Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Рис. 143, Покажеи, как решается графи- чески задача о движении разрыва, если разрыв воаникает уже при 1= 0 и у самого поршня. Это булет в случзе, если поршень в начальный момент получает сразу скорость Ои отличную от нуля. Пусть некоторое время поршень движется с этой постоянной скоростью, а затем скорость поршня начинает непрерывным образом меняться по произвольному закону. Изобразим, как всегда, закон движения поршня б в плоскости (х, Г) (рис. 143).
Обращаясь к плоскости (О, а), найлем на кривой четвертого порядка (34.9) значение а = аи отвечающее значению О„=та, (С' на рис. 144). По формуле (34.8) мы можем найти теперь возникновения и пвявмашенне сильного Рлзгывл 343 у — скорость перемещения поверхности разрыва: ав г г М= — + 2 я — 1 в, ' Отрезок АС прямой л = хл -+ гтг1 бУдет пРедставлЯть отРезок линии Ен изобРажающей пеРемещение поверхности разрыва около точки А.
!1усть В есть точка Е, после ноторой Е начинает искривляться; проведем прямую характеристику первого семейства ВС до пересечения с проведенным уже отрезком АС. 8 прямолинейном треугольнике АВС движение происходит со скорост»ю и =- о, = сопз1. В области, ограниченной прямой ВС, криволинейным отрезком В0 линна Е и криволинейной характерно~икон Сс) Рнс. 144 второго семейства, движение найдатся так же, как это было сделано в предыдущем параграфе (прямолинейные характеристики первого семейства и т. д.). На линии СВ нам будут, таким образом, известны и„, а и 3, Нанесем нз СЕ) густой ряд точек: Мп Яю ...; нз точки М, проведем характеристику первого семейства (элемент ее) Я,Е, используя формулу дх — '= и.+а лГ л ло пересечения с продолженнги СЕ прямой АС. Чтобы найти скорость в точке Е, проведем нз точки я~ (рис.
144) 1в плоско- 1о, а)), отвечающей точке М, плоскости 1х, г), прямую характеристику первого семейства до пересечения в Е' с нашей кривой ~етвертого порядка. Определив координаты Е', т. е. найдя зна" ния о, и а в точке Е, можем затем построить новую скорост.
поверхности разрыва в Е по формуле (34.8) и провести из точки Е новый, пе явлшошыйся продолжением прямой СЕ элемент линии разРмва. Г1остропм теперь элемент характеристики второго семейства, теОретические Основы ГАЗОВОп динАмики !гл. | 344 идущий из Яз по формуле ( — „, ) =(и»)„+а и элемент характеристики второго семейства, выходюцнй нз Е, по формуле ( — „; ) = — (о„) — ае, Было бы ошибочно искать скорости в точке Р, пересечения этих характеристик как координаты точки пересечения в птоскостн (о„а) прямых: 2 2 О» (о. )е ==; - 1- (а — ае) о — (о») = — — 1- (а — алг,); в самом деле, уже начиная от точки С, линия разрыва пачн|т искри- вляться, т.
е. 7|г начнет меняться со временем, а это, как мы знаем, приведет к гому, что равные точки получат разную энтропию; нельзя будет больше считать г)3/а',".=О, а следовательно, нельзя пользо- ваться соотношениями (35.1), (35.2). Мы должны обратиться к общим формулам (33.11), (33.12) и искать Р| на пересечении прямых 2 а,„з о» вЂ” (о») + (а — алй) = — * !п — '-, »ЛЬ я — 1 — 1 '||1 2 а. 9 о — (о )е — — (а — а .) = — е !п »» я — 1 Ь е Значение Ь находится по формулам (34.6), (34,7), ибо 7ч' в Е мы уже внаем. Значение Ьл|, оудет тем же, что и постоянное для всего криволинейного треугольника АС0 значение Ь.
Чтобы найти бр„ найдем сперва, чему будет равно ! в точке Р,; по (33.12) 2 х.~.! '| причем в качестве «исходной» скорости ае в точке Е можно принять просто значение ае, что же касается 1, то это будет просто координата хе (закон движения представляется для всех точен между линией А!., и осью АХ прямыми, параллельными оси г; линии закона движения разрыва не терпят, а лишь изламываются при переходе через АУ.,). Зная 1р, н вспоминая, что 3 зависит лишь от 1, мы можем затем найти бр, простым интерполированием (по бе и бж), ф 37. Односторонний взрыв. Плоский, цилиндрический и сферический взрыв без противодавления.
Сферический взрыв с противодавлением. Мы уже упомянули в 6 2 этой главы, что если условия (2.!5], (2.16) и (2,17) не выполнены, то возникает взрыв. ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ 1 221 На пр н мере олноразм е р ных движений покажем, как это явление будет протекз ть. Пусть в начальный момент 11 = 0) по обе стороны от плоскости х =. 0 заданы значения гидродинам ических элементов и„, р, Р; лля п ростоты предположим, что для х ( О в начальны и момент всюду: р = сопя).
= Р<; р = сопай = рн «<х со н 51 з!1 и для х .» 01 р=сопз1.=рг', р=сопз1.=рг, в„=сопз1. =юг; Р' ,— — Рг == Р' <1<Р< = згрг нрн этом будет 137.1) (если х одинаково в обеих средах), Кроме того, так как <! —.—.О, то О„' -=О<', пусть это будет и'. — "2. — 2. Н 1;. Кочин показал, что могут быть четыре случая: 1) обе край'<не поверхности суть поверхности сильного разрыва <раз<рыв давле'<'ш); 2) обе краш<не поверхности разрыва суть поверхности слабого Разрь<ва 1характеристики); 3) правая крайняя поверхность есть хаРзктерисп<ка, левая крайняя — сильный разрыв; 4) левая крайняя поверхность — характеристика, правая крайняя — сильный разрь<в. и эта шестерка чисел совершенно произвольна 1р и р лишь положительны), т. е.
их значения не удовлетворяют уравнениям 12.15), 12.!6) н (2.17) нн при каком <<7 [например, пусть О! = Ог = О, а р, Ф р, — тогда 12.15) не выполняется). Сразу м<е от того места <х ==О), где был в начальный момент разрыв, побегут трн поверхности разрыва, одна из них — крайняя «слев໠— будет распространвтьсв по сРеде имевшей в начальный момент О«=Он..., дРУгаа— крайняя «справ໠— будет распространяться по среде, имевшей при 1 =- 0 и» = 2<2, ... Наконец, средняя будет поверхностью стационарного разрыва и она, перемещаясь в пространстве, не будет распространяться по частицал<, отделяя всегда газ, обладавший значениями элементов О„ рг, рг от газа, имевшего вначения элементов Он рн рн В момент времени, бесконечно близкий к начальному, рассмотрим мсе четыре области, таким образом образовавшиеся. Назонам через о',, р,', Р,' значения гидродинамнческих элементов межлу крайней «слеза» и средней поверхностью разрыва; пусть ю', р, р — значе- 2' 2' 2 ния элементов между средней поверхностью разрыва и крайш<м справа разрывом.
Тогда, вследствие стацнонарности средней поверхности разрыва, давление р' на этой поверхности разрыва не терпит, так что ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАЗОВОИ ДИЬ!АМИКИ 1гл. ! В качестве примера рассмотрим подробнее, что произойдет, если: Ф! ='02= О, причем Р! .Р Р2: будем искать решение задачи, как в случае 4. Крайняя справа (рис. 145) поверхность разрыва будет первые.
щаться в среде с величинами р,, р2, 62 с постоянной, подлежаще! 8=0 Рис. 145. определению скоростью 7!1 (рис. 146, линия О 4); средняя поверхность будет перемещаться с постоянной скоростью о', также заранее неизвестной (линия 022); наконец, слабый разрыв будет бежать яв! справа налево с заранее известной скоростью а! =- 12 — ' (линия ОС). Между этой последней поверхностью и поверхностью стационарного разрыва (средней) будет осуществляться непрерывный переход скорости о, движения жидкости от значения 0 до значения о', причем, так как крайняя характеристика прямолинейна, то и все характеристики, выходящие из точки О, будут прямолинейны (пучок прямых, обозначенных пунктиром).
Нам остается только связать семью соотношениями семь постоянных величин: Рис. 146 Р2' 2' ' ) ' ' Р!' 1' Прежде всего, так как при переходе через поверхность слабого раз- рыва величина 0 измениться не может, можно считать, что (37. 2) тогда по (37.1) имеем; (37.3) 347 ОДНОСТОРОННИЙ ВЗРЫВ 4 зи далее, так как характеристика второго семейства ОС' прямолинейна и 31= сопз1., то мы можем считать, что соотношение 2 О„+ а = сопз1, выполняется не только на каждой характеристике первого семейства в угчу СОВ, но и во всам атом угту. В частности, для линии ОВ плоскости (х, 1): 2, 2 (37.4) где ,г Р' а' =х —,, 1 Р! причдм, по определениго Ь, РУ а,=ив Р1 Р1 8,"р,'" (37.5) Наконец, мы имеем условия на линии разрыва (ОА).
Здесь О =(), Р =Рг, Р =Р, О =Лг — о =И, Р =Рг Р =Р н по (34.2) (37.6) (37.7) ргг'7о = Рг Р ° ргр7 = р,'()У вЂ” о'), и искать решение этого уравнения, зависящее от отношения х/Д Это будет 2а, 2 х о —.+1+.+1 Г. Изменение скорости от О до О' происходит в 7' СОО. Именно, на линии ОС имеем х)г= — ан т. е. Ох=0, что же касается наклона линии ОО, то он найдется из условия х к+1 — — иг+ тг т + 2 Р, ( + 1) Р, — (» — 1) Рг (37. 8) Р (к+1) Рг — (х — 1) Рг уравнения (37.2), (37.3), ..., (37.8) и позволят нам определить семь неизвестных величин. Чтобы найти движение внутри угла СОВ плоскости (х, 1), нам нале написать вместо (33.4), по аналогии с уравнением (35.4): 349 ОлностОРОннни ВЭРыВ 4 ЗП значения Зн Простота задачи, только что нами рассмотренной, проистекает нз того, что среду мы считали безграничной.
Рассмотриы еще слупи, когда в начальный момент будет р.= рн е==рн О=-О не для всей бесконечной полупрямой (х ( 0), а голы!о на отрезке: 1,1 1 !1 и — 1 Н! З.-1, а — л= — '=- солж., а 12 2 а!7' ' ' а — 1 а на луге СВ, характеристики 2-го семействз будет 1 т1 "Ринам 7. и р определены по (35.7). — = сопз1., На всей остальной пРЯмой пУсть оУдет вначале Р = Рз ь =,, О =- О, причем, как и прежде, р, ) рз. Вовникают две поверхности сильного разрыва, бегущие одна вправо, другая влево (рис.
147, линни О,А, 01А; сзади них движутся поверхности стационарного разрыва (01В, О,В ). Характеристики 2-го семейства (1-го семейства), выходящие из 0,(0,'),— г зто пучок прямых. На характеристиках О,С и 0,'С (так же, как и во всзм треугольнике О,СО!), всюду будет а == ан О =- О. Внутри криволинейного треугольника СВОР сторонамн которого будут криволинейная характеристика 1-го семейства СВ, прямолиней. ная хзрзктеристика 2-го семейства О,С и закон движения ста- 77; 77 ционарного разрыва (прямая) О,В, Рнс. 147.
движение будет происходить в точности по законам, описанным выше для случая бесконечной среды. Аналогичное можно сказать про треугольник СВ О,. Зная движение на криволинейных отрезках СВ, СВ' характеристик обоих семейств, выходящих из С, мы можем теперь найти движение в криволинейном четырахуголю1ике СВЕВ'. Движение на СВ и СВ' может быть точно найдено (с помощью формул зтого параграфа). В частности, легко получается, что: на дуге СВ характеристики 1-го семейства имеем твогвтичвскив основы глзовон динлмихн п.л. ! Предположим далее, что х= 1,4. Тогда мы можем использовать формулы (35.12), чтобы найти А()) и М(!») по двум условиям, записанным нами на лугах характеристик СВ, СВ'.
Тем самым мы определим движение внутри всего криволинейного четырехуго.чьника СВЕВ', а значит, в частности, и на характеристиках ВЕ и В'Е, Теперь мы должны перейти к определению движения в четырехугольнике АВЕЕ (А'В'ЕЕ'). Здесь нам придется сопрягать решения вдоль заранее неизвестной линии ВГ (В'Р'), определяющей закон движения стационарного разрыва, Так как в каждой из областей ВАЕ (В'А'Е), ВЕА (В'Г'А') величины Ь еше остаются постоянными, то мы можем вновь воспользоваться формулами типа (35.12) для каждой из этих трехугольных областей. Начиная от точек А(А'), линия, представляющая закон движения ударной волны, начинает искривляться; 6,,' становится переменным и точных решений, вообще говоря, не будет. Решение можно вести дальше аналогично тому, как это описано в 6 36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
