Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 40
Текст из файла (страница 40)
гп — ааг — и ' х =О и=о ос= г й сИ и — с (х — )сг сИ и) лги = / д дх и=агсЬхжг х' =х-*г 1 ~ дс (х') х — х' с(х'. х'=О дФ' дг Для определения с будем иметь интегральное уравнение х'=х — Ьг Зная с, можем найти р' по уравнению Бернулли, а затем и силу Ф', действующую на снаряд. Последняя будет, очевидно, х-- г (Р = 2п / (р') )~г а'х .= ~И = О. (28.30) х=а с и'=х — аг гГО 1 г1 Л~ гГх' )' (х — х')а — Лака ~ сГх = — 2яр,о, х=с (28.31) гдг. Т вЂ” длина снаряда, Если обтекаемое тело есть конус, т. е.
ГГ(Х) =1ОРОХ, а яй пРостРАнстВеннАя злдАНА линелризАция уРАвненигч 255 256 гзо1 ети пекин основы газовой динАмики 1гл, г тб можно считать, что гГс гГх' , = — о,К= сопз1. х'- х>-ад< 11х А — +К п 1 х„— х„ х'=о .)/( ~)т дздз к'=х -ал л л хо х ~ к Ф/ (х х')2 аял2 что даст после выполнения квадратур и простых преобразований (о о ). 11п нп-~ ф // ~х„— х~+ М~; )з / ~х„— хг, + Л11г, )о г ! (28. 33) При этом уравнение (28.30) действительно удовлетворится, и надо будет лишь найти К из условия (28.32) )г1 — до гйе р, Сопротивление такого конуса, рассчитанное по (28.31), деленное на ргоз12 и на площаль я1йт~оТ' основания конуса, будет 2 18' уо аг св а1 1 г ' а(йуо Г о о В случае снаряда произвольной формы рассмотрим на линии его меридианального сечения густой ряд точек О(0.
О), М,(х,, Й,), ... .... М~,(хд„ /1м). Равенство (28.30) должно быть справедливо для любого х; запишем же его йГ раз, вставляя вместо х последова- тельно значения хи хз, ..., хм. Будем теперь считать все дуги ОМи М,М,, ..., Мм,Мд, за отрезки прямых линий, т. е. представим себе, что снаряд построен из отрезков конусов, имеющих каждый свой угол раствора; тогда в пределах каждой из упомянутых дуг величина с(сфх' будет сохранять постоянное значение (на дуге ОМ, это будет о,Ко..., а на дуге Млг,Мм будет о,Км). Теперь для какой-нибудь точки х„, )г„мы можем написать вместо (28.30): а 2и1 пРОстРАнстВеннАя зАдАчА.
линеАРизАция уРАВнении 257 Придавая л последовательный ряд значений и=1, 2, ..., 77, мы получим систему М линейных уравнений для определения )чг величин КР К2, ..., Км. Заметим, что система наша такова, что в первое (при и = 1) уравнение входит ~олько КР во второе — только К, и К2, в и-е — КР Кз, ..., Кл. Таким образом мы можем сперва найти К, из уравнения первой степени (п = 1), затем вставить К, в уравнение при л = 2 и найти К, из этого уравнения и т.
д. После того как К, найдены, давление р„ в точке (х„, гс„) найдется в виде Р»= Рт т~»= л /, хл — хг+ Лгсг, х„— хг, + айг, ) =р,от~~К,тагсй " „— агой 2=1 а поделенное на Р,П2212 и на плошадь основаниЯ к)7~~ сопРотивление С„ снаряда может быть вычислено по формуле (28.31); л М 2 2 л гсл — 77л, жч 1 х„— хг + Лес 2 772 А~~ л — агси ' ' '+ ' ' . (28.34) ~л Отметим, что наши формулы пригодны лишь до тех пор, пока Тс,/а (а значит, и л) не слишком велико. Так, например, формула (28,32) теРЯет смысл, если, несмотРЯ на малость Ро, л 18~о будет близко к единице.
В качестве третьего примера рассмотрим слу- чай вытянутого симметричного снаряда, номе- 0 — — та а' шенного в поток со скоростью и, направление 1 которого составляет малый угол !8~ с осью симметрии снаряда (рис. 97). Разложим скорость ПОтОКа Етт На ДВЕ СОСтаВ- Рис. 97. ляющие: и — параллельнуго оси симметрии снаряда и э — перпендикулярную к втой оси; тогда и = тг, совр жпп и = — пг з1п 3 ж — пг Р, причем и будет величиной конечной, а па†в силу малости угла р— бесконечно мало.
Поместим начало координат по-прежнему в Вершине 17 теоРетическая гилроиеааиика, ч. 22 258 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. ! снаряда и направим ось х цилиндрической системы координат г, О, х вдоль оси симметрии (рис. 97). Будем теперь искать потенциал Ф' в виде суммы трйх потенциалов Ф;, Ф' и Ф'. Ф1+ Фа+ Фз (28. 35) из коих Р Ф~ — — — тег соз 0 ж оф соз 8, и представляет плоско-иараллельный поток скорости (бесконечно малой величины тэ), бегущий параллельно плоскости, проходящей через направление о, и через ось снаряда; Ф' представляет уже разобранный нами потенциал осесимметрического обтекания, получающегося от того, что снаряд помещен в поток скорости и (она же приближенно равна о~), а Фз — не обладающий осевой симметрией потенциал, получающийся из-за наличия, кроме скорости и, еще и боковой скорости ю.
В силу линейности задачи, такую суперпозицию трах решений строить совершенно законно. Р Чтобы найти Фа достаточно, как мы это уже и делали, отправляться от обладающего осевой симметрией решения уравнения (28.28) (ижо1), т. е. искать Фз не зависящим от 8. Чтобы найти Фз, нам надо обратиться к полному уравнению (28.28).
1 Феррари и 1(вянь предлагают искать Фз в виде Фз=соабР(х, г). (28. 36) Тогда (28.28) даст < эг~ дав ! дР дзР Р 1 — е ( + + — я — — з — О. (28.37) ае1 ( дал г дг дга гз Но теперь легко видеть, что в качестве г можно принять г=— дФ' дг (28,38) Где Ф' — выражение вида (28.29). Действительно, продифференци- ровав по г уравнение получим < е~ д дФ 1 д дФ да дФ' 1дй — О, аз1 / дхд дг г дг дг дгз дг гз дг что совпадает с (28.37), если заменить дФ'1дг на г, в яя пиостилнстввннля злдлчл лннвлянзлция тялвняннп 289 и О Фз(х, г, 6) =йсов6 / с2(х — йгей и) ей иг1и= и = ас сЬ хди х' х-ас соа а х — х' — — ст(х'), сах', г( — *'>'-*' х' О где с2(х') — функция, подлежащая определению. Что же касается Фз(х, г), то его мы ищем по.прежнему в виде и О с, (х — (сг сп и) иаи = Фв(х, г)=— и -ас сь х!Лг х' «-аг с, (х') )г(х — х')' — лага х'=О где с,(х') — функции, определяемая, как это уже было проделано выше, из интегрального уравнения (28.30), где вместо с стоит сн Краевое условие задачи (28.18) напишется теперь так: сов(и, х)д (Ф,+Ф,'+Ф'+Ф')+сов(и, г) х-(Ф,'+Ф,'+Ф,')+- +сов(п, 6) — —,(Ф,'+Ф')= 0 1 д при г.= ст(х) (уравнение контура снаряда).
Но сов(п, х)=б, и.; сов(п, г)=1+б.м., соз(п, 6)=0, так что, оставляя малые первого порядка, получим: сов(п, х)о,+о,рсовб+~ — ) +~ — / =О, 1 дг )г=и 1 дг /с=и или, если разделить члены, содержащие 6 и свободные от 6: соз(п, х)о,+~ — ( =0; орсов6+~ — '/ =О. 1дггс и ' а ~ д. /,= — . Первое из этих уравнений даст х' =«-ас Л вЂ” о,+ . =О х — х' дс~ (х') — — с(х' = О, 3~(х — х')а — дага дх' г=и 17а Используя подстановку, употребленную в (28.29), мы можем таким образом окончательно написать: 260 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (Гл. ! что в точности совпадает с уравнением (28.30) уже решенной нами задачи (надо только заменить с на с,). Второе уравнение даст и=о д о)р = — ~ — й со(х — йг сй и) сп и г1и ~ дг и агсьхфг г=и и=о йа 1 — „с1(т и с(и Г дса дх и=ассах!Аг г=л и'=х-Ог 1 Г (Тса (х — х')а с(х' .
(28. 39) ~ г', дх' )Г(х — х')а — лага х'=О г=л Это интегральное уравнение и следует решить, чтобы найти с н, значит, (1)'. Избыток давления р' определится по уравнению Бернулли [см. (28.12)1 д г'дФО дФЗ1 и=о =р)о, ( с',(х — йгсЬи)с(и— и= аг сь х)аг и=о — В г' '( — а а ) ) и (=р,'.(- Вр', (га(с) и аг со «гаг Сила А, действующая на снаряд перпендикулярно оси х, будет теперь х=г О=с А = 2 ~ ) (р,'+ соз 0рз) гс соз 0 (10 ((х = «=О О=О «=г и ~ (р,') гс(тх = — р)огп)0 / Я (х))с, и=о Х ) с,'(х — йг сЬ и) с)) и (1и с(х.
(28А1) (и=а) сьхгаг )г Л(х), в 28! ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ 281 Сила Ж', действующая вдоль оси х, будет: В'= 2 ( / (р,'+р'соа8) й — „сгбм= ОЯ х=о 8=0 х=г сваг = 2и ( (р') Я вЂ” сгх = х=о к=г и=о = 2пр о ( й - / с',4х — мгспс и)г1п сгх, к 0 и=ассах!Вг г л (28.42) т. е. имеет в точности тот же вид, что и для осевой симметрии. Можно ешли подсчитать момент М относительно вершины Р снаряда: г в-. М=2 ) ) (р,'+р',соаб) 1сгсоа8_#_хагх= «=о в=о х=г ( и 0 = — Фргогя / хй (х)~ ~ с' с)г и г(й сгх.
(28.43) х=о и=аг сьювг г=й Для конуса Я(х)= 18 10х; йс са= — „„', = сопа1.=о, рг., причам по (28.39) 1 2 1 с= —— где Да С)гР 1+агсвгь' и гира (28,44) По (28.41) мы получим для конуса силу А, деланную на р,ф2 и на площадь основания, в виде А С 28 аггР 1 8 (28 43) Ргог 1)l'Р— 1+ аг свг 1 — 078108 а Коэффициент момента С будет: См= в = С = —, ° (2848) М 2 4~)гР— 1 8 Ргог,, 3 " 3(ь)7Р— 1+агсоГ) — ивиа 88 7 7 2 Мы видим, что С, и См оба пропорциональны углу р, который ось симметрии конуса составляет с направлением скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
