Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для снаряда произвольной формы, как и в случае осевой симметрии, нанесбм на поверхности снаряда ряд точек Р (О, О), ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. ! М,(х,, )с1), ..., МА,(хд„8ТА7) (хд7 — — Т) и будем считать, что дуги ОМ,, М,МИ ... могут быть заменены отрезками прямых. Теперь в пределах каждой из упомянутых дуг величины дгсэ(41х7 будут сохранять постоянные значения, и нам надо будет лишь найти 12! неизвестных Е,, 7т, ..., 7чч из 1!г раз написанного (для точек МР М,, ..., МА, соответственно) уравнения (28.39): л ал кч ! = — 7 11(агс)11„1 — агсй1„1 1+с )7 сэ — 1— 1=! — — 728.477 где Хл — Х1+ аЦ ил!= дд хе=7!о=() л ОпРеделив 2Ч, лт, ..., 7,„ последовательно из 177' УРавнений пеРвой степени (28.47) с одним неизвестным каждое, мы можем затем написать рт в точке Мл в виде: р' = — /фр,оа,~~ Л~()/ 1~ 1 — 1 — )г(э„ 1 , — 1), (28.48) ' 1=1 так что С, и Си могут быть записаны в виде: С,- — Ц'~',~ ~"+~"- " ""-' ~~7,(У'1„,— 1— л 1( ь! ! Как С,, так и С,и пропорциональны углу 1).
5 29. Потенциал ускорения. Теорема Прандтля-Глауврта. Крыло конечного размаха в сверхзвуковом потоке. В предыдущем параграфе отправным пунктом является проведение для получения решения уравнения (28.13) операции вида (28.22) над потенциалом вида (28.21). Однако функция с (М'), участвуюшая в этом методе, не имеет наглядного аэродинамического смысла. Прандтль предлагает подвергнуть (28.21), с целью получения решения, операциям, отличным от (28.22); он отправляется при этом от понятия потенциала а тз! пОтенциАл ускОРения, теОРемА пРАндтля — ГлАузРтА 283 ускорения.
Последний существует всегда, коль скоро существует потенциал скорости, ибо тогда дц до Р о 1дй Р.Р1 — = — + у — ' — о)~ (2= У~ — + — 1 дт дг 2 (дт 2 и мы можем назвать величину потенциалом ускорения. При линеаризации, проводимой как в предыдущем пункте, получим (в стационарном случае): дй' о=о — =о о ! дх 1»' (29.1) причем по уравнению Бернулли (28.11): <Р = Р' гс (29. 2) д 1 дх' ду' = д» г д 1 д» г где Р„н о,— значения ~у в точках Л' площадки ()ч), а г = (х — х')'+ (у — у')'+ (» — »')'. В сжимаемой жидкости о удовлетворяет уравнению (28.13), а его Решением, имеющим характер потенциала источника, будет, как мы знаем, не 1/г, а (28,21), Прандтль предлагает по аналогии с несжи- Уравнение (29.1) показывает, что о удовлетворяет уравнению (28.13) так же, как и Ф'.
Если крыло обладает подъемной силой, то давления р,' в какой-либо верхней точке М' крыла и р'„— в нижней точке с теми же координатами х, у будут различны. Это значит, что, с принятой нами точностью, мы можем сказать, что р' терпит скачок при переходе через горизонтальную площадку (Р), на которую проектируется крыло.
Но тогда по (29.2) ~у терпит скачок при переходе через (Р). В несжимаемой жидкости е удовлетворяло бы уравнению Лапласа (так же как и Ф'), и мы могли бы искать ~у в виде потенциала двойного слоя: маемой жидкостью, искать 12 для сжимаемой жидкости в виде Р(х, у, з)= (х — х')' + 1 — — [(у — у')2+ ха] ла / 1 Так как разность р„— р, представляет подъамную силу, отнесанную к единице площади крыла, то удобно еа обозначить, ориентируясь на теорему Жуковского, так: р„— р,=р,о Т(х у) (29,3) и назвать Т «циркуляцией».
Тогда р запишется в виде: я~(х, у, з)= 4х дх/ .7 Т( 'У 2 (х — х')2 + 1 — — [(У вЂ” У )2+ ха] а / 1 (29.4) Зная р, наядам Ф' путам квадратур по (29.1): Ф' = —, ] о (х. у, з) с(х, 1 (29.5) а скорости будем иметь в виде: х — — ] 1Г(», У, «)л(х; 1 д т сч ду,/ 1 д 1' О' = — — 1 РЕ1Х. е1 дх (29.6) О' = —; Х ф1 Запишем еще краевые условия аадачи определения ~.
На поверхности крыла Ъ'„=О, т. е. сов(л, х) О1+(о,') =О на (г"). (29.7) Это последнее уравнение и должно служить для определения циркуляции 1(х', У'). Для дозвуковых скоростей уравнение (29.4) позволяет сделать одно важное заключение. Замена переменных 1Р14 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОН ДИНАМИКИ (гл. 1 приведет (29.4) к виду: — — е, д Р гр(х. у, х) = — — ' — [ 4ч да „),l <Р)' т(х', у') дх' ду' но это в точности совпадает с потенциалом гр лля жидкости несжимаемой.
Отсюда выводится следствие: подъемная сила тонкого крыла, помещенного в поток сжимаемой жидкости, имеющей на бес- 1 конечнссти скорость и) и плотность рн будет в раз У1 — (е,)аг)г больше подъемной силы того же крыла, помещенного в поток несжимаемой жидкости плотности р, и скорости и) на бесконечности. Зта теорема была доказана Прандтлем и Глауэртом. Обратимся к сверхзвуковым скоростям и напишем (29.4) в виде'): гр(х, у.
х)= — — ' —, ' ...(29,8) е, д / 1" т(х', у') дх' ду' 2е дл,/,/ р'(х х )г Лг [(у уг)г [ ад[ ' ш)' причем, как и прежде. будем считать <р — О, если (х — х')г с, аг [(у — у')г+ хг[, так что площадь (Р') будет выбираться, как в предыдущем пункте. Рассмотрим в качестве примера случай, когда крыло есть трапециевидная пластинка, наклоненная под углом [г к плоскости (х, у); пусть в проекции на плоскость (х, у) крыло даат трапецию АВОС (рис. 98), так что передняя кромка расположена по стороне АВ (она лежит на оси у), и крыло имеет размах АВ = Ь, а ширину ОЕ = Г.
Пусть ~ ОВО= ~ ОАС= 2 0д Начало координат — в середине передней кромки. Из точек А, В, С, .0 проведем конусы характеристик, т. е. ~рямые круглые конусы с вершинами в этих точках, с осями, парал« лельными оси х, и с углами раствора 2а,, где сйп а а, 1 Линии пересечения этих конусов с плоскостью (х, у) изображены на рис. 98г). Чтобы найти поля скоростей и давления, вызываемые ° ° а~. Ч г гг„г„рггг г *р ркуляцнн (см. ниже). г) Предполагается, что а, > зд > О:, д гд) потянцилл ) скогвния. тногнмл прлндтля — Гллуэртл ,'фб 266 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1Гл ! (х, у, е), нам надо (аналогично тому, как мы это делали в предыдущем параграфе) при пользовании формулой (29.8) выбрать аа площадку (Р') часть трапеции АВА)С, попадающую внутрь конуса характеристик, вершина которого находится в точке М.
Ветвь гиперболы, по которой этот последний конус пересекает плоскость (ху), Рис. 98. будет в зависимости от расположения М отсекать разные части трапеции АВВС. Так, например, для точек М, расположенных «над» плоскостью л=(па,х или «под» плоскостью л= — 1яа,х, эта гипербола вовсе не встретит прямоугольника АВОС, и для этих точек надо считать у=О. Число всех возможных случаев равно здесь 15, в то время как для крыла бесконечного разкаха их было только 3 (см. предыдущий параграф).
Метод Прандтля позволяет найти скорости и давления в любой из этих областей. Мы остановимся полробно лишь на отыскании у и на вычислении сил, действующих на наше крыло; для этого необ* ходимо найти скорость О,' и давление р' в точках крыла. Если вспомнить, что в краевое условие (29.7), служащее для нахождения 1, входят только точки крыла, станет ясно, что из всех пятнадцати областей нам достаточно теперь рассмотреть лишь те, пересечения а 291 пОтенциАл ускОРения, теОРемА пРАндтля — глАуэРтА 267 которых с плоскостью (х, у) не выходят за пределы трапеции АВРС, Области зти, пересекающиеся с АВРС по площадкам: АРОВ (обозначена цифрой 2), АСР (цифра 3) и ВОР (цифра 4), назовем областями П, 1П, 1)У соответственно. Начнем с области П. Область, отсекаемая от крыла нашей гиперболой, будет здесь совершенно такая же, как если бы мы решили задачу о крыле бесконечного размаха.
Если бы речь шла о движении трапеции АВОР, то силы, на нее действующие, были бы поэтому в точности те же, что и в случае крыла бесконечного размаха. Желая подсчитать у для области 2, мы можем заранее считать его постоянным, и условие (о,') = о1р (29. 9) при постоянном т удовлетворится.
Действительно, здесь будет (для верха): у'=уэя в,т д / ду' дх' 2«д»,1 .1 у'(х — х')а — а' (У вЂ” У')у — ау»а «'=о у'-у-л РП д х — «» т»Н 2 д» х 2 где А= — р (х — х')т — лз«з. Для области 1 (лежащей над пло- 1 -« а скостью «=хрг или под плоскостью «= — х1х) имеем просто Поэтому в выражении Ф' = — / р(Е, у, «) А( е= -о» Ф'(х, у, «)= — "(х — л«), так что тя д» 2 (29. 10) нам достаточно распространить интегрирование от $ = х«(или от ( = — й«при «< О) до у = х. Итак: 268 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЭОВОИ ДИНАМИКИ Ргл, р мы действительно можем удовлетворить (29.9), если положим') 2о,й Т= А (29.11) т.
е. считать Т одинаковым во всех точках одного луча, выходящего из В, и меняющимся от луча к лучу. Можно считать, что Т обращается в нуль на луче ВО и обращается в Те: 2Р10 То= (29.12) на луче ВО. Но тогда в интеграле (29.8) удобно перейти к цилиндрическим координатам г, г', 0' по формулам: л'=г'соя0', у'= — Ь вЂ” г'з)пй'; 2 и для области УУ получим: 6'-кЛ г'=г, Т (0') г' кг' к'0' И=О (х — Г сок0 )к — йк у — — +гк!па ) +ла )( 2 (29.13) ') Мы видим, что Т действительно похоже на циркуляцию, ибо 2е~~фр~ РРЛ= ю л так что С, будет 2оаэйр 4$ С =— к— ар1Ф~ т а 2 что отвечает формуле Аккерета. Обратимся к области Л~ (для области Ш вычисление можно будет провести по аналогии), Здесь мы имеем переменное Т= Т (х', у'), причйм, так как возмущение, происходящее в углу ОВ1), обусловлено наличием точки В, можно искать Т как функцию от комбинации 1 ь 0 вй ВОтенциАл УскОРениЯ.
теогемА пРАндтлЯ глАУэРтА 209 Здесь г,— наименьшее из тех двУх значений г, и гв, котоРые обРЕ- шают подкоренное выражение в формуле (29.!3) в нуль. Эти значения суть ЬТ х сов 0' — Ьв ! « — — ) яп О' 2) сова О' — Ьв япв 0' г Ь~г ~х в!и О' — ~ — — «) сова'~ + х'(созв 0' — а'в!н'О ) в2 + совв 0' — ав яп' 0' (29.14) причем верхний знак отвечает случаю г,, а нижний — случаю гв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
