Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 67
Текст из файла (страница 67)
11ри тех же допущениях. ч]о и выше, мы найдем, !то — = сопз1. др дх Для простоты примем, что — = О. др дх (11.10) Тогла те же рассуждения, что и выше, покажут нам, что о должно определяться лиффсренцнальным уравнением — — — О, но только теперь граничные условия булут о==0 при а=0, =и 1 (! 1.12) частицы жилкостн, прилегающие к нижней стенке, должны остз зваться неподвижными вместе со стенкой, частицы же, прилегаю!цие $!ц течение мелгду двгг1я плглллельными плоскнмн стенками л23 дВижение вязкой ж!гдкостн 1гл !1 где А и  — произвольные постоапп,ы.
определяющиеся из уравнений (11.12): В=О, А= — „ У Итак, в рассматриваемом случае течение определяется формулой Ю= —. Оз 6 (! 1.13) Как раз с рассмотрения этого тсченяя мы начати нашу главу и уже представи,щ графчч ски полученныИ лнн Иный закон распределения скорости на рнс 151 1!росты. вьщисл;ния дают аля протекающего количества жидкости и для ср знай скорости вырзжения с. йл — Π— — о =- —, ) Вычислим ецгй силу трепля, дгИствующую на каждую единицу площади стенки.
Мы имеем формулу дп сто =й д н, следовательно, для искомой силы трения получаем выражение тхе ИО (11.15) Наконец. чтобы показать прниер того. как надо учитывать граничные условия на свобоъщй чов рюгоьги, рачбсрзч ыпй один частный подслучай. Пусть на жидкость дсисгвущ си. з тяже ти, и пусть жидкость ограничена сверху свободной поверхносю ю сннзу,ке неподвижной плоскостью Оху. наклоненной к горизонту поз углом а, причем ось Оу горизонтальна, а ось Оз направлена перпенднггулярно к плоскости вверх, так что Х=~з(па. !'=О, 7.= - а созз.
(11.16) Будем опять считат~ движение происходяпцнч параллельно оси Ох и стационарным, Рассчогрение основных уравнений гидромеханики снова приводит к выводу, что др — = сопя(. дх Примем для простоты, что др — = О. дх (! 1.17) к верхней стенке, должны перемещаться с той же скоростью, что и эта стенка. Интегрирование уравьцния (11.111 лайт: о= — з1г -г- В, з Н 1ц течение между двумя пАРАллельными плоскими стенками л25 у,авнения (5.!) Лриведутся тогда к виду: , 1 — „,", ф -'„',"1-о; 1 ир дх — Н..К соз а = О, рК з1п т (11.18) —.=- 0; д1 дг так что Р = С вЂ” адя соз а, на свободной хке поверхности а ==д аолакпы выполняться условия: Р„= Рь Р„.= Р„= О.
как о„=о,=О и о,.=с есть фупкпия тол~ко от у Но так иг,то ОР, р„=. — р+ 2Ь вЂ” '= — р, д- Роч д7/~ 1 до ~ дог н'у 'у ду следовательно, мь1 приходим к следующим граничным условиям: гуе р=ра, — =-0 при я=11. (11. 19) Первое из этих условий определяет постоянную С: С = ре -1- Кдд сова, так что Р = Ра+ РК'(л Я) сова. (11.20) Оть1скиваеи теперь частное решение уравнения (11,18), зависящее только от г, так что дгз рд. з1п а т а — „, = О. Общее решение этого уравнения есть о= — ' ее+ Аа+ В; РК мп Я 2и постоянные А и В определяются из граничных условий о=О прп а=О, до — =-О» а=11, да 1де С вЂ” некоторая постоянная ве,ишана.
Гра1И1чные условия, согласно 9 и', имеют следующий вид. Иа неподви1кной плоскости и=0 при я=0; дВижение ВязкОЙ жидкости !Гл п которые дают В.=О, А= гь !» Итак, гкг (26 — е) з!и и (! 1.21) 2н Легко теперь убедиться, что это н есть то решение рассмзтрнВаемой задачи, которое иам нужно. В самом деле, если положить ьие(2Д вЂ” е) Нп ь — +и(у с) н то для функции и(у, г) получится уравнение Лапласа дьи , дги — +-- — =О д» 'дэ прн граничных условиях и=О при с=О, ди — =О при г=д; де ней скорости легко получ формулы: реза» мп ь 3!» (11.22) так что про»пекаюи!ее коли- ~ чес!пео жидкости обратно пропорционально коэффициенту вязкости жидкости Рис.
!54. и прямо пропорционально кубу глубины жидкости. Осветим еще на этом последнем примере вопрос о диссипации энергии. Рассмотрим то количество жидкости, которое находится над прямоугольной площадью основания, одно ребро которой, параллельное оси Ох, имеет длину 1, а другое, параллельное осн Оу, имеет д»пп!) (к Сила тяжести, действуя на отдельные частицы этого объйма если потребовать еще ограниченности и во всей рассматриваемой нами области, то непременно должно быть и=.О, что и докззывает высказанное утверждение.
Распределение скоростей получается по параболическому аакону (рис. 154). Для протекающего количества жидкости (с и для сред- » тпчвн!\в пхазкпля 427 гй яч!дкости, производит некоторую работу. Л именно, частицы объема Йг(а и массы рИНг, для которых координата г лежит между а и в+»(а, аа единицу времени опустятся на и з1п а, так что работа силы тяжести будет р1Ь»)а па з!п и !1нтегрируя это выражение по г от О до )к мы вайдам работу силы тяжести, производимую за единицу времени: л «йа' мв «г«д«!Иь мп«« А = — ЕИд'и з!п к г)г = рй И з1п к Зи 3,» в Но так как никакого увеличения кинетической энергци жидкости не получается, то, очевидно, вся энергия, получаемая за счЕт силы тяжести, диссипируется. »)ействительно, если мы вычислим по формуле (7.7) дисснпирующуюся энергию Е, отнесанную к единице времени и единице объема Е= р — -~) =— ам та ««я«,!п««(д — в)« = (-'-)'= — '" '-- »!а и проинтегрируем это выражение по рассматриваемому объаму, то получим: л Иаг д«Щ~„~' ИГ««Е« ' мп«« — 1 (й — в)'г(а =- и з; о т.
е. величину, равную как раз А. В заключение отметим, что при больших числах Рейнольдса рассматриваемое течение становится турбулентным, следовательно, полученные нами формулы применимы только к случаю очень малых глубин и сравнительно малых скоростей и неприменимы, например, к случаю течений воды в реке, имеющих уже турбулентный характер. ф 12. Течение Пуазейля, Мы займемся теперь теорией ламинарного течения в цилиндрических трубах.
Исследование течений з трубах имеет, как это вполне очевидно, громадное практическое значение; понятно поэтому, что этому вопросу посвящены были многочисленные работы, приведшие к открытию важных закономерностей. Так, например, Гаген (Нас«еп) на опытах с трубами изучал как ламинарг~ую, так и турбулентную формы течений, а также переход от одной формы течения к другой, Осборн Рейнольдс установил известное Условие перехода от ламннарной формы течения к турбулентной, заключающееся в том, что число Рейнольдса переходиг через пеко'орое критическое значение, также на основании своих опьпов с течениями в трубах.
42й движение вязкой жидкост!1 !ГЛ. 1! Задача о теченки в трубе имеет, как мы сей ~ас увидим, вполне точно«и строго« р«ш«цн«. О„пако это относится только к случаю ламп~арно' формы т«ч«ния. г!ля тур«аул«нтн~ й формы течения мы такого стро.ого р ш ия пгна ше н«имеем. Олнако преобладающее большинство т«ч«кий в трусах, с козорычп прнхолится иметь дело гга практике, — те ыння турбулшгн ые, Наибо.ые важным случаем ламинарных ле и ппй явтаются течения в тонких трубках, так пазыва«мых кашшзграх Несчгирч на шо обстоятель«~во, теория лампнарцого ~ечения и труба., имс~ 1 весьма Ггьц шое мычание. Пело в том.
ч1о носколы«у мы и»сеч в «том случае строгое решение уравнений гидром«ханики вязкой жидкосги, получается возможность сравнить результагы теории с результатами опыта. Оказалось, что опыт глестяще полтвержлает выводы теории, а это показывает, что основные црелпосылки теории: )равнения 1 ачье — Сзокса и приняты«нами граничные условия (прилнпани«испакости к стенкам сосуга) являются оправданными, С др)пой сз р ы, ц«ь~й рял прис. орое лля опрегеления вязкости имеет н загон но«й шсгью капилля(зну~о трубку, ч«рез которую происхо н цч, ьн«ло зко зи, гак ч~о т ории этих ир ~боров основюш на ~..
рчн лами а,ь о~о ыч ня ж!Дно«~и ч«р«з ~р)бы. В о«,«ь ~ ашик ра«сужл; пя ест«счв«нно положить основные урлвь«~ и. ~и:Гньч.ханиьи ь~.-ь, я нгс:кима мой жплкошн в цилннлричсслих ьоорличазах ~5.14, и 1б 15~ Сф~ рчулнр еч осповнь,е лоп)ш ппя. Г1усю мы им«ем цплиндричесь) ю тр) сц кр)чово~ о сгч. шш, ралигс которого ранги л. Ось этой гр) бы прим«м за ось Оа цп ~иплрпч ской систсмы коорлинат, Г1усть несхгимз чая жплко ть т чет влоль этой трубы, причем внешние силы от«. ~ств)ют,,."опус~им, нано;цц, что течешш ст щиоцарно и что в ка'кдой точке скорость направлена параллельно оси трубы, так что о, = оз — — О, о, == о (г, б, а). При этих допущ«ниах уравнения (5.!4) принимают, как легко видеть, следующий простой вид: др др др Гд'о 1 д'о 1 до1 — =О, — =О, — =Р( — + — — — + — — ~, ~ дг ' дз ' дз ' (дг' ге даа г дг)' (12.1) Первые лва из этих уравн«ний показывают, что р может зависеть только от г; посл«лше ж- уравп«ни ° показыва«т, что о есть функция только г н 6.
Но так как правая част, тр«тьего уравнения (!2.1) не зависит от л, то и л«вая часть не может зависеть от г и 429 течение пулзейля стедовательно, — есть постоянная величина др д» др — =- сопл!, д» Вели давления в лвух точкзх М, и Ме на оси 0», отстоящих одна от другой на расстоянии /, обозначить соответственно через р, п рп то будем, очевплно, иметь: др р,— р, рш рв д» (12.2) 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
