Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Так как по (30.61) имеем, = — 1, то по (30.48) к ггх имеем х 2 2ргег Р 1 (Р' — ') = — —.~ ~ гг'х,', У (хг — х',) (у, + х,' — ЬЬ) где х,, х — абсциссы (в характеристических координатак) точек 1 М, и М2 соответственно (рис. 120). Ясно, что х, .= И вЂ” у,, хм =х . м, г м, г Так как 1 2х,'-,' у, — х,— Ьь г)хг = агс а)п ' ' ' ', (30,63) (хг — хг) (хг + Уг АЬ) мы получим 2рготгр (Р'„— Р,'), = — —, что совпадает с равенствами (29.12), (29.3).
Для области б получим по (30.54) (см. рис. 120) Ф (Рн Рв)5 а / у" причбм х = (у — ЙЬ), х, =- х (абсцисса точки М4 1+а(наг 1 — Ьггга, ( г будет та же, что и абсцисса точки Ма; последняя находится на прямой (30.62) и имеет, так же как и М, ординату у,). По (30.63) мы получим теперь (Р„' — Р,'), = 0~ ч К вЂ” 1+( — чъуп — — >~ = — — 1 — агс юп ( — Ь И о)(х,+у,— ЬЬ) 1 1 а или, если вернуться к обычным координатам х, у (по формулам ЬЬ ЬЬ х = х+ — — )гу, у =х+ — +Ау), ввести О', как и а 9 29, 2 ' ' 2 то из равенства — — х = у гя 6 найдем ь 2 2р,етгб 1+ а(а ае — 2Ь(К Ь' (Р' — Р') = — — '' асс соя 1 — ЬГиа' что находится в полном согласии с (29.23).
СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ $ в!! ф 31. Сверхзвуковые конические течения. Некоторые точные (нелинейные) решения. Обтекание прямого круглого конуса так же, как и обтекание края плоского прямоугольного крыла, являются частными случаями более общей задачи обтекания произвольного конического гела. Представим себе, что тело конической формы с вершиной в начале координат и с произвольной направляющей обтекается сверхзвуковым потоком сжимаемой жидкости.
Пусть еша наше тело расположено по отношению к потоку таким образом и имеет такую форму, что скорость обтекания получится в виде: х' ' в в+о' где Ф', и', Ф' малы по сравнению с Фц и их квадратами можно в' У' 2 пренебречь, аналогично тому, как это было сделано в предыдущих параграфах. Задача о таких движениях была исследована Буземаном '). Как и прежде, мы можем написать для потенциала скорости: д'Ф', д'Ф' 2 д'Ф' дл дув -+ — (М', — 1) — = 0 дз' (где М,=-о,!а,) и совершенно такие же уравнения для 22', о', о", у' в в частности, (31.1) Простота решения задачи в случае, когда обтекаемое тело имеет коническую форму, заключается В том, что здесь все решения будут зависеть от у з' л' (3 1.2) а не от уг, у, я.
Компоненты скорости возмущения ту', о', о' — вдоль а каждого луча, выходящего из О, будут постоянными, меняясь от луча к лучу. Вводя в качестве переменных 1, т! и я=я н считая, что О' не зависит от я, придвм, после совершенно элементарных преобразований, к уравнению диод д~ев дг„' (1 ьг(2) ' 2ьг(т) ' + (1 Ь22)2) до де 1 = 2л ~в — '+ й — ', (31 3) дв дя У где, как и прежде 1 Ь= с =с!Ка!. (31 А) !у М2 ') В а ге гя а пи А., !Вйпцев!аа!е 1геяеййе ()еЬегвсйа!!в!Тдачпе. 3сЬгй!еп лег 1уен!. А!гад. д. Ьа(!1айг!1огвсйапя, 1943.
302 теоветические ОснОвы ГАЗОЕОН динамики (гл, г Плоскости (1, т)) можно дать простой геометрический смысл: это— плоскость, параллельная плоскости (х, у) н находящаяся на расстоянии л = 1 от последней [я = 1 в (31.2)[. Нетрудно убедиться в том, что уравнение (31.3) будет смешанного типа: в одной части плоскости (1, т[) эллиптического, в другой — гиперболического. В самом деле, вдоль характеристик, если искзть уравнения последних в форме и = 9(1), будет: Н~ " * Ф ~ Ж вЂ” Лг5ч д )Г ДЯ (!Я + чз) — 1 — — — . (31.3) $2 Ля Значит, внутри круга радиуса 1(л наше уравнение (31.3) будет эллиптического типа; напротив, при (Я+т[Я) 1(лт — вне круга радиуса 1/л — будут существовать действительные характеристики.
Последние предстзвляются в виде всевозможных прямых линий, касательных к кругу радиуса 1/л'). На рис. 121 даны некоторые из этих характеристик (одно семейство сплошными линиями, другое — пунктиром), Окружность радиуса 1/)г в плоскости (1, т[) является. вследствие (31.4), местом пересечения с плоскостью я = 1 конуса характеристик и пространстве(х, у, г).
/ Обтекаемое тело пересечет плоскость / (1, т)) по некоторой кривой, которая может лежать или целиком внутри круга радиуса 1/л или целиком вне этого круга, или, наконец, частично внутри, частично вне круга. Написав краевые условия, мы должны приступить к решению (31.3). Рис. !21. Путвм геометрических преобра- зований переменных, заимствованных из одной работы Чаплыгина, Буэеман приводит (31.3) к двумерному уравнению Лапласат). Это сведение к уравнению Лапласа можно ') Проще всего убедиться в этом, если перейти в ($, Ч) к полярным координатам г, ч. Уравнение (31.5) после интеграции примет тогда вид: г соэ (у — ч,) = 1гд, где Ч, — постоянная интегрирования.
') Значительно раньше, чем это было сделано Буземаном, рещение Рассматриваемого здесь типа было получено, з связи с другой физической задачей, в работе С. Л. Соболева и В. И. Смирнова. См., например, дополнения С. Л. Соболева в каиге Франк Р. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, ч.
П, ОЙТИ, 1937. 0 з1! СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ проделать и другим путам. Мы остановимся на выведе, данном в работе Гуревнчз '). Чтобы это сделать, удобно вернуться к уравнению в форме (31.1) н перейти сперва формально к переменным х. у, г: х=! —,, у=/ —,, г=г. Мы получим в переменных х, у, л трйхмерное уравнение Лапласа, и, если ввести «сферические координаты» г, а, Ь пз рзвенств х=гсояаз!ЯЬ. у=гз!поз!пЬ, л=гсозЬ, то можно написать: — (г 5!ПЬ вЂ” ')+ — ( — ')+ (зрлЬ ') 9 дае' д / де, '! даа — + а!п 9 — ( 5!и 9 — / = О.
дз ! дз/ преобразования, положив 9 = !9. Мы легко избавимся от мнимости Итак, если саа а!И 0 л мя а!90 (31.6) то (3!.3) примет внд: д Рг д / до',1 даа —,* + зй 9 — (зй 9 ') = О. дз'1 дз / — . (31.7) Остается сделат., последнюю замену переменных, вводя вместо 9 величину з так, чтобы было а зп0 т, е. е = !9— 0 (31.8) и мы окончательно получим для о', уравнение Лапласа в плоскости полярных координат а (радиус-вектор) и а (полярный угол): (31.9) ') Гуревич М. И., Подъемная сила стреловидного крыла в сверка~указом потоке, ПММ., том 1О, вып. 4, 1946. Вспомним теперь, что о,' зависит лишь от ! и тд это значит, что в переменных г, о, 9, о,' не зависит от г: о' =о,'(а, Ь).
Тогда будет Зо! теОРетические ОснОВы газовоп динамики о,'+ 1г = — „г ( ). 1 (31.11) Легко видеть, что внутренность круга радиуса 1)л плоскости Д, ~)) переходит на плоскости (т) во внутренность круга радиуса 1 (а = 1). В самом деле, 0 )У )У'(г+ ТР— !Еа 2 2 1+гву а 2 (31.12) так что при а, меняющемся от О до 1, )с будет меняться от О до 1)л. Так как т)Д = !и а, — полярные углы при нашем преобразовании не меняются. Прежде чем переходить к выяснению краевых условий в плоскости (т), посмотрим, как выражаются скорости о', о' в функциях новых переменных а и е.
Найдем полный дифференциал от а = О' + 1О' х у при движении по радиусу-вектору (т. е. при о=сола!,). Имеем ди ди ди . 1 г' ди ди ! — = — созе+ — я!и - = — !!1 — + т! — ) . дтг дЕ дч = !1(, д; дч)' С другой стороны, мы можем вспомнить, что в переменных 1, и, а! дю да дю д! дю дв 1 Г дн ди ) — =О, т. е. -+ ~ да да д1 д» дч да а1 д5 дч Таким образом, ди а дм а / де„ деу 1 = — — — = — — ! — "+1 / дт! !2 да !1 1 да да / Вследствие отсутствия вихрей мы имеем: де„ де, 1 дв да дл а д де де 1 де, да ду а дч так что — = — — ( —.
+ ' — )О'. да 1д,д д!г )г, да дч (31. 13) Таким образом, можно рассматривать О,' как действительную часть некоторой функции комплексного переменного т = ае~'. (3!ПО) Обозначим мнимую часть втой функции буквой г и напишем СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ далее, нетрудно выразить правую часть этого равенства через функции Г" н,7 (сопряженная с Г).
Если ввести ~: Г = ! -1- !и = Гсеее Г, = !1е (31. 14) то, очевидно, можно написать: — +! — = 2 —. (31.15) д! ' дл дГ, Наконец, можно связать дифференцирование поГ. с дифференцированием по и и т. В самом деле, по (31.10), (31.14) и (3!.12) имеем: (31.16) е и 1+2 и 1+ т так что 2 — 2 й 1+ее Ге !+ее 2 == Ге .' — (22 — +=)= л (т — +=). д (1 + е-.)' д д 1 + е' д д Принимая во внимание, что 2Л ~ ')+е (т)' можно написать теперь ди Л (1 + е')' 1 Г 2 2ы дУ дУ 1 е2е2~ д)! 4 1 — ее е ~ де де ~ (31.17) Если теперь двигаться по радиусу-вектору а = сола!., то будет: 2 1 — е' ~И= —,, сге; сгт = е'е(и, ей= е-и сге, Л (1 + ее)' так что окончательно иэиенение ы при передвижении по радиусу- вектору будет: га 1 — з 1 1 сг„> рига,(у+,ГГ "~ р,1у+ Ду'), ее" 1 2 и мы получим для ее следуюшую формулу: + ! ! ~ (те!Г+ =пг) .
(31.18) 20 Теоретические гидраиеееииие, я. И Произвольная постоянная интегрирования должна содержать е, но, как показывает более подробный расчет, может быть приравнена нулю. Прн помоши функций ее н у' мы можем записать краевые условия. В обшем случае конуса произвольного сечения условия эти будут 306 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !гл. г у =с !Вт, (31.!9) где с надо подобрать так, чтобы были выполнены краевые условия.
Именно, так как нормали к нашему конусу с точностью до малых величин будут совпадать с радиусами-векторами нашего бесконечгю малого круга в плоскости (ч), то: О„' сов е + О„' ып е +- Огйе = О. Это условие можно записать ещй так: 1!е(ее-го)+Оде=О ВРВ '='е оо причем Л 1+'е С другой стороны, по (31.18) и (31.19) имеем: оо= — — с~т — — ~= — — с~а — — ~ е", 2 ! т! 2 ! о) Итак, с/ !о — — 1зе — — ! + ОгР = О, 2т оо! иметь сложный вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
