да д! «дх= (33.2) Уравнение (33.2) показывает, что в случае непрерывности движения О сохраняется в частице. Вместо функций о„, р, Р удобно будет ввести о, а (скорость звука) н О. Так как а! =х — =хО"р" '= хйр ", то !пР= — [па — [п(хО").
2 . В х х — !— 2 1 'Р х — 1 х — ! Таким образом, уравнение неразрывности даст после простых преобразований: 2 ( д[п а д[п а') 1 ( д „ д [ док х — 1[ д! " дх ) и — 1[д! кдх ) дх — + а — ) — ( — [и х0" +. о — !п хО" 1+ —" = О, что, вследствие (33.2), может быть записано в виде: х — 1 до да да 2 дх дГ к дх а — ' + — +о — = — О. (33. 3) Уравнение движения даст до. до, р д[пр а' [ йх д1п а дГ к дх Р дх х [,х — 1 дх что может быть представлено в следующем виде: до, док 2 да а' д1п а д! к дх х — 1 дх х — 1 дх д! О[ х — 1 дх /' (33.4) относительно Е.
С другой стороны, уравнение неразрывности позволяет заключить о существовании функции А (х, !), такой, что дА дА Р= х Рок= дх' к= де' Мы уже упомянули о том, что 0 сохраняется в частице; распределение О от частицы к частице следует считать поэтому в задачах газовой динамики как бы начальным условием и данной функцией [наподобие того, как в плоской стационарной задаче мы считали известной функцию О = О(ф)) от лагранжевой координаты (мы будем обозначать еЕ в этой главе буквой !): О = О (с). Аналогично таму, как в плоском случае мы вводили вспомогательную функцию ф от х и у, введам теперь вспомогательную величину с— лагранжеву координату — функцию от х и Р: О=!(х, !).
Функцию зту мы получим, если решим уравнение х=х(Е, г) ОднОРАзмерные дВижения. Оьшие уРАВнения 327 р 331 о = о (х (с, г), г) и продифференпируем его обе части по 0; получим до(х, 3) дх($, Г) дх д=. но вследствие уравнения неразрывности, написанного в форме Лагранжа, для нашего одноразмерного движения имеем; ро() .
д: "р значит, дР р ро так что А =-- / оо (с) оус. Таким образом, с(х, г) должна удовлетворять одному из двух уравнений дд р . до . рех (33.5) дх ро ду ро Заметим, что, задав О(о) и Ро(с), мы моукем определить и ро(о) и аоД) (давление н скорость звука в исходный момент). В самом деле: ЮА. ао=(хп Ро /"1 Ро=') Ро. )1ь3 можем теперь записать (33А) в виде двх дех 2 да а' р д)п а ох — — + — — "+ а — =-— дх д) х — 1 дх х — 1 р, Ж (33.6) 3 ! Р=.- а"-' (у0о) (33.7) Такич образом мы должны определить две функции: ох(х, У), а(х Г), уловлегворяюшие дифференциальным уравнениям (33.3) и (33 6), причем в последнее уравнение входит ешс третья функция о(х, г), но уже не под знаками дифференциалов; эта функция с дол кна удс .летворять одному нз уравнений (33.5).
Задача наша представляет аналогию с плоской вихревой задачей, рассмотренной выше (9 9): 9.2 речь шла об определении функций о, о из уравнений (9.1), х у (9 ь), причем формула (9.1) содержала еше ф> нкцню Т, каковая уравнение (33,2) заставляет нас считать, что А зависит лишь от р. более того, Вводя плотность Ро в некий исходный момент как функцию В оо(;), мы можем найги связь между А и е. В самом деле, напишем тождество ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЕ ДИНЛЯИКН 1гл.
! Вдо»ь этих линий стцс д '.. с!ох —." = — х + — х Х'! Ж дт ' дх сса да да — =- — + — х', аГ дГ дх сс'1 д! д.с сй с>г дл ' Находя отсюда до,.)д! в да>сдг' и вставляя их в уравнения (33.3), (33.6), получим: к — ! де„ да да 2 дх ." дх сй ' -а —." + (о — х') — = — —, Р дих, 2а да р, и!пз з де (ох — х')— дх ' л — 1 дх к — 1 д! сй Условие невозможности определения до„1дх и да1дх из этой системы уравнений заключается в равенстве нулю определителей ! х — 1 — а 2 о — х'! .с.
— ! !.х р РО д!ПЭ з авх — а я — 1 д! аг Из перво~о равенства находим с!х — =-о +а. сй .с— Из второго: (33.8) или, если прнменить (33.8), после простых преобразований: авх 2 да Рс и!и Э дт х — ! Сй л — ! дЭ (33.9) Уравнение !33.8) показывает, что прн любом нестацнонарном одпоразмерноы движении газа через каждую то псу плоскости (х, г) должна была удовлетворять одному из дифференциальных уравнений (9.6). Обращаясь к системе (33.3), (33,6), будем искать для нее харак.>ернсн>ческие многообразия в виде х= х(!), ч м! сильные РА3РыВы В ОдномеРнОЙ нестАцнонАРнор1 зАдлче 320 „Входят две характеристики.
Назовем характеристикой первого семеястаа ту, что отвечает знаку плюс, а характеристикой второго семейства — ту, что отвечает знаку минус. Те линии, вдоль которых мы перемешаемся в плоскости (о„, а), когда в плоскостл (х, Г) мы идем по характеристикам, назовем характеристиками (первого нли второго семейства) плоскости (ох а).
Заметим, наконец, что вдоль характеристик, вследствие (33.8) и (33.5): д: д'-, р ар — + д ~ — ( ох'+ ~ ) — — ° (ЗЗ !()) др дГ дх ро х рл семейства Итак, вдоль характеристик первого дх ох+а (33,1!) — =а "-'а"-', ~ дт О дх~х 2 да а д!ВЭ 42 х — 1 др х — 1 дс вдоль характеристик второго семейства: дх' .
двх 2 да дг х ' дг . ! дг а д!пз, х — 1 дг (ЗЗ. 12) 2 е1 д."- — "=- — а "- а"- — 1 . — 1 дт — О (л направлено всегда в сторону положительной области). Таким образом, 0=И вЂ” (Р =М вЂ” о„. (34.1) л Уравнения (2.15) и (2,16) 3 2 этой глзвы примут вид: л0(пхр — О„) = ре — !2 (34.2) рх0е =р (34.3) 1(роне того, как всегда, имеет место формула (5.10) 3 5, Таким чбразоч, семь величин: Х, рх, а, р, р, о,, о„связаны тремя соотношениями, и мы можем, считая три величины (например, ох+, Р н;.) известными, выразить любую из оставшихся величин через одну нз эгнх последних ве.1нчнн. В пред..душем параграфа мы заме- й 34.
Сильные разрывы в одномерной нестационарной задаче. Поверхность разрыва в одномерной задаче будет плоскостью, перпендикулярной к оси, вдоль которой происходит движение. Если мы условимся считать отрицательной областью ту, что лежит от поверхности раарыва в направлении отрицательной оси х, а положительной областью — ту, что лежит «справа» (в направлении положительной оси х), то у нас будет просто ! л о.х ГЕОРЕГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. ! 339 Лг — — Лго,— а = — О. х -!- 1 2 х о (34.5) С другой стороны, формула (34.4) даст нам ро х — 1 2 озо р х+! + х+1 А)т' что в соелинении с формулой (34.6) (х+ 1) — — (х — 1) Ро .>Ро р Р -Р х+ 1 — (х — 1) -Ро Р даст возможность написать Ь через посрелстзо М (и конечно, Ье, ро, ао).
Наконец, чтобы найти зависимость межлу а н о, восполь- зуемся сперва формулой, аналогичной формуле (34.4), р х — 1 2 аз + 2 „+! 92 (34.7) т. е р х — 1 2 а' р, х+1 х+1 (Аà — Р„)2 ' что, вслелствие (34.3), напишем еще так: х — 1 2 ао !!р — + х+1 х+1 (А! — Ре)2 )Р— Р.
' Остается только исключить пз (34.5) и из этого уравнения Дг. Для этого запишем сперва последнее уравнение в виде вили, однако, отыскание величин р и р отысканием а и 9; поэтому и здесь мы выразим Р и р через а и 9. Будем искать связь между а и о„ и между Ь и !!Г. Попутно найлем также зависимость о„ от дг. Рйы ограничимся лля простоты дзльнейшик выкладок тем случаем, когда о„«=0, т. е. разрыв распространяется в покоящейся сРеде. ПРи этом бУлем считать, что ао = — аз =сопз1„Р =Ро= = сопз1., р = ро = сола!. («исходная» плотность). Назовем затем =о, Р = — Р,р =р,а =а. формула (5.14), решйнная относительно р~/р, даст: р х — 1 2 аз„ (34.4) р х+1 х+1 02 заменяя здесь р )р по (34.3) через 9 /9~ и замечая, что по (34.1) 9 =-57 — о, 9, =Дг, получим из (34.4) зависимость между )ч' и о в виде: слгчлн постоянной энтяопни.
движение пояшня 331 и вычтем из него почленно (34.5); получим после простых преобразований л — лз 1 е М= — ' (34.8) е» Наконец, вставляя это дг в (34.5), между а и о„; л +л 2 3 о'+2-- 'о' —— к я л и получим искомую зависимость ( 2 2)2 — — ' — = О. ( — 1)' (34.9) Уравнение (34.9) представляет в плоскости (а, о ) некую кривую четвертого порядка. В интересующей нас области значений а(а ) О) она имеет двойную точку". а= — ич, он=О (рис.
135) и симметрична но очношению к оси огн а также по отношению к оси а; ее асими~оты имеют уравнение — у — — 2 — о, О 52Уо, / А(» — 1) Таким образом, в плоскости (о, а) характеристиками являются лва ечейства параллельных прямых, наклонйнных к оси о„под углом, Кроме того, оказывается, что достаточно рассмотреть только ту часгь кривой, на которой а ) аа. Уравнения (34.6) и (34.7) а показывают, что если р .—.:. сопз1., но М меняется (зависит от времени), то й станет переменной величиной, т. е, если в среде, покоящейся и обладающей вв постоянной энтропией, пере- О мешается с переменной ско- рнс 135.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
