Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Теперь мы должны будем искать аналитическую функцию, действительная часть которой обращается в нуль на круге радиуса 2=1 и мнимая часть которой равна нулю на отрезке действительной оси длины 2Ь, Ясно, что СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ азп раднусу. Получим, как н прежде, Таким образом, Подстановкой а=л 1ду приведвм это выражение к виду т1 ДВ ! !' (аа + ! (! — а~) а!па т)а У' 2 а,г [] (1 О4) ащо т]'ь (3!.29) где 1 р, = — агс!д' —.
то х пх Е(х, А) ()~! — Д' ып' х) 1 — аа а' Мп х свах 1 — ао )' 1 — аа аш'х так что С,„пч „А м с р функциям, стр. 37, формула 126, Раскрывая числитель подынтегрального выражения, напишем: о аВ 2о' Ут" 2а,/ ( 1 — (1 — а') а!пот) 1 )/1 (1-- а~) мпат о + )У 1 — (1 — й') я!пор) по7. Правая часть мохгет быть выражена через эллиптические интегралы 1-го н 2-го рода и через элементарные функции '). В самом деле, если х к Е(х А)=.
/ )/1 — 7аоя!пах г(х, Е(х, )г)= / — = ~7х, 1 )' 1 — аа а!па х о о 314 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОП ДГГНАМИКИ !гл, г Таким образом, постоянная В найдется по формуле:  —— (31.3О) Ь~Д ( )(! Ьа) 1 ЬгР( У"1 Ь~) ! (' Коэффициент подъемной силы С запишется по (31.2Б) в виде; +ь '1 (' 1 — ее С = — ( и' — г(е. У Ье, 1РЬ г (1+ее)а -ь Чтобы вычислить этот интеграл.
заменим его контурным интегралом, взятым вокруг крыла: 2 ( 1 — тг С = „~ (т('+(з~ Н ~, г(т = (Ь~ — та) Ь Деформируя контур в круг единичного радиуса с обходом вокруг обоих полюсов т = + ( по бесконечно малым окружностям и применяя теорию вычетов, получим: 2мВ С = — ' е, Используя (31,30), получим окончательно ь 2ь'ь (тн У1 — ь') +2е(т~, 1'! — ьЧ вЂ” 1+ ь' Таким образом, в противоположность тому, что имело место в предыдущем случае, отношение С ( — здесь не является постоянным, ( 43 а будет зависеть от Ь и т, т. е. по (31.27) и (31.29) от произведения (г ГЕ 3.
На рис, 127, заимствованном из статьи Гуревича, по горизонтальной оси откладывается величина н1е3, по вертикальной оси величина — С ( —. До значения (г!ей=! используем (31 31), при ( 4~ г( Ь . (г1дй) 1 получим постоянную, равную единице (формула Аккерета спраеедлива для стреловидного крыла, выходящего за конус характеристик). Верндмся к общей пространственной задаче и покажем, как можно найти некоторые новые классы точных (нелинейных) решений. В случае осесимметрического обтекания конуса (1) концы вектора скорости располагались на кривых и, = 7'(О,). Это значит, что в пространстве (О„, О, О,) концы вектора скорости располагались в этом СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 315 азн случае на поверхности вращения. Возникает вопрос, нельзя ли построить другие виды лвижений, более общие в том смысле, что в них концы вектора скорости хотя и лежат на некоторой поверхности Х, но последняя не обвзательно является поверхностью вращения.
0,4 0,7 0 0 0,7 6',Л О,б' ГуИМскжлХу8 Ряс. 127. Задача эта была исследована впервые А. А. Никольским ') (1949 г.). Изложим некоторые результаты этих исследований. Пусть уравнение поверхности Х в пространстве скоростей записывается в виде (31.32) э ( х' у)' Построим дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет функция г'.
Мы рассматриваем безвихревое движение, так что выполняются соотношения: до до деу дол ~~э (3!.ЗЗ) ду дх ' дл ду ' дх дл ' ') Н и коль с к н й А, А., О классе аднабатнческих течений газа, которь'е в пространстве годографа скорости изображаются поверхностями, ЦАГИ, Сборник теоретических работ по аэродинамике, Оборонгнз, 1957. Никольский А. А., Об одном классе точных решений пространственных уравнений газовой динамики, АН СССР, Инженерный журнал, 1 (1961), з. 4.
316 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИНАМИКИ 1гл. г Кроме того, должно выполняться урзвнение (28.5), которое, используя (31.33), мы можем записать в виде: дох доу до» (о2 а2) ..~ (о2 а2) + (о2 а2) . + до» до» до» + 2охоу — "+ 2охо» + 2оуо» д ' — — О, (31.34) Вставим теперь о, из (31.32) в уравнение (3!.34), используем еще раз (31.33) и перегруппируем члены. Получим 1 "Ф+( — '")'1 — ("+" — '"-)') — ""— дР .
дг 2 2 дР дг'»1дох — 2 ~о„о +о р — +о„/' — -~-(рз — аз) — — 1 — '+ х У У до х до дох доу 1 дУ +(а2(1+( — ) ~ — (о +»' д ) ~ д у — — О. (31.35) Перейдем теперь от переменных х, у, г к переменным и, о, ь из соотношений: и=о, о=о, э=я. У' Легко видеть, что до, дх до дх — "= — - — ь, у= — ь, ду до ' ду ди дох ду дх до дех деу Г дех Т2 где Ь= — — У вЂ” ( — ) .
Но тогда (31.35) может быть перепидх ду 1 ду / сана в виде: 1 ~ (д»»)1 ( + д ) )д»»+ + 2 ~ и о+ ого — + иà — + (гч2 — аз) — — ~2 — + дР, дг' дР дав дх ди до ди до ~ до +)а'~1+(~ )1 — (о+Р д,) ) д =О. (31.3б) у =их+оу+г»(и, о) ° ь — о(х, у, ь), где 2» — потенциал скоростей, так, что и = др/дх, о = др/ду Р=д1»/д~. Легко видеть, что у зависит лишь от и и о, но не зави- В этом уравнении коэффициенты, стоящие при ду/до, дх/до, дх/ди, зависят только от и, о, сами же величины х, у зависят как от и, о, так и от ч. Покажем теперь, что в нашем движении х и у суть линейные функции от ч с коэффициентами, зависяшими от и и о. Для этого введем в рассмотрение функцию у из равенства: СВЕРХЗВУКОВЫЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 317 Э з11 сит от (. Действительно: дх ду ду= и — +е — + дь д", дх ду д~ = — и — +о + дт дх Р—— дх дб дэ ду дт ду д.' д." ду — — Р= О.
дг дх Р— и — е дь Далее, д. дх ду ди ди — х = х-1- — +о-+ дР дт дх дт ду, дР— — — =х+ч —, ду ди ди ' ди дх ди Таким образом„ дХ дР х= — — ь— ди ди (31. 37) Аналогично ду дР у= — ' — ч— де де (31.38) линейными функциями от ч с коэф- о. Таким образом, х и у являются фиппептами, зависящими от и и Мы можем теперь написать ду д'Х д'Р де де' де' ' ду д'у доР— à —. ди дио дио ' дх дои д'Р де диде диде ' Вставляя эти выражения в (31 36) и приравнивая нулю члены с ч, получим уравнение для определения функции Р: Обратим прежде всего внимание на одну замечательную особенность 31, ость нашего движения.
Рассмотрим какую-либо точку поверхности '32) е = "о е = ео ег = гео — — Г(ио, оо). В силу (31,37), (31.38) (дР)з~ ( + дР)т~ дР + дР дР о т дР дРз д'Р + 21ие+ оР— + иР— +(Ро — ат) — — ~ + ди де ди де ) диде +)а'~1+( — ) ~ — (и+Р— ) ~ —,— О, (31.39) Олновременно с этим, приравнивая нулю члены, свободные от ч, получим уравнение для у. ~ аз~1+( — )~ — (о+Р— ) ~ ди, + ( дР)о~ ( + Р дР)т) д Х О (31.40) 318 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1гл. з этой точке в пространстве (х, у, е) будет отвечать целая прямая =( — ) — ( — „); у=( — ) — ( — „) . (31.41) Таким образом, в нашем движении сущесавуют целые прямые, вдоль которых значение скоростей сохраняется (меняясь от прямой к прямой), Расположение этих прямых в пространстве (х, у, г) зависит от вида функций у и Р.
Задание поверхности гт уже определяет направление этих прямых: каждая из прямых (31.41) параллельна нормали к з;, проведвнной в точке из„ош Размещение этих прямых в пространстве регулируется функцией у (и, и). В частности, если у = сопз1. (это значение тождественно удовлетворяет уравнению (31.40)), имеем = — '(~) =- ( — '") лама ааа,ааа и тогда все прямые постоянного вектора скорости проходят через одну точку х=у = а = 0.
Если взять ;(= с,и+сзо+ сзгч(и, о)+С, где с,, с,, сз, С вЂ” произвольные постоянные (такая у, как легко видеть, вновь удовлетворяет уравнению (31.40), если Р удовлетворяет уравнению (31.39)), получим: х = с, + (с, — г) ( — ) дР аа ча у = сг+ (сз — е) ( до ) дг яа аа Теперь мы будем иметь в пространстве (х, у, е) пучок прямых, проходящих через точку х = си у = сз, е = сз.
Это — своего рода конические течения (не осесимметрические), вид которых остаатся в значительной степени произволен, пока не задана гт. На конкретных примерах различных гт мы не останавливаемся. Рассмотрим теперь пространственные течения газа, в которых концы вектора скорости располагаются на некоторой линии. Такие течения были рассмотрены А. А.
Никольским (1950) в том виде, как это излагается ниже. Пусть в пространстве О , О, та, области течения соответствует кривая 1, имеющая уравнение тат (31.42) Рассмотрим в нашем течении, в пространстве (х, у, е), поверхность р(х, у, г) = ра= сонэк (31.43) СВЕРХЗВУКОВГЯЕ КОНИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 319 азй По уравнению Бернулли и в силу (31.42) мы будем иметь во всех тОЧКаХ Этай ПОВЕРХНОСТИ ОДНИ И тЕ жЕ ЗНаЧЕНИЯ Ох, О , О;, ПУСТЬ это будут тух = ие, пу — — Ою О =тве Таким образом, в пространстве (О, ту, ту ) всей нашей поверхности булет отвечать одна точка (Ох' у ' А(и, пе, ше) кривой 1. Докажем теперь, что поверхность (31.43) есть плоскость в пространстве координат.
Действительно, по уравнению движения дЧ 1 — = — — угад р. дт Вто равенство означает, что при бесконечно малом удалении вдоль линии тока от поверхности р = сопзг. приращение дЧ вектора скорости будет всегда нормально к поверхности р = сопз1. По построенные таким образом приращения дЧ во всех точках поверхности р = сопз1. имеют одно и то же направление — они параллельны касательной к кривой 1 в одной-единственной точке А (и,, о,, а~в). Значит, любая поверхность р = сопзй является плоскостью, нормали к которой параллельны касательной, проведенной через соответствую|цую точку кривой. Воспользуемся теперь уравнением (31.33) и (31.34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
