Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Заметим сперва, что для любой фуйкции /'(х, у, л, /) мы можем напи- сать НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 397 Ь б1 пли, если ввести переменные Лагранжа а, Ь, с, ду О(У У х) О(а,Ь,с) ду' О(х,~,х) О(а,Ь,с) дх О(а,Ь,с) О(х,у,л)' д,у О(а,а,с) О(х,у,х)' ду О(х, у,у) О(а, Ь, с) дх О(а, Ь, с) О(х, у, х)' О(а, Ь, с) й несжимаемой жидкости ' ' = 1. ](ля сокращения письма введем О (х, у, х) обозначение '" '" =]А Л С, О(а, Ь, с) Тогда У ду ду дУ ' ' ' дх ) ]Г «], — ]» Г х] [х у д д'у д~г длу д д — = — ]у У, х]+ — [х, у,]+ дх ду' ' дхл дх ' ду + д- [х у,у] = [[у у х] у л]+ [х, [х, у, х], х]+ [х «[х у у]].
д Поэтому взамен уравнения (5.1) мы получим в переменных Лагранжа а'х 1 '] 'дх 1 ь Х вЂ” — [р,у,л]+т) "]- —, у, х~, у, л~]+ +~х '[х, —, х~, х]+[х, у, [х, у, — ]1 [, —;~ = — -'[-,, ]+ Ц~ф, ч ~, у, ]+ +[х, ]х, —, х], х[+]х, у '[х, у, — ~)], дг-,'= -- — '[,У,р]+ Ц~ — ", . ", У, ~+ +]х,'[х,—, х~, л[+[х, у '[х, у — ~ ~~ ), и 6. Начальные и граничные условия. Начальные условия для задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости не отличаются от таковых же условий для случая идеальной жидкости.
И в том и в другом случае должно быть задано в начальный момент Г=О распределение скорости во всей рассматриваемой области, т. е. должны быть заданы три следующие функции: о,(х, У, г, 0)=У,(х, У, Я), о (х, У, г, 0)=Г"л(х, У, в). ] (6. 1) ,,(,у,*,к~=/ь,кп '> Сгк И„, Л.
С., О ~(,, у~, О сжпмаемой жидкости, ПММ, 1962. движения вязкой жидкости ггл. и 398 Впрочем, в очень многих задачах прпходится рассматривагь движенве ялв стационарное, или сводящееся к стационарному, и тогда вопроса о начальных условиях вовсе не возникает.
Напротив, граничные условия в случае вязкой жидкости будут иными, чем в случае идеальной жидкости. Это обстоятельство имеет громадное принципиальное значение. Нужно особенно подчеркнуть, по с математической точки зрения исследование движений вязкой жидкости отличается не только усложнйнностью уравнений движения по сравнению со случаем идеальной жидкости, но и своеобразиелг пограничных условий. Переходим теперь к формулировке пограничных условий в случае вязкой жидкости.
Мы рассмотрим три случая, которые в дальнейшем нам понадобятся: 1) жидкость примыкает к неподвижной стенке, 2) гкидкость примыкает к подвижной стенке и 3) жидкость ограничена свободной поверхностью. Мы будем считать, что в точках, где вязкая жидкость примыкает и' твердой неподвижной стенке, скорость жидкости обращается в нуль. Иными словами, в точках соприкосновения вяз. кой жидкости с твердой неподвижной стенкой не только нормальная составляющая скорости обращается в нуль, как это имеет место и для случая идеальной жидкости, но и касательная составляющая скорости тоже равна нулю.
Таким образом, вязкая жидкость прилипает к твердым стенкам. В настоящее время счптается, что это допущение достаточно хорошо подтверждается опытом. В точках, в которых вязкая жидкость примыкает к подвижной стенке, мы потребуем выполнения следукнцего условия: в этих точках скорость жидкости доллсна по ве>гичине и направлению совпадить со скоростью соответствующей точгси стенки. Рассмотрим теперь случай свободной поверхности жидкости, граничащей с пустотой, где давление р принимается равным нулю, илн с воздухом, где давление принимается имеющим постоянное значение ре. На такой поверхности должно выполняться, во-первых, кннематическое условие; нормальная к свободной поверхности составляющая скорости должна совпадать со скоростью перемещения поверхности разрыва, и во-вторых, динамическое условие: вектор напряжения р„для площадок, касательных к свободной поверхности, должен бать направлен по нормали к этим площадкам внутрь и по численной величине должен быть равен ре, так что мы должны иметь р,„= — рв, р„, =- О, если з есть любое направление, касательное к поверхности в рассматриваемой точке.
Приведем теперь несколько соображений, показывающих, какое большое значение имеет правильный учет граничных условий. Рассмотрим уравнения вязкой несжимаемой жалкости (5.4), Эти уравнения отличаются от уравнений идеальной жидкости только членом з 61 НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАННЧНЫЕ УСЛОВИЯ ,го(Я. Если вектор Я го(п есть потенциальный вектоР, т. е. если го(п=етаду, то го(15=0, и уравнения вязкой жидкости совпадут с уравнениями идеальной жидкости. В частности, это имеет место для безвихревого движения, когда го(о=о, т. е. когда п=((гадчь (6.2) причзм, вследствие уравнения неразрывности, р есть гармоническая функция, т.
е. удовлетворяет уравнению Лапласа Ар=О. (6.3) Итак, мы имеем довольно общее решение уравнений двизкения несжимаемой жидкости, как вязкой, так и идеальной. Однако это решение, в случае идеальной жидкости позволяющее рассмотреть целый ряд задач, в случае вязкой жидкости оказывается почти со- вершенно бесполезным.
Допустим, например, что мы рассматриваем задачу о прямолинейном и равномерном движении твдрдого тела в жидкости со скоростью и параллельно оси х. Тогда в случае идеальной жидкости мы имеем всего лишь одно граничное условие, которое должно выполняться во всех точках поверхности 5, огра- ничивающей тело, а именно о„= и соз (и, х) или — = и соз(п, х), д:р дп (6.4) где п есть направление нормали к поверхности 8. Как известно, условие (6.4) определяет гармоническую вне поверхности 8 функцию э единственным образом, если отвлечься от постоянного слагаемого, которое, по (6.2), не играет никакой роли при определении и. В случае вязкой жидкости мы имеем, вместо (6.4), во всех точках поверхности 8 три граничных условия: — '=и. —,=О, — =О, ду дт дй дх ' ду ' дх (6.6) и легко видеть, что не существует решения уравнения (6.3), удовлетворяющего всем условиям (6.6).
Этот пример показывает нам. что трудность решения задач гидРомеханики вязкой жидкости кроется не только в усложненном виде уравнений движения, но н в большем, по срзвнению со случаем идеальной жидкости, количестве пограничных условий. Мы видим далее, что безвихревые движения не дают решений задач гидромеханики вязкой жидкости не потому, что они не удовлетворяют основным уравнениям движения, а потому, что они не выполняют пограничных условий.
А это означает, что завихренность движений вязкой жидкости обусловливается наличием граничных Условий, т. е. существованием прнлипания жидьости к стенкам. ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОИ ЖИДКОСТИ 1ГЛ 1г Поэтому в движениях вязкой жидкости следует, вообще говоря, о>кидать наличия большой завихренности в областях вблизи стенок, в то время как в областях, далеких от стенок, движение может приближаться к потенциальному. Особенно большое значение приобретают эти рассужления в случае жидкостей с очень малыми коэффициентами вязкости.
В самом леле, в этом случае уравнения движения всюду очень мало отличаются от уравнения движения идеальной жидкости и поэтому казалось бы, что соответствующие решения уравнениИ идеальной жидкости должны давать движения жидкости, очень мало отличающиеся от истинных движений вязкой жидкости. Но вся беда в том, что указанные решения уравнениИ идеальной жидкости не могут, вообще говоря, удовлетворить пограничным условиям, имеющим место для вязкой жидкости. Это приводит к тому, что движение даже мало- вязкой жидкости может очень сильно отличаться от движения идеальноп жидкости и притом, глзвным образом, вблизи стенок.
В 7. Диссипация энергии. В этом и двух следующих параграфах мы рассмотрим ряд общих свойств движений вязкой жидкости, причам будем исходить из выведенных выше общих уравнений движения. Вглядываясь внимательныл| образом в уравнения (5.1), мы можем прежде всего подметить необратимость процессов, описываемых этими уравнениями. Это означает следующее: рассмотрим некоторое движение вязкой жадкости, происходящее под действием сил, не зависящих от времени, и в некоторый момент времени ~=0 определим поле скоростеп; переменим теперь направления всех скоростей на обратные и примем это распределение скоростей за начальное; тогда жидкость будет совершать некоторое движение. Если бы жидкость была идеальной, то каждая частица жидкости проходила бы в обратном порядке ту траекторию, по которой она двигалась до момента 1 = 0 и притом с теми же самыми скоростями, но только прямо противоположно направленными; в случае вязкой жидкости этого обстоятельства существовать не будет — новое движение не будет уже иметь такой непосредственноп связи с первоначальным.
С математической точки зрения это последнее утверждение сводится к тому, что если мы имеем решения тг(х, у, з, 1) и р(л, у, д, г) уравнения (5,1), то функции п,1х, у, д. 1) = — п(х, у, з, — 1), 1 (7.1) рг(х, у, г, ~) =р(х, у, з, — 1) не будут уже давать решения уравнений (5.1). В самом деле, соотношения (7.1) приводят к равенствам типа: доь, де„ до~я дел дэы дог — — — ю — — Ф вЂ”, Р—,=тг дт дГ Ш дл «дл' Г д» Г ду' деы дех др~ др дг ' дг ' дх дх' 401 ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ причйм в левых частях этих равенств аргументами являются х, у, з, Г, а в правых х, у, я, — г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
