Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(30.30) У Ун Уг г=(у. У Уж У~ каждая под влиянием концевого эффекта лишь своего края: влияние «левого» концевого эффекта не распространяется на область Зз, влияние «правого» края крыла не распространяется на Яз. В общем случае может оказаться так, что для некоторых точек поверхности крыла и области гсЯ) будут интерфернровать влияния обоих концов. Это может произойти в случае, когла крыло мало раснространено вдоль оси У и вытянуто вдоль оси Х.
Такое ф крыло называется крылом «малого удлинения» (рис. 107). Пусть А,(С,) точки контура крыла, в которых касательные к контуру параллельны ха- з рактеристикам. Введем, как и прежде, систему осей ХР 1', (ана,тогично случаю, изображенному на рис. 105). Через точку А, проведйм характеристику (параллельную осн Х,) до пересечения с контуром в точке Сз. Из точки С, проведвм характеристику (прямую, параллельную оси г',) до пересечения с контуром в точке А, Из точки Аз проведем характеристику до пересечения с левой частью контура (Сз); из точки Сз нроведйм прямую до пересечения с ира- х вой частью крыла в Аз н т.
д. Полоски области гс Я), лежащие между проведвннымн 4 ' характеристиками, обозначим через а, (а,') аа(а'), ... (СМ. РИС. 107). ПуСтЬ Ещй ураВНЕНИЕ АГ ьхы л»г правой концевой кромки крыла (линия АгАЗ... В) Ю записывается как и прежде в виде у, =ф,(х,), а уравнение левой концевой кромки (линия ! С,СЗ ... 1х) имеет вид у, = фз(х,). Запишем теперь условие, что потенциал Ф' в любой точке М(хг. у,) полоски а» равен нулю.
Аналогично тому, как это имело место в случае рис. !04, мы получим вновь уравнение Абеля типа (30.20), откуда последует равенство типа (30.21). Это будет ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !Гл. Г Здесь с«= — 1/яду'/дя в точках полоски а«, у„— орлината точки пересечения через точку у = угг и прямой, параллельной оси х, и проходящей через точку с„ Р Что же касается до функций с,'(хп у,), с'(хн у,), ..., с'„,(х,, у,), то это значения величин — 1/иди'/да в полосках е',, е', ..., а«' г соответственно (член. содержащий Е, появляется только при й)~3). Если известны с,', с,', ..., с„' н то функция с найдется путем решения уравнения Абеля (30.30).
Совершенно так же, как и в случае (30.21), мы получим ф,(х ) 1 1 /' а(х!ч с„(х,, у!У) = —— ' Уу„,— Ф,(х,) '( л) ° ° „° «кя Уг-~ у,') У(, (х„) — у,' Ху,'+ «' Ух Уг !г ф1 (хгг) У~ 'М (30. 31) Х,(У„) 1 / л!х1. ум) г Х«(ум) — х1 ~~хм — Х«(У«Г) „;, Ухм — х,' Х (УМ) + ~/х,'+ У' с«, (х1, у«г) ')/"Х«(УМ) — х,' М'х„—.т', "«-1 ~=«-« '~-! /' сг(хп у«г)УХ (у,„) — х,' (30.
32) Формулы (30.31). (30.32) позволят последовательно определить все функции сп с',. В самом деле, функции с,, с, 'уже определены выще (формулы типа (30.2б)). Зная сн с',, найдам по (30.31) и (30.32) вначения са и с' и т. д. На деталях расчета мы не будем останавливаться, Перейдем теперь к рассмотрению влияния вихревой системы за крылом (рис. 102, С другой стороны, можем написать аналогичную формулу для с' (хлг Ум), где х«, и Ум — кооудинаты любой точки М(хдо Ум) области е«. Именно, если записать уравнение правой концевой кромки в виде, решенном относительно х1 .
х, = Х,(у,), а левой — х, = уз(у,), то мы будем иметь: гипербола И). Будем отправляться вновь от основной формулы потенциала (30.1). Вновь введем характеристические координаты ли уи Влияние вихревой системы эа крылом будет распространяться на точки области Т (рис. 105), а также на точки области тс(г',)), расположенные внутри конуса характеристик, выходяшего из точки В (Р).
В области Т должно выполняться условие (30.15), которое в переменных хи у, имеет вид: — + — = О. дт дт дх, ду, (30.33) Во всех точках области гс выполняется условие (30.14): у' = О. Следовательно, и в этих точках будет выполняться условие (ЗО.ЗЗ). Потенциал р' в точках М интересуюшей нас области имеет вид р (лп у,) = — Уг 1 , (30.34) Г Г с(л',, у,')дх;ду', з .Рз +з ч.~ (Аг — лг) 1У1 У1) причвм интегрирование распространяется на три площадки: !) плошадку Ое+ ЯР отсекаемую на крыле характеристикой, проходящей через М параллельно оси У, (рис.
108), 2) площадку Яа — полоску области гс (вне крыла), расположенную между У, и линией, параллельной У, и проходящей через точку В, 3) плошадку а — область вне крыла, леигашую внутри конусов характеристик с вершинами в точках В и гч'. Заметим теперь, что значение с на поверхности крыла нам известно; мы обозначили его через а(хн у,). Значение с в области Ют мы уже умеем находить (формула (30.25)), причем мы знаем, что интеграл (30.34), взятый по области Яз, должен сократиться в силу (30.28) с интегралом, взятым по части 8, (рис.
108) крыла, отсекаемой продолжением характеристики, проходящей через В параллельно оси У,. В области ч функция неизвестна. Для определения с области в воспользуемся условием (30.33). Прежде чем начать производить выкладки, связанные с дифференцированием под знаком интеграла, поставим условие непрерывности функции с на задней кромке крыла (линия ВВ'Р), т. е.
поставим условие с(лг, Ф'(л,))=а(хи ф'(к,)), (30.35) где у, = ф'(х,) — уравнение задней кромки. Это требование аналогично условию Жуковского для обтекания крыла несжимаемой жидкостью. Ф ЗО! СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 287 288 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЛЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1ГЛ.
! Если уравнение передней части кромки (дуга АА'С) будет у! —— =!у(х1), то мы можем записать (30.33) в виде: Ф / Ф д 1 у' с(х, у!) ду! дх, + д / / ' ' ' =О, (30.3б) Ф( !) )!х(х! — х,') (У1 — У! ) где хв — абсцисса точки В (рис. 108). Прежде чем дифференцировать, д, Рис. !08. преобразуем наши интегралы путем интегрирования по частям, Именно, интегрируя по х',, получим х, ( ) )У( — )(у — «),' р —,' ~ уу»,— у,' с(х,, у )ду, (х ) У! «1 х~ »1 +2 / )'х! — х,' / в с(х,') — с(у дх— дс 1 1 дх с(х'1, (30 37) ~'у! — ф(.;) 1, лф(х!) — 2 1 у' х1 — х,' дх! В СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 289 а 30! Аналогично условию (30.35) примем еще непрерывность с при переходе через линию А«В (рис. 108).
Тогда первый интеграл правой части равенства (30.37) будет равен нулю (см. (30.23)), и мы получим, дифференцируя обе части (30.37) по параметру х,: г )У (х~ — х1) (уе — уг);+з У(хе — х() (у| — у() дх1 с (х,', ф(х,') ) с(х,'. (30.38) 1 д(«(х() )е (х, — х',) [у, — ф, (х,')1 дх,' Второй интеграл в правой части (30.38) бератся вдоль линии А'С передней части кромки крыла. Запишем еща раз наш интеграл, выполняя на зтот раз частное интегрирование по у,: Уг с(х, у)дуеих (' 1 , )гг(х, — х',) (у — у,') теу х, — х,' в Фек 2 )Г у, — ф(х,') с(х', ф(х,'))+ дх1.
(30. 39) Дифференцируя (30.39) по параметру уи получим: = / / .. с' . с(х,'с(у,'+ Уг (х — хд) (у — у,') ду, + / .. (ЗОАО) Ф'(х, — х,') [у, — ф(х,')) 19 Т«ар««где«к«я гиираяе««яике, е. И д /* (' с(х1, У,) е в У (хе А() (Уе У() с (хе, Уе) пу ' ° )' 13 — Уг ь(') 290 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ !ГЛ. 1 Складывая (30.38) н (30.40) и заменяя с(х', у') там, где оно из- вестно, на а(х', у'), придем по (30.36) к соотношению: х у~ Ф' (х1 — х1) (у1- у1) ( дх1 ду, В Ф (х1) Ф (х) Г" /' ! 1 да(х,,у ) да(х,, у,) 1 +, с(»1' а1х'— )У (х, — х1)(»1 — у,') ! дх, ду', хв Ф(х ) Р ! ( дф(-;)1 — — — 1 — а(х,', ф(х,'))с!х1. (30,41) )У(" — )!» — фО! Второй интеграл справа следует брать вдоль линии дуги СА' (ее уравнение: у, =ф(х,)) передней части контура крыла.
Дважды решая дс дс уравнение Абеля (30.41), мы сможем найти — + —, после чего, дх, ду, ' решая уравнение первого порядка в частных производных, найдьм с(хп у,). Собирая в (30.41) интегрирование по у', и приравнивая подынтегральное выражение нулю (см. наши рассуждения для уравнения (30.22)), сразу же решим одно уравнение Абеля и подучим: г' ' !"( ~Э 'Р х!1,, ФР 1хд 1 ! да(х1, у1) да(хп у )1 +-, ду'— 1, — — !1 — ' ~а(хп ф(х,)). (3042) )У у, — ф (х,) ~ дх, Это уравнение легко решается (см. аналогичное уравнение (30.23) и его решение с помощью формул (30.24) и далее).
Кы придем к равенству: Ф' !хя дс дс ! 1 !',У да да !)'ф'(х~) — » —,, Н,11!1 — ! — ' ' ' . (ЗО 431 е11 ) 1 ф1*) — '( 1 вту у — ф (х1) дх1 З у, — ф, (х,) СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЯ ТОНКОГО КРЫЛА 291 уравнение (30.43) проинтегрируем вдоль прямой, параллельной набегающему потоку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
