Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(2. 12) Эта формула имеет место в любой системе координат, так что, в частности, мы имеем (2,13) е, + ег+ ез .—.— Сйт и. ГВПЗОР НАПРЯЖНННВ 377 В Э 4 главы ! части первой было показано, что эта величина пред- ставляет собой кубическое расширение жидкости, отнесанное к еди- нице времени. ф 3.
Тензор напряжений. Персидам теперь к рассмотрению по- верхностных снл, появляющихся при движении вязкой жидкости. Вырежем внутри жидкости объЕм т при помощи замкнутой поверх- ности о; рассмотрим элемент !»о этой поверхности. Обозначим через В направление внешней нормали к этому элементу поверхности. Тогда действие частиц жилкости, расположенных с внешней стороны элемента Ю, на частицы жидкости, прилегающие к этому элементу с внутренней стороны, может быть приведено к действию поверх- ностной силы р„»»5. Если обозначить через р, р, р, напряжения поверхностных сил лля площздок, внешние нормалй которых параллельны и одинаково направлены, соответственно, с осями х, у, я, то, как было выяснено в Э 3 главы П части первой, имеет место соотношение рп= — рхсоз(п, х)+р соз(п, у)+р,соз(п, е).
(3.1) Введем теперь следующие обозначения для проекций на оси коорди- нат векторов р„, р„и р;. Рхх, Р, Рх, длЯ вектоРа Р„, Ргх Ргг Рг» з з Рг Р»х' Р»у' Р»» э з Р»' Рпх' Рпу' Рп» Э э Рп' прн этом рхх носит название яормального напряжения, действую- щего на площалку, перпендикулярную к оси Ох, а рх и р, на- зываются касательными напряжеяиями.
Тогда, проектируя (3.1) на осн координат, будем иметь: Рп =Рх соз(п, х)+Р соз(п, У)+Р, соз(п, е), Р „=Р соз(п, х)+р соз(п, у)+р соз(п, я), (3,2! Рп» = Рх» соя(п, х).+ Ру» соз (и, )!) +,Р»» соз (и, е), Введем теперь в рассмотрение еще произвольное направление т и обозначим через р„ проекцию вектора рп на это направление. Так как Рлм= Плхсоз(т, х)+Рпхсоз(т У)+ пл»соз(гп, л), то предыдущие равенства приводят к следующей формуле: Рл Рххсоз(п' х) сов(гп' х)+ Ргхсоз(п' У) соя (т х)+ +Р»хсоз(п, л)соз(т, х)+Рх соз(п, х) соз(т, У)+ +р с0$(п, У)сов(гп, У).+Р, соз(п, Я) с0$(гп, У)+ +Р соз(п, х)соз(гп, 8)+Рг»соз(В, У)с0$(т, Я)+ +р„соз (и, я)соз(т, я).
(3.3) дв!!жии!е вязко!! жидкост!! 1гл (! Эта общая формула содержит в себе, как частный случай, девин фоРмУл (2.10), если мы УсловимсЯ обозначать Р„. чеРез Рц, Р, через ры и т. д. и аналогично будем обозначать р-- че(, з р-- — через р;в н т. д. Ко теперь мы можем утвержлать, чго таолнца лева!и в:лп!нн рух Рхк У!хю Р е определяет тензор, который называется тензором напряжений. Можно доказать, опираясь на общие законы механики, симметричность тензора П, выражающуюся формуламп '): (зкб) Рку = Рух' Ркх = Рхк' Рув = Р у' В нашем случае напряжений в вязкой жидкости симметричность тепзора П получится как следствие тех предпосылок, которые мы положим в основу вычисления э!ого теизора. Относите!!ьно тензора и можно повторить все то, что было сказано о тецзоре деформаций Ф.
Существуют трп взшгмно перпендикулярные главные осп тензора напряжений н соответствующие им глаяные напряжешш ри рт р . Будучи отнесен к главным осям, тензор напряукений пр !нимзе! особенно простой вид: и= о рт о (З.б) При этом, аналогично равенству аз+аз е! т ее+ (з имеет место равенство Рхх+ Руу+ Рт = Рг+ Рз-(- Рз (3.7) т. е.
сумма нормальныя напряжений на лсри взаимно перпендикулярные площадки не зависит от ориенгпациа ли!их нлощадол. Перейдем теперь к установлению связи между тензором скоростей деформаций и тензором нанряжеиий в вязкой жидкости. В основу наших рассуждений мы положим два допущения. !. Сосгпавляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости долзкны приводиться и соответствующим составляюи(и.м ') См., например, Кочин Н, Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 1938, стр. 363. тенЗОР нАпРяженИЙ З 31 игензора наиряексний в идеальной згспдкости.
Иными словами, мы должны иметь Р.»» Р+ г» Р Р Г ' Р-г Р "г: (3.8) где вели шны -.,„-,„, -„, -, „... могут быть отличны от нуля тол»,ко в случае вязкой жидкости. 1!. Величины т, -..... являю»ноя линейными однородными функциями от составляющих тензора скоростей деформаций, иричрм коэффициенты этих функций не зависят от выбора лря.иолинейноа лрлмоугольной системы координат. Лннейный характер рассматриваемой намн зависнмости вполне естественно допустить, ибо такой тип зависимости является простейшим.
Независимость же коэффициентов рассматриваемых линейных функций от выбора координатной системы выражает, очевидно, свойство изотропности вязкой жидкости, т. е. свойство однородности по отношению к различным направлениям, Выводимые наьш уравнения справедливы только для таких нзотропных вязких жидкостей.
Пусть теперь оси координат х', у', гг направлены по главным осям тензора скоростей деформаций, так что О,=бг=8з=-0, н пусть ен е,, е. суть соответствующие главные скорости удлиненнй, так что тензор скоростей деформаций имеет в рассматриваемой системе координат ввд (2.11). Нетрудно определить общий внд величин т в этой системе координат.
Пусть, напрнмер, мы имеем: (3.9) -.„.„, =- а,е, + а,ез + азез, где ан аы а,— некоторые, не зависящие от выбора осей координат, коэффициенты. Ясно тогда, что т ... и т,, должны определяться г'е' фбрмуламн: -„,,=а,ез+азе,+а,е,; -,, = — а,ез+а,е,+а,е,, (3,10) нбо достаточно переименовать в соотношении (3.9) ось х' в ось у', ось у' в ось з' и, наконец, ось е' в ось х', чтобы получить первое нз соотношений (3.10). Аналогично получается второе из соотношений (3.10).
Покажем теперь, что аз= — аз. Произведем для этого преобразованне координат х'.=-х', у е ясно, что новые осн координат опять являются главнымн осямп тензора скоростей деформаций. Очевидно, далее, что в новой системе ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1гл. 11 координат мы имеем следующие формулы: О-, =-Ф „ у' х" Ю-,= — 24 „ х' де-., де х' х' е,=== ', =еи дх' дх' дее 2 ду' де, — 3 дх' де, де, х' у' Ез ~ ~ 32' дх' дУ' т —,—,=т х' х' х'х" Соотношение (3.9) можно применить, согласно допущению П, и к системе координат х', у'.
г'. тР91 11+ 22+ зз' откуда, на основаняи вышеупомянутых формул, выводим: 1+ 23+ 32' Сравнение с формулой (3,9) приводит нас к искомому соотношению аз=аз. Вводя теперь обозначения а1=Л+2р аг=аз=Л мы можем переписать формулы (3.9) и (3.10) в следующем виде: тх,, = Л(е1+ 32+ ез)+ 21131, 1 1,, = Л (е, + ез+ ез)+ 2113, (3.1.1) Докажем теперь, что в системе координат х', у', г' все касательные напряжения т, „т,, и т. д, обращаются в нуль. Достаточно обнаружить, что т,, =О. х'у' Согласно допущению П, мы должны иметь.' (3.12) х'у' 41+ 32+ 33' где а4, а, ае — некоторые постоянные коэффициенты.
Но произведем преобразование координат 331 тензоо нлпояженнй Новые оси координат опять будут главными осями тензора скоростей деформаций, причем имеют место формулы: ю-, = — о,, Π—,= — о„ у' у' ' х' х'' до, до ег= =, = —, =ег ду' ду' о-: х' д!— х' е,== дх' =о х' до х дх до Ег==, дх' до, х' — — = ею дг' т —,—,= — т у ху' На основании предыдущих равенств мы выводим отсюда, что х'у' 4 ! + 5 2 + б 5' но тогда сравнение с формулой (3.12) показывает, что аб = аб = аб — — О, иными словами, что т,, =О.
х'у' Итак, мы показали, что (3.13) х'у' х'х' у'х' у'х' х'у' х'х' Собирая вместе формулы (3.8), (3.11) и (3.13) и припоминая, что е! + ег+ ез = 41!о 9, приходим к следующим выражениям для составляющих тензора напРяжений в системе осей х', у', я', служащих главными осями тензора скоростей деформаций: рх,, = — р + ). б)ч 22+ 21хе,, р,, = — р+!.д)чо+2рег, рх х == — — р + !. Енч о+ 2ие, (3, 14) Последняя формула вытекает из следующих соображения; -...
'х'у' есть проекция на ось у' напряженна, действующего на площадку, внешняя нормаль к которой имеет направление оси х', т —,—, есть х' у' проекция на ось у' напряжения, действующего на ту же самую площадку, нбо оси х' и х' одинаково направлены. И так как оси у' н у' имеют прямо противоположное направление, то ясно, что 'х' у' х'у" Вследствие допущения П, мы должны иметь формулу: Гу' 4!+ 5 2+ б 3' ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКО1Ч ЖИДКОСТИ 1гл. и 14з этих формул следует, что главные оси тензора напряжений совладают с г.гавны,ии осями тепэора скоростей дефор.нации: Выведем теперь выражения для составляющих тепзора напряжения в пронавольнои прямолинейной прямоуго.чьнод системе координат.
11реаварительно остановимся на нескольких элементарных понятиях пз теории тензоров. Легко прежде всего убедиться, что таблппа девяпг величин, заданных в любой системе координат следующим образом: 1= О 1 О (3.15) определяет тензор; этот тензор называется единичным тепзором. Пусть, далее, мы имеем два тензора: ац ан аю !Ун ди дгз ащ ищ агз В = "гг дщ игз азг азг "гз (гзг дзг 'гзз тогда под сум.иои эгиих тенэоров А+- В и иод произведением йА —.
Ай течзора А иа постоянное число й пощгмаются следугощие тензоры1' аи+ди а, +дг аг, + дгг аэг+ дгг азг+ дгг азг+ дзг А+В= (3.16) )гап йаж йаы йагг йагг йа си йащ йат йазз йА=Ай =— или, вследствие (3.4), (3.15) и (2.11): 11=-( — р+) с)11 о) /+-2,и11. (3.17) Но если соответствующие составлягощне двух тензоров равны в какой-либо системе координат, то они будут равны и в любой При этих обозначениях девять равенств (3.14) могут быть следующим образом записаны в тензорнои форме; ак3 тснэог нлпяяженнн 2 3> другой а>стеме координат. Поэтому предыдущее равенство в системе оссп х, у, а при>имает вид: ! Рхх Р.гу Рхг Ру. Ру у Р> Ргх Ргу Ргг 1 О О =(- р+),>Ими) О 1 О -Г 2и 2 03 1 ОО1 11 ~ — 6, откуда вытекают слелующие равенства: Рх> Р + ), д>ч О + 2ее>, Р>ху )>уг — — ада, Р>у Р + )' 11 ~+ 2932' Ргг Р х 982 р„= — р + ), йч о + 2ре., р, = ргу = рдн (3.
18) легко получим равенство рхх +- Руу + Р„= — Зр + (3). + 21)) Йч о, (3, 19) В несжимаемая жидкости, где д(ч 2> = О, коэффициент ), сам собои выпадает в выражениях для напря>кении, и посл>.ш,> прини- мают вид: дох р+ 2р —; дх ' доу р-Г 2р— р+ 23 Рхх = Р г Ру, Ргг В частном случае, когда мы имеем течение, параллельное оси Ол., так что о =- о, = О, причем скорость течения о = о есть функция г одного ~олька у, мы получаем иэ формул (3.20) для касательного напряжения выражение до Рху Рух Р' г>у совпадающее с формулой (1,3), с рассмотрения которой мы начали эту главт. 113 ЭтнХ ВЫРажсиий ЯСНО Внлиа Гих>жЕтРиЧНОСть тЕНЗОРа НаПРЛ- унан)>)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
