Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Затем, пользуясь формулами 2 Е-1 — '= ч-а * 'а" ', ,гг= — ' о мы можем найти о во всех точках плоскости. Останется только соединить линиями точки, в которых с олинаковы. Задача о дви>кении будет решена Несколько слов об аналитическом решении задачи. Для интегрирования (35.4) мы должны написать в нашем случае: ггг егх 1 х+1 — оа+ а, 2 значит, ..=Г~' — Я вЂ” '.а .о) Г~, (35.6) Х = "— '=ф(г) — ("+' Х+ао) г~ рассмотрим пример. Пусть поршень движется равномерно замедленно так, что лта х = у (() = — — (и ) О). 2 Тогда должно быть — ~~=~( — —,'+', ~(' — ао()' поа х+ 1 п(' а+1 2 ооозначая — — -+ п(2 — а Г=-и, получим: = — (ао — е' ао+ 2хич1).
11гак, е (т() = — — (ао — Гг ао+ 2хат)), т. е =. — — ' а — згг а2+ 2хи ! х — ( о +а)г!~. 1 ешая это уравнение относительно о, найдем окончательно: (х+» / г (,+1) а=- — — а — ' — (+а — 17 !и ' Г+а ! +2пх(х — от)~. о) о 22 тсерегичеслая гадромеханнна, ч. П тле à — совершенно произвольная функция своего аргумента, Мы должны подобрать эту функцию так, чтобы на поршне, движущемся по закону х = 7' (Г), имелись данные скорости о„= г(7(о(Г. Это значит, что надо положить для определения Р: теоеетическне ОснОВы ГАЛОВОИ динАмики !гл, ! Последняя формула годится лишь ло тех пор, пока скорости поршня не станут слишком велики. Именно, по (35.5) а станет отрицательно, если о«СО ~ „~>„ 2 Частицы, прилегающие к поверхности поршня, имеют скорость поршня; псе значит, если принять для поршня закон х = — — —, то для момен- 2 2 ао тов !)~ — формула будет неприменима.
Позади поршня обра- « — 1 и зуется вакуум. Обратимся теперь к более трудному случзю. Попробуем изучить движение, в которое приходит газ, находящийся между перемещающимся по заданному закону поршнем и стенкой. Пусть в начальный момент газ находился в покое (С,=О) и имел постоянное и==а, а поршень движется по закону х==- г" (!), причем в начальный момент у' = О, у (0) =- ха, Пусть стенка имеет абсциссу лн В плоскости (х, г) изобразим закон движения поршня Ь и проведем «лннию стенки» ь!, уравнением которой будет х = хн Проведем через точку А (х = ха ( = 0) прямую характеристику первого семейства АВ, до пересечения со стенкой в точке В,; получим х — ха= п,г'. Треугольник АВ,А, будет отвечать покою. В области между т'., 0 А, 0 пв Рис. !40.
Рнс. !41. прямой АВ, и характеристикой (криволинейной) второго семейства, проходяшей через Ви будет движение уже разобранного типа с прямолинейными характеристиками первого семейства. Нанесам на характеристике В,В густой ряд точек Ви Мн М, ..., В (рис. 140).
В плоскости (а«, а) этим точкам будут отвечать точки В1, Мн Мз,... прямолинейной характеристики второго семейства, проходянтей через точку (О, аа) (в точке В, еше будет о =О, а=-аа) (рис. 141). Чтобы найти скорости в точке С, пересечения с !.! характеристики первого семейства, проходя!цен через Ми обращаемся к операции Р. а ззс СЛКЧЛП поСтаяииои эитиопии движения погшпя 339 о„= сс. Обозначим, затем, как и прежде, и + — а = 2)„ 2 ) 2 и — — — — а=2р (35.7) и введем в качестве неаависимых переменных ) и р.
Очевидно, что будет с =- сопз1, вдоль характеристик первого семейства и р = сопз1. здолс, характеристик второго семейства. б!ы можем всегда вернуться к переменным и и и по формулам и =).+(с, а=- ' —,' ().— р). (35.8) ') Гс а с( а ш а г сс з., сеуояз знг са ргорзяассоп с)еа овбез, 1903. На (.с всюдУ о =О, значит, в плоскости (о„, а) нам пРидетсЯ М, перемещаться по прямой характеристике первого семейства до встречи в Сс с осью а.
Определив таким образом скорость в точке Си применим теперь к точкам Мз и С, операцию а и опречелнм скорости Р, на пересечении Р, характеристик МаР, и С,Р, (сачка Рс найдется в плоскости (о, а) на пересечении характеристик, и-сущих из Мз и Се соответственно). Лопая до точки Р„(рис. 140), применим к Р„ и к линии (. операцию р и найдем скорость в точке С и т. д.
Легко видеть, что теперь оба семейства характеристик в (х, () будут криволинейными. Изложенный здесь метод графического решения задачи очень прост и позволяет произвести вычисления с любой точностью. Он аналогичен тому способу решения плоской стационарной задачи при помощи характеристик, который мы подробно излагали в разделе Б этой главы. Однако, в то время как в главе о плоских движениях мы не имели общих решений, кроме как в случае наличия прямолинейных характеристик, здесь в одноразмерной стационарной задзче можно написать точные решения я в общем случае.
Правда, это относится лишь к таким газам, для которых к удовлетворяет определенному соотношению (см. ниже), но, в частности, это относится к случаю, когда к=1,4. На это обратил внимание еще Адамар '). Чтобы показать это, возьмем уравнения (33.6) (при 3 = — сопз1.) и (33.3) и примем в качестве независимых переменных, вместо х и:, величины о и а. Используя наши характеристики, мы можем очень легко выполнить это преобразование следующим образом.
Для удобства письма обозначим о . через и: зао тзопвтичвскив осноага газовой динлмики !гл. г Так как вдоль характеристик первого семейства ~1х — — (и+ а) с(г, то мы можем написать: дх дг д,. ( +а) д„' !)до»ть второго семейства характеристик с!х = (а — а) с(г, и мы можем написать дх дг д д) д»' (35.10) Остается вставить в (35,9) и (35.10) значения и и а нз (35.8), и мы получим систему уравнений для определения х и Г в функциях от ) и р: (35,11) Псключая х, придем к уравнению дЧ 1 х+1»'д! дгл (), — р) —..— -+ —,— — '- ~ — — —.-) =.
0. гждн 2 х — 1 (дн дд) Если 1 »+! 2 к — 1 где и — целое число, то мы получим уравнение Дарбу, которое интегрируется в общем виде. В часжюсти, при х = 1,4 мы будем иметь ш = 3, так что наше уравнение примет вил: Уравнение это имеет общим решением д' Д () ) — Ц (!») длгдил 1 и (35.12) Произвольные функции Л и 31, входящие в (35.!2), должны определяться из краевых условий, аналогично тому, как это делается в классической задаче о струне.
После того как Р определено, х может быть сразу найдено по (35.11). Это будет 2 д' г/д д»л — Д1"! х = (). + !»)! — — „-.—,— — ~ ! — +- — ! — ' !. (35.13) 5 ддд!»!!дд дн) Х вЂ” и )' 4 зо1 возникновииив и пвявмвшяния сильного ялзяывл ч41 В Зб. Возникновение и перемещение сильного разрыва. Предположим теперь, что в покоящейся среде, попадающей всюд) постоянной энтропией й и постоянной скоростью звука ао и заполнявшей бесконечный цилиндр, движется поршень по закову х = у (г). Пу ю„ как и прежде, ф) =о; (-~ — ) — -( „.)„+и, > О+и = — (- — ~ Рнс.
142 что и доказывает наше утверждение. Но тогда прямолинейные характеристики первого семейства, исходящие иа разных точек Е, начнут, рано или поздно. пересекаться. Наступит явление сильного разрыва. Нетрудно подсчитать расстояние от начального положения поршня до «первой» точки поверхности разрыва и момент возникновения такового, для э гого достаточно найти предел, к которому будет стремиться место пересечения характеристики, идущей из А (рис. 142), и характеристики, идущей из Ан когда А, стремится к А. Для первой из этих характеристик имеем: хо = лог. Для второй ' — хо — йсо= — (л(хо+бхо Д~)+ох(хо+бхо бс))(( — бО Дхо есть разность абсцисс А, и А, а цг — разность ординат "этих точках. Отсюда найдем для точки пересечения этих прямых: Зха 4-(а(хо+ эхо ДГ) ч ех(хо+ гхо ДГ)) аг оп+ а(хо+ эхо дф — ла х = хо+ по(.
но в то время, как раньше мы считали, что у' — монотонно убывающая функшш г, предположим теперь, что у" (г) может оказаться положительной. Для большей ясности предположим просто, что всегда будет у'"(Г) > 0 (рис. 142). В этой задаче, так же как и в соответствующей задаче предыдущего параграфа, характеристики первого семейства будут прямые, и движение может быть определено и графически и аналитически. Однако в то время как характеристики первооо семейства при уа ( 0 становились, по мере продвижения вдоль линии (., начиная от точки хо = г(0).
всэ круче по отношению к оси х, здесь характеристики будут становиться все положе. В самом деле, точка Аь например, будет иметь о„': О н а ) ао, значит, 342 теопетические ОснОВы ГА30ВОЙ динАмики 1гл. ! Но бло = У'(ло) бГ. 'и + и о = 2 О~ (~о+ био' АГ) 2 (,ар ) ~Г ((Г ) б) »+1 и мы получим в прелеле лля момента 1' возникновения разрыва у 2« )) (.+ 1) Уо" а лля положения Х: 2 из '„+ л,.
"+1 «о а ') Мы предполагали при выводе, что «первая» точка разрыва лежит на «первой» характеристике. Условие зто может и не выполняться. В общем случае первую точку надо искать на огибающей системы прямолинейных характеристик. Появившийся таким образом разрыв усложняет картину явления в двух направлениях. Во-первых, он заставляет искривляться все характеристики первого семейства (после того, как они пересекут характеристику второго семейства, илущую через точку (Х, Т))„ во-вторых, и это существеннее, благодаря тому, что скорость )1 перемещения поверхности разрыва будет, вообще говоря, переменной, поверхность булет оставлять позади айа Р себя область переменной энтропии. Поз~о~у форму~ы 9 35 и 8 С линейные характеристики в плоско- М, сти (О», а) неприменимы, и нам надо обратиться непосредственно к формулам (33.11), (33,12), (33.13) из 9 ЗЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
