Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 56
Текст из файла (страница 56)
149 л, л+! тге!+т!.!.! и 1 — — (37. 72) дл 2 л и ™ . (37. 73) 2 !!налогично запишем дЧ'/д!', д!р/д . Производные эти записаны, как вилно, в центре соответствующей клетки. Тогда мы получим 362 геогетнческие ОснОВы 1'лзОВОИ дннлмики 1гл следующие разностные уравнения: и 1 ~,„иь1 и и т! ' + 71«1 71 ен1.1 ~" 2 Ь- 1 г Ли 1 И ! —, -) 2(Л+1"), =-О, (37.74) 1 Ч' ' т! ! — Ч' — Ч ! ич-2 *и.1-1 ! и 1 и .и 1 1.1- ! 1.ь А4 Ьи 1т- 2 1 и.*— +2(Л+Ь"), = — О, (37 75) (37.
76) где А;= М,+ — - Ч (37. 77) 1 -1 1 1«- 1 и1 — „ Будем считать пока известными величины (Л1, Л, й"),, а также значение величины Ьт (Л1 — стандартно). Тогда А1, В, будут известны. Пусть последняя «справа» точка и-й горизонтальной линии (т. е. точка, отвечающая поверхности разрыва) имеет номер «7!в. Ясно, что А1, В, будут иметь смысл лишь до тех пор, пока 1+1 . 72. Это же относится и к формуле (37,76). Применяя формулу (37.76) сперва для 1+ 1=й, потом дла 1+1=12 — 1 и т. д., получим Ч'," ,'=А,,Ч',"''+В,, Ч|!,'=А, 2Чгл«!+В, „ Чгл 2=-А» 2(Ал !Ч'р",' + Вл !)+Вр, 2 —— и" 1 = Ал 2АЕ 1%2" + Ал 2ВЛ ! — В„2 н т. д, или где (г'=$' —., ! — ) (причем, в силу (37.53), д311дГ зависит лишь от номера Е, но не зависит от и).
Уравнение (3?.75) решим относительно '1",'ч ', получим Чи„"~ = А1Ч1,"..',!+Во ОДНОСТОРОННИН ВЗРЫВ % з! Тп,им образом, путем рекуррентных соотношений мы можем вырази гь фе '-1 фл!1 14П!Р1 'Л вЂ” 1 Л вЂ” 2 . 0 через посредство Ч', (неизвестная Величина). .! 1 1!пенно. Ч', ' = и,1гл' -Г 721, 1,!е а! =- А,а,. „,, б! = ф",е! — А, (1Р!' — 6,.,) — с1, (37.79) (37.80) 1 1 -1 с, = 2 Ь'-, (Л+ 1l'), М, + — ' ''2 '~6 (37,81) рч,1 (37.82) Но теперь мы можем обратиться к уравнению (37.74) для определения значений р!ч' во всех остальных точках соответствующей горизонтали.
Получим сперва р,"-', '= у," — Аг(ру, — 17З+1) — с.. Из этого равенства без труда получим значения р",1.1 во всех точках и + 1-й горизонтали, за исключением точек, лежащих на линии скачкз (т. е. за исключением ~!"т'). итак, мы можем найти пока все Ь,.1) значения о" ', Ф'", за исключениел! Ч'"~', %' е, оч', . для того ат1 а а чтобы найти эти последние величины, запишем условие на ударной волне При этом мы представим производные в виде односторонних конечных разностей: ( —.'-'), '- —.:' -' ' 2 Г,„т! Ве+! ( 1Реч! 1Ра 1 д~',!» 2дз ! з!1 л а а-и (-)," = л~.1,и — 1 Записывая в развернутом виде разностные уравнения (37.63) и (37.67) поверхности разрыва, заметим, что теперь производную д3/д(' ло Ьп с,.
все последовательно определяются, причем а„„, = 1, Ь ,=О. так как по определению (37.77) величина А! всегда будет меньше единицы, то коэффициенты а! будут по (37.80) убывать к центру (к осн ) и при достаточно большом числе расчвтных точек мы мо!кем считать ае — -О. Но тогда в центре будет фее"',-Ь, причем, тзк как па осн т'(('=0) имеем и=О, то по (37.62) мы можем считать 364 теояатичепкии основы !Азовом! динАмики !ГЛ, 1 нельзя считать известной, так как значение ей в граничной точке п + 1-й горизонтали нам неизвестно.
Ыы должны будем написать дЬ/д$' (в коэффициентах уравнения) в виде: / алп! Ьл»1 ап Зл — '-"- ) дс / 2!с Ь» ' — Ь»). Теперь разностные уравнения записываются для строки ( = ). лэ! л! и+'/! и столбца к. Уравнение (37,63) примет вид 1 1 л1-- 1 (суп»! суп)+ 41 з тгтл+! тл+1+ рп рл ) 1 -+Лп+з+ — "' "" '" =-0. (37.84 » Ьс 2дс Вместо (37.67) имеем 1 ,1 л'— В уравнении (37.84) неизвестными являются !7"„, 'и Ь,; в уравнении (37.85) — %",е 1)с»+,' и снова Ь»„и Присоединим к нашим уравнениям три условия на ударной волне — условия (37.59), (37.69), (37.70), записанные для п — 1-го ряда и л-1-1-го столбца, и мы получим пять уравнений для определения пяти неизвестных л»1 л+! п+1 лс! !г»+г »тс»+! 1Р» Ь»ли ссг»-~1.
Уравнения зти следует решать методом итераций. Именно, зададим в качестве первых приближенных значений М значения, отвечающие предыдущей горизонтальной строчке, т. е. М». Тогда (37.59) 1 а 1л»1 позволит найти ~ — ); подставив это значение в уравнение (37.84), (з,/„,' иайдвм ол»','. Зная (о, Лг, Ь)""',, найдем с помощью (37.69) значение Ч'»»1, после чего из уравнения (37.70) получим новое значение 1У»~!. Это новое значение И сравним с М», если этн величины не совпадут с желаемой точностью, то в качестве следующего приближения возьмем среднее арифметическое из них, снова проделаем выкладки, пока не получим с заданной точностью все четыре величины М, Ь, сс, Ч" на ударной волне, Теперь из уравнения (37.85) найдем !РАЙ+' и тем самым завершим задачу определения функций еь % Ь ОДНОСТОРОННИЯ ВЗРЫВ Таблица Радиус ударной волны, скорость ударной волны, давление на фронте в зависимости от временй 1 Ъ 3 3 л11 У2 1 1 .3 3 к:Е' р, ..
Ур* р=р: 0,00037119261 0,00042703441 0,00048762427 0,00059950718 0,00072549370 0,00086611344 0,0010218613 0,0011932119 0,0013806457 0,0015846036 0,0018055170 0,0021440497 0,0026888478 0,0033083766 0,0040053246 0,0047821258 0,0056408701 0,0065835082 0,0076119879 0,0087278918 0,0099326948 0,011770857 0,014707855 0,0180 ! 4821 0,021693103 0,025740906 0,030154165 0,034926422 0,040049353 0,045513409 0,051307927 0,059953460 0,073321085 0,087792738 0,10326763 0,11964943 0,15478498 0,17338380 0,19257978 0,24075188 0,28279541 0,32624714 0,37087547 0,41649606 0,46296120 0,042446289 0,044882500 0,047327794 0,051398404 0,055473749 0,059544816 0,063621568 0,067691539 0,071766942 0,075838074 0,079912387 0,085610903 0,093763569 0,10190901 0,11006138 0,11820625 0,12635901 0,13450470 0,14265665 0,15080230 0,15895343 0,17035588 0,18666876 0,20296826 0,21928414 0,23558771 0,25190755 0,26821567 0,28453352 0,30084347 0,31716492 0,33999960 0,37266609 0,40539768 0,43807059 0,47077027 0,5361 5332 0,56881836 0,60154095 0,68006497 0,74537449 0,81084344 0,8761 3419 0,94159634 0,0068640 45,740446 42,072805 38,858086 34,337009 30,632996 27,554225 24,964868 22,759084 20,861669 19,217523 17,780127 16,051502 14,030664 12,407207 11,082088 9,9845968 9,0655001 8,2843368 7,6144750 7,0358149 6,5316905 5,9289607 5,2296777 4,6739525 4,2254576 3,8581134 3,5536611 3,2986924 3,0831432 2,8991640 2,741 1281 2,5546710 2,3430052 2,1783594 2,0480066 1,9430553 1,7863459 1,7269304 1.6766648 1,5833527 1,5262107 1,4817491 1,4463630 1,4176835 1,3940443 1743,3237 1474,9341 1258,1257 982,35847 781,81703 632,52942 519,20386 431,47993 362,50770 307,59432 263,27742 214,54226 163,88294 128,11566 102,17722 82,910144 68,319410 57,025197 48,150192 41,085577 35,385817 29,127146 22,624607 18,038194 14,712077 12,237532 10,357089 8,9011431 7,7548102 6,8376267 6,0948195 5,2719535 4,4080611 3,7877080 3,3286093 2,9795533 2,4925263 2,3185739 2,1760040 1,9225047 1,7744325 1,6629836 1,5766384 1,5081888 1,4527996 366 тсоретпческпе основы глзовон дпплхп1кп !гЛ, 1 ??Родолзкриие 1 3 1 1 3 6 3 3 М, !Р? Р~ Р=Р 1;Еп р Р1Е Р, для всей горизонтальной п+1-й полосы.
Остается еще найти эйлерону коорлинату х'. Для этого воспользуемся уравнением (37.68), в силу которого 2 х,'. = 3 Р! —, ~ — ' — (<7+ !2)1 ,з ?' Э㻠— 1 е Расчет этого интеграла проводится по формуле трапеций; при вычислении в первом интервале (примыкая!щек к точке РУ =- О) нач прцдбтся при этом использовать асимптотические представления (37.60). пе 2- До сих пор мы предполагали коэффициенты (А, Л, (Р') 1" 2 в разностных уравнениях известнымн.
На свмом деле счет приходится проводить в два этапа. На первом счйте коэффициенты, упо- 0,548:15908 0,655177!8 0,72426297 0,824!5753 0,92521260 1,0272174 1,1300115 1,3374959 1,4420092 1,69!4759 1,9062747 2,1190714 2,5469597 2,7618034 3,!928620 3,40895512 4,!458222 4,5804748 5,4517159 5,8880975 6,7620252 7,8123402 9,5656357 11,321325 13,078688 14,837283 ! 7,828865 1,!375785 1,2682835 1,3596500 1,4902189 1,6207801 1,7513436 1,8819135 2,1430754 2,2736583 2,5870953 2,8483764 3,1096352 3,6320036 3,8931742 4,4155604 4,6767533 5,5650727 6,0876013 7,1325834 7,6550605 8,6996139 9,9534905 12,043741 14,133640 16,223401 18,312821 21,865845 1,3607171 1,3309649 1,3163134 1,2994275 1,2860387 1,2751971 1,2662619 1,2524510 1,2470215 1,2367219 1,2302327 12250545 1,2173414 1,2144031 1,2097478 1,2078762 1,2030347 1,2009411 1,1977943 1,1965853 1,1946576 1,1929425 1,1909554 1,1896108 1,1886454 1,1879209 1,1871626 ! 36192012 1,309556 ! 1,27? 234 ! 1,2404266 1,2115796 1,1884397 1,!695159 1,1402280 1,1292188 1, !079008 1,0945604 1,0839654 1,0682668 1,0623125 1,0529082 1,0491373 1,0394105 1,0352162 1,0289260 1,0265136 1,0226724 1,0192598 1,0Р33124 1,0126449 1,0!07315 1,0092968 1,0077958 ОД!К7С ГОРО ННИП ВЗРЫВ 367 мянутые выше, записываются в серединах соответствуюших интервалов и-го ряда.
После нахождения всех функций %', ~7, 0 в и + 1-и ряду вычисляются значения коэффициентов А, М, 17' в центрах соответствуюшнх ячеек. после чего производится пересчет значений функций в в+1-м ряду. Наконец, Ьт в первом счете определяется по значениям 7т7 в л-м ряду, а при пересчете — по среднему ари4- етическому нз решений на л-й и и+ 1-й горизонтали. Рис. 150. Не останавливаясь на дальнейших подробностях вычислений 1уменьшение числа интервалов с увеличением времени, контроль счета и т. п.), приведем некоторые результаты расчетов, заимствованные из упомянутой выше работы (сьь сноску на стр. 357, таб~ица П1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
