Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 61
Текст из файла (страница 61)
2 Р Прелположим еще, что массовая сила гт имеет потенциал Ь". гт = — дгас$ У, н введем обозначение Н= я+У+ 2 ° тогла уравнения гидромехапнки вязкой несжимаемой жидкости примут следующий вид: де — +11 Х о= — ига|1 Н вЂ” го1й, дт г! 1у о = О, (5.4) гт = го1 и, Н= Р--~ — — + 1г. 2 Во многих случаях, как, например, при изучении вопроса об обтекании цилиндра или сферы, бывает улобно пользоваться, вместо прямолинейных прямоугольных каор шпаг х, у, е, криволинейными координатами, чаше всего ортогональными, например, цилинлрическимп или сферическими.
Представляет поэтому интерес иметь Применим теперь это тождество к вектору скорости несжимаемой жидкости о, причем воспользуемся последним равенством (5.2) н обозначением Я=го!яг, то~да получим оо = — го! Аа. движении вязкой жидкости (гл. ц уравнения гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости в криво. линейных ортогональных координатах. Пусть ан з)м аз суть криволинейные координаты, так что в некоторой области изменения этих координат имеются зависимости (для краткости мы обозначаем х через х,.
у через ха и г через х ): хг=Л(рз Ь Чз) (1=' 2 3)1 решая эти три уравнения относительно аи дя, дз, получим обратные зависимости: з), = Р; (х„хм хз) (1 = 1, 2, 3). з ,"~', — '' '"' = () (у + й). даз дд» »=1 Вводим далее в рассмотрение коэффициенты Лама: г Н»= ~~(~ ') (г»=1, 2, 3). 1=1 Тогда, как было показано в Э 20 главы 1 части первой, мы имеем следующие выражения для основных операций векторного анализа— градиента, расхождения и вихря." Фгадр)з = Н д (1=1, 2, 3). (5.5) Нг доз 1 Гд(а,Н»Н ) + д(а Н Н,)+ д(а Н,Н;)~ д!та= Н~Н»Н» ! д~7~ дз)з 1 1 д(Нзаз) д(Н»аз) ~ '"'» — Н,Н, ! джаз 1 гд(На,) д(На)1 (го( а), = — ! =Н,Н, ! да, да, 1 ( д (Нзаз) д (Н,а,) ' (5.7) Исходя из этих формул и пользуясь тождеством (5.3), нетрудно найти выражения для проекций на оси криволинейных координат вектора Ьа.
Обозначая через (аа)з проекцию этого вектора на напра- Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты; условием для этого является тождественное выполнение следующих трех равенств: З 51 РАзличные ФОРмы уРАВнениЙ дВижения З91 вленпе ение касательной к координатной линии д,, будез», очевидно, иметь, что: 1 (аа)г Н д, ~ 1 1 д(а,Н~Нз) + дд(азНгН~+ д(азн,нз)~~ Нз( д д д ч Н,Н, Чз чз ач ',н,н, ач, )+ ачз '(н,н, ад, Для (Оа)2 и (лаз) имеем две аналогичные формулы.
Если рас- крыть предыдущее выражение, то после длинных, но совершенно влементарных вычислений получим следующую окончательную фор- мулу: 1 д'а, 1 д'а, 1 д'а, ( г Нз ддз Нз ддз Нзз ддзз 11~нзнз ( дч, дч, дчз дчз ддз дуз 2 дН, даз 2 дН2 даз 2 дН, да, НЗН аУ дд, Н Н22 ддг ддз НЗНз ддз ддг 2 дНз дав ( 1 д 1 1 д(Н2Н5) 1 Н Нз дУ ддз ~ Нг дд ~ НгНЗНЗ адг [ з 11 1 з 211 Точно так же, применяя для вычисления проекций ускорения тп на осн криволинейных координат формулу ао до до оз то= — = — +(р р) л= — + ятаа — +го1о Х о аг дг дг 2 и пользуясь формулами (5.5) и (5.7), после несложных вычислений получим: о до, оз до, оз — + — - — + — + и ) ду н ач, Нз ддз нз дчз Н~ 2 чз 2 2 + дН, о дН2 оз дНЗ уу Нз ддз Н,Н, ддг Нз 1 Ч~ (5,9) н лве аналогичные фОРмулги дтв тоз " з' движение вязкоп жидкости ~гл и Теперь мы могли бы уже написать уравнения движения в проекциях на криволинейные оси координат, но предварительно лзы хотим ещз показать, как вычисляются в криволинейных координатах составляющие тензора скоростей деформаций и тензора напряжений.
Пусть М, и Мз — дзе бесконечно близкие частицы жидкости, и пусть Мл и Мз — положения этих частиц через бесконечно малый промежуток времени г(Г. Обозначим криволинейные координаты точки М, через Чн Чз, Чз, а точки Мз — через Ч, + еЧ,, Чз + ГзЧз, Чз + 6Чз Криволинейные координаты точки Мз будут (точка над буквой означает дифференцирование по времени): Ф Чз=Чз+Й~,,=Ч,. +Ч,.ЙГ, но так как мы имеем равеиствз зтз, с(з; = Н; лзЧз, и, = — = Н,Чп то будем иметь: + з Чз Чз Чз ) Г Н, ()и Ч,, Чз) з Точно так же, обозначая координаты точки Мз через Ч;+бЧ„будем иметзн оз (Ч~ + ЗЧз Чз ~ ЗЧь Чз + ЗЧь ) Нз(Чз+ ЗЧн Чз+ зЧз, Чз+ ЗЧз) Сравнивая это равенство с предыдущим, находим: еЧ,= ОЧ, +~ФЛ. Но ясно, что оЧ'. означает значение оЧ, в момент г+Л; можно поэтому, с другой стороны, написать, что еЧ', = еЧ, + г( зз)н Поэтому мы имеем следующее равенство: лззз)з=й~ — '1г)Е (з=!, 2, 3).
~з l Рассмотрим теперь бесконечно малый жидкий отрезок М,Мз = чз и его удлинение зз'од= МзМз — М,М,. Для квадрата бесконечно малого элемента длины ез = М,Мз мы имеем в криволинейных координатах выражение з Зз' = Х Н з (Чз. Чз Чз) ЧЧ . з=з Дифференцирование даат: з з Ь л(ба= оН,г)Н, еЧ, + УНзгл)за'зЧп 393 РАзличнЫе ФОРмы РРАВнени1т дВижения тйы имеем далее очевидные формулы; з з з дез А дяз " дйз Нз А=! А=1 А=! д( — 1) !Гол,,=о(+)д1= ~ ' ' ои а7, »=.1 поэтому предыдущая формула может быть приведена к виду: 1=1 З=1 Обозначим теперь через бз, = Н, 3д! элементарные перемещения в направлении координатных линий, тогда можем написать: ~~НА ~=1 А=1 * В случае прямоугольных координат х, у, л мы имеем Н, = г!гз= х 0зз 0у бзз=0е, и легко убедиться, что предйдущее выражение принимает вид: Зз д Зз до», до», де Г дь» дог ! — — = — Ох!+ оу'+ — 0ез+( — + — )3хйу+ д! дх ду д» ! ду дх ) до„ де де де, +(д»+ д ) +(д +д )»~ = е, 0х +аз Вуз+е,Од~+ 0, еу де+ 01 0ебх+ 0з ах бу.
(5.11) Но теперь, сравнивая выражение (5.10) с (5.11) и обозначая в случае криволинейных координат составляющие тензора скоростей деформаций 1 1 ь, »1~ ! ! 1 ! — 0, —,0 2 й ! з! движяние вязком жидкости 1гл. и оз дггз Рп Ри Рж Рзз Раз Рю Рги Рзз Рзз связан с тензором скоростей деформаций для случая несжимаемой жидкости соотношением и= — РУ+~! Э, то для составляющих тензора напряжений получим формулы сле- дующего типа: 1 до, 1 до, о, дН, оз дН, ~ уб.!3) Р12 003=1" 1 + 1Н, доз Н, до, Н,Н, дзуз Н,Н, до, 1 ' Напишем теперь уравнения движения вязкой несжимаемой жидко- сти в цилиндрических и сферических координатах, Рассмотрим сначала цилиндрические координаты г, 0, х, связан- ные с декартовыми координатами формулами; х = г соз 0. г = )У ха+ у'.
у = г я!п 0, 0 = агс 1и —, У х' В этой системе координат коэффициенты Ламэ имеют следующие значения: Н,=1, И» — — г, Н,=1. Обозначим через Р„Р,, Рз проекции массовой силы Р на оси цилиндрических координат. Тогда, производя вычисление всех чле- теми же буквами, что и в случае прямолинейных координат, легко найдем искомые выражения, например: д! о'1 %з о» дН, 1Н,! 1 до, оз дН, оз дн~ за» Н Н» дгу» дзуз Нз доз Нзнз доз НзНз дуз ' »=! и д(уу,) н (н ) Нз дзуз Нз дзуз 1 доз 1 доз оз дН» Нз дзуз Нз дзуз Н»Н» дчз Н»Нз дзз Выражения для ез, ез, 0з, 0» получаются из предыдущих циклической перестановкой. Так как тензор напряжений РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ 395 нов уравнений (5.2) по формулам (5.9), (5.5), (5.8) и (5.6), найдам окончательно уравнения движения вязкой несмгимаемой жидкости в цилиндрических координатах: до оз 2 +о — ' — — = 'д» г / дгог 1 д»ог д'о, +»~ — + — — г+ — г+ ! дг' гг дзг д»» 1 до, 2 доз ог) +г дг г' д0 ге/' до» ого» +о + » д» г.
/ дгоз 1 дгоз д»о» + Л дгг + гг д0' + д»' + 1 доз 2 до, ое ! + + /' г дг г' д0 г'/' до, дог ог дог +'г+г 1 др =Р— —— дг' (5.1 4) дог дог ое доз дГ ' дг г дз — +о — + —— 1 дР =Ре Зг дз дог дог оз до» дог — '+ — + — — + о — == дГ ' дг г д0 г д» 1 дл Г дго» 1 дго дгог 1 дог 1 =Р— — — +.(' ' + '~+ ' ° + р д» (~ дг' гг дзг д»» г дг ~' до, 1 доз до, о, — +- — + — + — =8. дг г д0 д» г дог Г ! до, доз ое 1 Р+ 2Ф вЂ” ', дг Р 0=)ь( — — + — — — ) (, г д0 дг г )' у 1 доз огт у доз 1 дог ! р+2(ь~ — — + — г~, Рз =р.~ — + — — — '~, ~г дз г~' »= ~ д» г дз)' дог г до, дог! Р+ 2р — '-, д» Р =Р! — *+ — ') ! дг д» )' (5.15) Рм=— Сферические координаты г, В, Л связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями: х = г з)п 8 сояА, г = )ггх'+ уя +»', )гх'+ у' у = г з!п 8 з(п Л, 8 = агсге г =гсов В, Л=агс15 У . х Коэффициенты Лама имеют следующие значения: Н,=1, Н» — г, Нь — гз1пВ.
Формулы (5.13) позволяют составить составляющие тензора напряжений в цилиндрических координатах [гл. и движения вязкой жидкости Поэтому уравнения движения вязкой несжимаемой жи в сферических координатах имеют следующий вид: дог до» г>в дв>» е> дог "в + в'. з д/ + 'дг + г дО+гяп0 дЛ >. 1 др / две„1 дке 1 двг 2 до„ = Р— — — +. ~ — "+ — — + — '+ — — "+ р дг ! дг' гв д0' гв яп' 0 дЛ> г дг с!ИО до, 2 дев 2 де> 2о, 2с>70 гв дО гв дО г'яп 0 дЛ г' г' дкости до де до „де. е.ев > !й 0 — — +о + — + . — + д/ г д» г дО гяпО дЛ 1 др / д'ев 1 д'ов 1 д'ов =Рв — — — +>~ + — — + — — '+ рг д0 ' (, дг' г' дОв ' г'яп'О дЛ> 2 дов с!и О дов 2 сов 0 до> 2 де, е> г д» + гв дз гвып'0 дЛ ' г' д0 г»яп'О,!' до> де> + г>в до> + о> до> + о,о> + о,о> с!и 0 д/ ' дг г д0 гвш0 д! г г 1 др / д'о> 1 д'е> 1 д'о, =Р— — + ~ — '+ — — — '+ —.
— '+ 0» Яп 9 дЛ Л дг' гв дзв г' вш' 0 дЛв 2 до> с>ье 0 до„2 до» 2 соэ 0 дев ог + г дг+ гв дО+гвь!пО д), +г'япв0 дх гвви>>0)' до> 1 дев ! до>, 2е» ов с>е 0 — '+ — — + — '+ — +-- ' =о, дг г дз гяпО дЛ г г (5. 16) причем для составляющих тензора напряжений получаются формулы: дог / 1 дв, дг>в р = — р+2п — ', рь р! — — "+ — — — >, »» дг ' ' Лг дв дг г/'' дев ры = — Р+ 21ь ~ — д0 + 1 дев ! дв>д о> с!и 0 ! (5.17) д/ /)(Л у, а) д/ ь>(л, /, а) д/' />(х, у, /) дл Р(х, у, л) ' ду ь)(х, у, л) ' дл 0(л, у, з) В этом парагрзфе мы рассматривали переменные Эйлера. Лля некоторых задач представлиет интерес использование переменных Лагранжз, Чтобы записать уравнение (5.1) в переменных Лагранжа, представим сперва в этих переменных величины Зол, Лог, Ьо .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
