Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Оказывается, ЗАКОН ПОДОБИЯ. ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА 407 однако, что, изучая движения жидкости около нли внутри геометрически подобных тел, мы при определенных соотношениях параметров получаем геометрически подобные течения. А это имеет своим следствием, что интересуюшие нас величины, как, например, величина сопротивления, испытываемого телом, могут зависеть только от определенных комбинаций упомянутых выше параметров. для целеи обработки экспериментальных данных это обстоятельство имеет громаднеишее значение, так как оно позволяет в большом числе случаен сводить результаты экспериментов к выявлению функциональной зависимости от одного или двух независимых переменных, Переходим теперь к более подробному рассмотрению всего этого комплекса вопросов.
Установим прежде всего достаточные условия механического подобия двух течений жидкости около или внутри двух геометрически подобных тел. Обозначим чеРез 1,, х,, У,, ги пн Хи )г,, ~,, р,, р,, ~, величины, относя]циеся к первому течению, а через 12 х2, у2 яа ю2, Х,, уз Л2, р,, р, 22 в величины, относящиеся ко второму течению. Если рассматриваемые течения механически подобны, то после надлежащего выбора начала координат и начала отсчета мы будем иметь соотношения: х, у, ге 1, — =Сп — '= ~ = — '= — =СР (9.2) х, х, где 1, и 12 — соответствующие моменты времени, хи уи х, и х,, уз, я2 — координаты соответствующих точек, 1, и 1,— соответствующие размеры; С, и С, суть постоянные. При этих обозначениях мы имеем далее, в силу самого понятия механического подобия: 222(Х2, уз, ха, 12,) =Сь222 (Хн ун хп 12), (9.3) где С, есть новая постоянная, равная при этом Сг)СР ибо, например, лх2 Сг лх1 С2 2х Л12 С, ~Л С, ые Лопустим далее, что для соответствующих точек мы имеем соотношения: (9.4) р,=с,„ри 2 =С,тн где С,„С,, ф— тоже постоянные величины.
Составляя уравнение (9.)) для второго течения, мы на основании Золько что выписанных равенств (9.2), (9,3), (9.4) легко перепишем движение Вязког! жидкости !гл ц его в виде: С„до„С ~ дг „до„до„ М Сс 1 гк дх, !У ду 1к дв 1 дрг С,С„ = СРЛ! — — — г + — ' — ~ чс бп!г. (9.6) С,ссе! де! С2 Но если первое течение действительно имеет место, то должно удовлетворяться равенство до!к до, до!к дик . 1 др, — '+о, — '+о — + и — = — У. — — — + бо дг к дк, !У дУ сг де! — .! 'Р дкс- '! 1к (9.6) Отсюда мы заключаем, что если С Сг С,С„ С, С, С, Р 2 (9.
7) ог 2 ЕД 2 ! Е/, (9.10) ос!! ч, огсг чг (9.11) Счсес Рг С (9.8) с то уравнение (9.5) н ему аналогичные будут удовлетворены и, следовательно, второе течение, по условию подобное первому, тоже может иметь место в действительности. Равенства (9.7) позволяют выразить все постоянные С через две из них, за которые мы примем С, и С!. Л именно, мы имеем: С С С„ С, ' С2 ' С„С, Подставляя сюда значения постоянных С из равенств (9.2), (9,3) и (9,4), мы легко придем к следующим соотношениям: !го! !со! к.ггг к.!1! ч, ч, Рг Р! — — — — — — — — (9.9) 2 2 2 2 12 г! о2 о! о212 о!11 22о2 21о! Следовательно.
достаточными условиями механического подобия является выполнение соотношений (9.9) для любых двух соответствующих точек рассматриваемых течений. Первое из этих соотношений является, собственно говоря, условием кинематического подобия, последнее же из соотношений (9.9) определяет рг и, следовательно, всегда может быть выполнено. Таким образом, по существу говоря, мы получаем в рассмасприваелсом случае два условии механического подобссп! закон подовия, числО Рьгчнольдся Обозначим через 1 характерный для данного движения размер, например, в случае задачи об обтекании сферы это будет радиус сферы; точно так же обозначим через 1г характерную для данного движения скорость, например скорость на бесконечности в случае задачи об обтекании сферы. Положим, наконец, что внешний массовой силой является сила тяжести, так что 7 = — д. Введви в рассмотрение два числа: (9.12) называемое числом Рейнольдса, и (9.1 3) называемое число.и Фруда.
Мы видим, таким образом, что для вязкой кеежи.иаемой жидкости, находящейся аод дейетеиелг силы тяжести, деа течения, обладагоигие одинаггоеыми числами Рейнольдса и Фруда, являются подобными. Конечно здесь, как и в дальнейшей части этого параграфа, всегда предполагается, что речь идат о течениях около или внутри геометрически подобных тел. Примером, где закон подобия должен был бы применяться в только что полученной форме, является испытание моделей кораблей.
В самом деле, сопротивление корабля слагается как из сопротивления трения, так и из волнового сопротивления, обязанного своим происхождением волнам, образующимся на своболной поверхности жидкости под действием силы тяжести. Однако на практике мы встречаемся со следующим затруднением: пусть величина модели в !00 раз меньше величины судна в нагуре; по уравнению (9.13), для того чтобы число фруда Р осталось неизменным, нужно взять скорость 1г в 10 раз меньше скорости судна в натуре. Чтобы число Рейнольдса )т тоже осталось неизменным, коэффициент вязкости г нужно взять в !000 раз меньше коэффициента вязкости воды; практически этого осуществить нельзя. Поэтому при испытаниях применают тоже возу и сопротивление трения определяют по особым опытным формулам. Остаточное же сопротивление — волновое — пересчитывается по закону подобия для идеальной несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести; по этому закону деа течения с одинаковыми числами Фруда будут подобными (закон подобия Фруда).
Таким образом, при испытаниях моделей судов линейные размеры 'годелн должны быть пропорциональны квадрату скорости движения модели, Если жидкость находится под действием силы тяжести, но свободных поверхностей в рассматриваемом течении нет, то закон движения вязкой жидкости 410 ггл. и подобия сильно упрощается. В самом леле. в этом случае в уравне- ния движения можно ввести вместо давления р новую величину (9. 14) если считать ось Ол направленной вертикально вверх. Тогда урав- нения движения принимают вид: гго 1 — = — — игад г) + г дтг, йс (9, 15) х=11; у=)тй я=1";! (9,16) 1 о==)ги; 1=- — т; р=Рр.
т. е. сила тяжести является исключекной. В случае наличия свобод- ноИ поверхности этот искусственный прием не дал бы результата, так как на свободной поверхности имеется граничное условие, в которое входит величина р, а не г), Но раз внешняя сила оказалась исключенной, то условия (9.10) уже более не получается, и мы приходим к следующему закону подобия, открытому Осборном Рейнольдсолн для вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних си г или при действии силы тяжести, но при отсутствии свободных поверхностей, два течения, обладающие одинаковыми числами Рейнольдса. являются подобными.
Отсюда вытекает, что при рассмотрении течений вязкой жидкости число Рейнольдса должно играть колоссальную роль. Так, например, мы указывали в самом начале втой главы, что кроме правильных, так называемых ламинирных течений жидкости. существуют течения беспорядочные, так называемые турбулентные, Когда мы рассматриваем различные течения жилкости около или внутри геометрически подобных тел, то оказывается, что при малых числах Рейнольлса эти течения ламинарны, при больших же числах Рейнольдса они становятся турбулентными, Таким образом, число РеИпольдса определяет лаже самый характер течения.
Подойдем теперь к вопросу о подобии с несколько другой точки зрения. Рассматривая какое-либо течение жидкости, введем, как выше было указано, характерную для данного течения скорость Ъ" и характерную длину 1. Так как можно принять, что характерная скорость Ъ' равна отношению характерной длины 1 к характерному для данного течения промежутку времени Т, то характерным промежутком времени будет Т= 111г. Наконец, характерным ускорением будет Ъ'1Т или Ъ'г11. Введем з рассмотрение безразмерные величины, а именно, положим: ЗАКОН ПОДОБИЯ, ЧИСЛО РЕПНОЛЪДСА 411 Преобразуем теперь уравнения лвижения, например, уравнение 19 1), к введанным безразмерным величинам, причам для определенности будем считать, что массовая сила есть сила тяжести. Так, например, мы имеем: дил 1" див дг 1 дт д«~ ду~ д«а = 1а ), д1т д„а д.а ) = Простые вычисления показывают тогда, что уравнение (9.1) после указанного преобразования и умножения на 11Ъ'а принимает слелующнй вид: ди, ди, ди ди 12 Р др дт «д, 'У д|1 «дг ь'а рра д" 1Р— ' + и —,' + и — ' + и — ' = — — —.
— + — Ь.и . Мы положим Р = р)га, и введем, как выше, числа Рейнольдса и Фрула: 11« ра 1х= —, Г= —; ч 1й' тогда урзвнение принимает вид: +и«д. +и +и« „' = — р — ~„+ — Ьеи . (9,17) Из этого уравнения ясно видно. что характер течения зависит от значений чисел Р' и 1т. Обратно, если для двух течений около гео- метрически подобных тел числа Рейнольдса и Фруда одинаковы, то уравнения движения в безразмерных величинах для обоих течений булут олинаковы, так же как и граничные условия и, следовательно, и„, и, и, булут лля обоих течений одинаковыми функциями от с, т), г., -. Йо тогда из уравнений (9.16) ясно видно, что Х2 у2 «2 12 га 12~ ! ~2 О. = — — О, 2 11 Р а это и означает, что два рассматриваемых течения подобны между собою, Итак, при совпадении лля двух движений чнсел Рейнольлса и Фрулз эти движения подобны между собою. Наконец, третий способ вывода условий подобия основан на соображениях теории размерностей ').
Возьмем определенное течение ч *р ~ ° ° - рв-* ')В БрПВ.,Арр*,Г~ТИ.19Э~, лержится подробное изложение теории размерностеи, см. также: С е д а в Л. И,, Методы теории размерностей н теории подобна в механике, Гостехнздат, 1944, ЛВижение ВязкОЙ жидкости 1гл н х, У, Я, 1, тг„, О, Ог, Р, Р, ю д. ПУсть мы имеем дело с физической системой единиц, так что основными единицами являются: единица данны, единица времени и единица массы, Изменим теперь зтн единицы, положив старую единицу равной Л новым единицам длины, старую елиницу времени — Т новым единицам времени и старую единицу массы — М новым единицам массы, Принимая во внимание размерности всех вышеперечисленных величин, а именно [р[= М1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
